Wykład 2 - Kinematyka

Kinematyka

Prowadzący: dr inż. Marta Walczyńska

Podstawy Procesów i Konstrukcji

Inżynierskich

Mechanika

Kinematyka

Dynamika

Bada ruch ciał nie wnikając w

przyczyny warunkujące ten ruch Bada ruch w związku z jego przyczynami (wzajemne oddziaływanie ciał) od których zależy charakter ruchu.

Położenie i przemieszczenie

Kierunkiem dodatnim osi jest kierunek, w którym współrzędne punktów rosną. Kierunek przeciwny nazywamy kierunkiem ujemnym.

x [m] 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 początek osi kierunek dodatni kierunek ujemny 1 2

x

x

x







Przemieszczenie

Położenie i przemieszczenie

Mając trzy pary położeń początkowych i końcowych proszę podać, które z nich dają ujemne przemieszczenie:

a) – 3m, +5m b) -3m, -7m c)7m, -3m 1 2

x

x

x







Całkowita droga, przebyta w trakcie ruchu nie ma znaczenia dla wartości przemieszczenia – liczy się tylko położenie początkowe i

końcowe.

Wektor położenia

x z y 0 i _j k z_p x_p y_p P(x,y,z)

XYZ – układ odniesienia

r





 P

O

r





wektor położenia

k

z

j

y

i

x

r















)

(t

r



wektor położenia zależy od czasu

Długość wektora położenia w kartezjańskim układzie współrzędnych 2 2 2 z y x r r     

Tor ruchu, droga

Tor ruchu ciała – krzywa lub prosta utworzona

przez punkty określające kolejne położenia ciała w przestrzeni

Długością toru s nazywamy drogę. Droga jest wielkością skalarną.

Gdy tor jest linią prostą, mówimy, że ciało porusza się ruchem prostoliniowym, gdy zaś krzywą – ruch jest ruchem krzywoliniowym

y x 0 _i j P₁ 1

r



P₂ 2

r



Wektor położenia we współrzędnych biegunowych

X Y 0 P(r,ϕ)

r





 P

O

r





wektor położenia

r

r

r

 







sin

cos

r

y

r

x





Oś OX pokrywająca się z osią

biegunową Wzory przejścia ze współrzędnych kartezjańskich x, y do biegunowych r, ϕ. x y arctg y x r     2 2

r



Wersor jednostkowy dla danego

położenia wektora

r





1







_r



x y Wzory przejścia ze współrzędnych biegunowych r, ϕ do kartezjańskich x, y

Wektor przemieszczenia

Wektor przemieszczenia zależy od czasu

P₁

)

(

₁ 1

t

r



)

(

₂ 2

t

r



21

r





)

(

)

(

_{2 1 1} 2

t

r

t

r

r









r





jest wielkością wektorową

y

x

0 _i

j

Prędkość średnia

2 1 2 1

t

t

r

r

t

r

v

_śr

















t [s] x [m] 1 2 3 4 1 2 3 4 0 t [s] x [m] 1 2 3 4 -1 1 2 3 0 -2 -3

nachylenie tej prostej =

t

x

v

_śr







Prędkość średnia to stosunek

przemieszczenia do czasu, w którym ciało się przemieściło

Prędkość średnia

P₁

)

(

₁ 1

t

r



)

(

₂ 2

t

r



21

r





y x 0 _i j P₂

v



1 2 1 1 2 2 21

t

t

t

r

t

r

t

r

v

_śr













(

)

(

)









t

r

v

_śr











Prędkość a szybkość

t

s

v

_śr







t

s

v 

Prędkością średnią ciała

nazywamy stosunek wektora przemieszczenia ciała do czasu w którym to przemieszczenie nastąpiło.

t

r

v

_śr











Wartością prędkości czyli szybkością ciała nazywamy stosunek drogi przebytej do czasu w jakim została przebyta.

Szybkość średnia to skalarna wielkość fizyczna równa

stosunkowi drogi przebytej przez ciało do czasu w jaki została on przebyta.

Prędkość chwilowa

P₁

)

(

₁ 1

t

r



)

(

₂ 2

t

r



21

r





y x 0 _i j P₂

v



0

1 2



t

czyli



t



t

_

_

dt

r

d

v



 

wektor prędkości chwilowej

dt

r

d

t

r

v

t















 

lim

0

j

dt

dy

i

dt

dx

t

d

r

d













Prędkość chwilowa to prędkość w

Prędkość chwilowa

j

dt

dy

i

dt

dx

t

d

r

d













Wektor prędkości

chwilowej jest

zawsze styczny do toru!

y x 0 _i j P₁ P2 P3 P₄ P₅ P₆ v₃ v₂ v₅ v₄ v₆ v₁ tor P₁ P2 P3 P₄ P₅ P₆

Prędkość chwilowa jako granica prędkości średniej

dt

r

d

t

r

v

t















 

lim

0 śr t

v

v



_lim



0  



1 2 1 1 2 2 21

t

t

t

r

t

r

t

r

v

_śr













(

)

(

)









Jednostki prędkości

1

1

1









m

s

s

m

v]

[

Podstawową jednostką prędkości w układzie SI jest 1 "metr na sekundę". Inne, często używane jednostki to np.: • km/h (kilometr na godzinę)

• 1 cm/s (centymetr na sekundę)

W transporcie morskim 1 węzeł = 1 kn = 1 mila morska/godz. Do opisywania ruchu samolotów naddźwiękowych 1 Ma

-mach - prędkość równa prędkości dźwięku w powietrzu w temp. 15° - 340 m/s. Stosuje się tę jednostkę do podawania szybkości ruchu samolotów naddźwiękowych.

Ważne przeliczenia jednostek:

Przypomnienie: 1 km = 1000 m 1 cm = 0,01 m 1 mila morska = 1 852 m Wnioski: 1 kn = 1,852 km/godz. 1 Ma = 1 224 km/h.

Droga

Długość drogi s jest to suma wszystkich odcinków toru, przebytych przez punkt w rozpatrywanym przedziale czasu t_A, t_B 





















B A B A B A t t t t t t B A B A

vdt

dt

v

dt

dt

r

d

r

d

ds

s







Ruch jednostajny

Ruch, w czasie którego wartość liczbowa v prędkości chwilowej punktu nie zmienia się, nazywamy ruchem jednostajnym.

t

v

dt

v

s

B A t t











Jeżeli w równych i dowolnie krótkich odstępach czasu punkt przebywa drogi o różnej długości, to wartość liczbowa jego prędkości chwilowej

zmienia się z upływem czasu. Taki ruch nazywamy

niejednostajnym

Przyspieszenie średnie i chwilowe

Przyspieszenie średnie to stosunek przyrostu prędkości do odstępu czasu, w jakim ten przyrost nastąpił.

1 2 1 2

t

t

v

v

t

v

a

_śr





















Przyspieszenie chwilowe to to granica, do której zmierza stosunek prędkości do odstępu czasu, w jakim ten przyrost nastąpił, przy nieskończenie krótkich odstępach czasu.

2 2 0

lim

dt

r

d

dt

v

d

t

v

a

t ch



















  2 2

1

1









m

s

s

m

a]

[

Wektor przyspieszenia

Wektor przyspieszenia jest styczny do toru w ruchu prostoliniowym

a_s a_n

a v

tor ruchu cząstki

wektor przyspieszenia normalnego wektor przyspieszenia stycznego wektor prędkości cząstki Promień krzywizny toru (promień okręgu stycznego do toru)

n s

w

a

a

a











wektor przyspieszenia wypadkowego 2 2 n s w

a

a

a











Ruchy prostoliniowe

Ruch prostoliniowy

Ruch jednostajny

Ruch zmienny

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch niejednostajnie zmienny

const v a ,0  • przyspieszony • opóźniony • przyspieszony • opóźniony const a 

Ruch prostoliniowy jednostajny

const

v 

a



0

p k p k

t

t

s

s

t

s

v













t

v

s

s

_k



_p





α s_p 0 _t s v t s tg      v A s t v A    t

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy

a=const.  v_p v_k a t v tg      A

t

a

v

v

_k



_p





a t A₁ t_k t_p

2

p k śr

v

v

v





2

2

t

a

t

v

s

s

_k



_p



_p







p k p k śr t t v v a   

t

v

v

t

v

s

s

s



_k



_p



_p





_k



_p





(

)

2

1

s

a

v

v

2



2



2



2

t

a

v

v

_śr



_p





Klasyfikacja ruchów ze względu na przyspieszenie

P

v



a



Ruch jednostajnie przyspieszony

przyspieszenie ma zwrot zgodny z prędkością

const

a 

P

v



a



Ruch jednostajnie opóźniony

przyspieszenie ma zwrot przeciwny do prędkości

Dyskusja znaków przyspieszenia

1. Gdy znaki (zwroty) prędkości początkowej i przyspieszenia są zgodne, wtedy ruch ciała jest ruchem przyspieszonym, gdy znaki (zwroty) tych wielkości są

niezgodne, ruch jest ruchem opóźnionym

W przypadku ruchu jednostajnie zmiennego obowiązują następujące reguły:

2. Gdy prędkość początkowa ciała jest równa zeru, mamy do czynienia z ruchem

przyspieszonym, niezależnie od znaku (zwrotu) przyspieszenia.

2

2

t

a

t

v

s

s

_k



_p



_p







PRZYKŁAD

2 10 5 3 t t s   2 10 3 t s   2 10 5 3 t t s   2 10 3 t s   wszystkie równania opisują ruchy jednostajnie przyspieszone 2 10 5 3 t t s   2 10 5 3 t t s   równania opisują ruchy jednostajnie opóźnione

Wykresy drogi, prędkości i przyspieszenia dla ruchu jednostajnie

przyspieszonego a) i jednostajnie opóźnionego b)

a)

Klasyfikacja rzutów

Założenia:

• jednorodność pola grawitacyjnego

• zaniedbanie sił oporu powietrza

a

g



 

W zależności od kierunku wektora prędkości początkowej wyrzuconego ciała względem wektora rozróżniamy następujące rodzaje rzutów:o

v



g



1. Rzut pionowy 2. Swobodny spadek 3. Rzut poziomy 4. Rzut ukośny  o

v



g



 o

v



g



 o

v



g



dowolny kąt między wektorami i v_o g

0



o

Spadek swobodny

v



max

v



0



v



g

a 

Dodat ni zw rot o si H_o Warunki początkowe: Początkowe położenie ciała - na wysokości H₀

Początkowe położenie ciała - na wysokości H₀

Prędkość początkowa o wartości: v₀= 0

W podstawowym wariancie spadku swobodnego ciało jest puszczane bez

pchnięcia. Działa przyspieszenie

ziemskie o wartości g Przyspieszenie jest cały czas skierowane w dół

o

gH

v

_max



2

wartość prędkości końcowej

gt

v





prędkość

2

2

gt

h

y



_o



_{położenie ciała w pewnej}

dowolnej chwili t

y

v

k



v

p



2

a



s

2 2

Rzut pionowy

v



max v

0



v



g

a 

Dodat ni zw rot o si h_max o

v



v



Położenie początkowe

h₀= 0 Najczęstszy warunek, do wielu rozważań można z niego zrezygnować

Prędkość początkowa

o wartości: v₀ Prędkość początkowa jest skierowana do góry Działa przyspieszenie

ziemskie o wartości g = 9,81 m/s2

Działa przyspieszenie ziemskie o wartości g = 9,81 m/s2

gt

v

v



_o



Prędkość po upływie czasu t od _{wyrzucenia w górę}

2

2

gt

t

v

h



_o



Wysokość na jakiej znajduje się _{ciało po upływie czasu t od}

wyrzucenia w górę:

g

v

H

o

2

2



max Maksymalna osiągnięta _wysokość

v

t

_w



o Czas wznoszenia do osiągnięcia maksymalnej wysokości

s a v

Rzut poziomy

s a

Wysokość

początkowa: H₀ Ciało rzucamy z pewnej wysokości

Prędkość

początkowa v₀ poziomo. Później prędkość się zakrzywiaPrędkość początkowa jest skierowana

Przyspieszenie ma

wartość g Przyspieszenie w tym ruchu jest stałe i cały czas jest skierowane pionowo w dół

.

const

v

v

_x



_o



t

g

v

_y







2 2 ) (g t v v  _o   gH v v  2 2

Wartość prędkości poziomej Wartość prędkości pionowej Wartość prędkości całkowitej

Prędkość w momencie uderzenia o ziemię

o H

2

2

gt

H

h



_o



Wysokość na jakiej znajduje się ciało po czasie t

g

H

t



2

o Czas jaki upływa do momentu upadku Zasięg rzutu poziomego (odległość przebyta w poziomie do momentu upadku) g H v Z  _o 2 o Z x v Dodat ni zw rot o si _v o v

)

,

(

x

y

P

y v n a g X 0 Y

Rzut ukośny

Dodat ni zw rot o si

g



n

a



X

0

Y

o

v



)

,

( y

x

P

Z



Przyspieszenie w tym ruchu jest stałe i jest skierowane

pionowo w dół i ma wartość g

Rzut ukośny



x

v

₀ y

v

₀

v

0

x

y



cos 0 0 v v _x   sin 0 0 v v _y 

składowe wektora prędkości w chwili początkowej składowe wektora prędkości w dowolnej chwili t



cos 0 v v_x  współrzędne ciała w dowolnej chwili t



cos t v t v x  _x  ₀ gt v v_y  ₀ sin



 2 2 2 0 2 0 gt t v gt t v y  _y   sin





Czas wznoszenia do osiągnięcia

maksymalnej wysokości _g v _g

v

t_w  0y  0sin

Zasięg rzutu poziomego 2 2 sincos 2 _sin2

g v g v Z  o   o Maksymalna osiągnięta wysokość:

g

v

H

o

2

2 2



sin

max



Równanie toru ruchu ₂

0 2 ) cos ( 2   v gx x tg y    Eliminując czas







2sin cos 2 sin 

Ruch po okręgu

Ruch po okręgu jest to ruch, w którym ciało porusza się po torze, który

Ruch jednostajny po okręgu

Przyspieszenie dośrodkowe

r

v

a

2



Okres obiegu

v

r

T



2

