Algebraiczne aspekty kryptografii
8. ZREDUKOWANY OPERATOR STANU
1. Macierz g¸esto´sci: hermitowski operator spe lniaj¸acy warunki (a) ∀|ηihη|ρ|ηi ≥ 0 (nieujemnie okre´slony) i
(b) ´slad T rρ = 1 (suma warto´sci w lasnych w odpowiednich krotno´sciach jest r´owna 1).
Zad. 1. Macierz g¸esto´sci ma posta´c X
k
pk|ξkihξk|
w pewnej bazie ortonormalnej {|ξki : k < 2n}, dla pewnej dystrybucji prawdopodobie´nstwa
|ξki → pk.
Je´sli ρ ma rz¸ad 1, to m´owimy, ˙ze ρ jest stanem czystym (prezentuj¸acym odpowiedni wektor w lasny z B⊗n), w przeciwnym przypadku nazywamy go stanem mieszanym.
Zad. 2. Udowodni´c:
Uwaga. Macierz g¸esto´sci ρ jest stanem czystym wtedy i tylko wtedy, gdy ρ2 = ρ.
Definicja. Gdy stan |ψi w n + m rejestrach ma posta´c P
i,µtiµ|i ⊗ µi, to zre- dukowany operator stanu w rejestrach 1-n jest definiowany jako 2n× 2n-macierz ρ, gdzie ρij =P
µtiµt∗jµ.
Zad.3. Stany Bella w uk ladzie HA⊗ HB s¸a zdefiniowane nast¸epuj¸aco:
|Φ+−ABi = 1
√2(|00i + (odp: - ) |11i),
|Ψ+−ABi = 1
√2(|01i + (odp: - ) |10i).
Znale´z´c odpowiednie zredukowane operatory stanu w rejestrach A i B.
2. ´Slad cz¸e´sciowy.
Zad. 4. Udowodni´c: tr|ψihφ| = hφ|ψi.
Definicja. Niech T b¸edzie przekszta lceniem liniowym nad N1 ⊗ N2. Wtedy T ma naturaln¸a posta´cP Am⊗ Bm. ´Slad cz¸e´sciowy T nad N2 jest okre´slony jako
T rN2(T ) =X
m
Am(T r(Bm)).
Zad. 5. Prezentuj¸ac T jako macierz [tijkl] w odpowiednich bazach ortonormal- nych przestrzeni N1 i N2 (patrz Zad. 1 (d) Listy 6) pokaza´c, ˙ze
T rN2(T ) =X
jk
X
l
tjlkl|jihk|.
1
3. Twierdzenie. Stan mieszany ρ nad przestrzeni¸a N jest ´sladem cz¸e´sciowym pewnego stanu czystego |ψi (tzw. puryfikacja) pewnej przestrzeni N ⊗ H, gdzie dimN = dimH.
Uwaga (rozk lad Schmidta). W powy˙zszym twierdzeniu stan |ψi mo˙ze by´c wybrany w nast¸epuj¸acej postaci (nazywanej √
ρ):
|ψi =X
j
λj|ξji ⊗ |ηji , gdzie 0 < λj ≤ 1,
i bazy {|ξii} i {|ηii} s¸a ortonormalne.
Zad. 6. Pokaza´c, ˙ze zbi´or niezerowych warto´sci w lasnych ´sladu cz¸e´sciowego T rN(|ψihψ|) (i r´ownie˙z ´sladu cz¸e´sciowego T rH(|ψihψ|)) sk lada si¸e z kwadrat´ow λ2j.
Wywnioskowa´c, ˙ze stan T rH(|ψihψ|) jest czysty wtedy i tylko wtedy, gdy |ψi jest pojedynczym tensorem.
Definicja. Je´sli dimN = dimH = n, to m´owimy, ˙ze stan postaci
|φi = 1 n
X
j
eiα(j)|ξji ⊗ |ηji
jest maksymalnie spl¸atany (lub, ˙ze jest stanem Bella).
Uwaga. W przypadku takiego |φi ´slady cz¸e´sciowe maj¸a posta´c 1nI.
Zad. 7. Pokaza´c, ˙ze je´sli dla |φi, |ψi ∈ N ⊗ H T rH(|ψihψ|) = T rH(|φihφ|),
to |ψi = (I ⊗ U )|φi, gdzie U jest unitarnym operatorem nad H.
4. Operator unitarny U przekszta lca stan czysty |ψi w U |ψi i odpowiedni¸a ρ = |ψihψ| w U ρU∗ = U |ψihψ|U∗.
Dla dowolnej macierzy g¸esto´sci ρ otrzymujemy wz´or ewolucji dynamicznej ρ ⇒ U ρU∗.
Definicja. Utrata zwi¸azk´ow fazowych (tzw. koherencji) zredukowanego opera- tora stanu w wyniku ewolucji uk ladu rozszerzonego jest nazywana dekoherencj¸a.
Np. przej´scie do przek¸atnej D : ρ =X
ij
ρij|iihj| ⇒X
k
ρkk|kihk|
jest wynikiem nast¸epuj¸acych przej´s´c:
ρ ⇒ ρ ⊗ |0ih0| (dodatkowa pami¸e´c) ⇒ CN OT (kopiowanie)
⇒X
k
ρjk|j ⊗ jihk ⊗ k| ⇒ (´slad cz¸e´sciowy nad ’ancilla’) ⇒X
k
ρkk|kihk|.
2
5. Pomiary.
Definicja. Gdy M jest obserwabl¸a, warto´s´c oczekiwan¸a po zastosowaniu pomiaru M do stanu prezentowanego przez macierz g¸esto´sci ρ =P
kpk|ξkihξk| oblicza s¸e jako P
kpkhM iξk (tzn. P
kpkhξk|M |ξki).
Zad. 8. Niech M b¸edzie podprzestrzeni¸a przestrzeni stan´ow. Stosuj¸ac fakt, ˙ze prawdopodobie´nstwo zdarzenia M dla stanu prezentowanego przez macierz g¸esto´sci ρ =P
kpk|ξkihξk| oblicza s¸e nast¸epuj¸aco:
X
k
pkP(|ξki, M)
(i na mocy postulat´ow mechaniki kwantowej, dla M i odpowiedniego rzutowania ΠM, P(|ξi, M) = hξ|ΠM|ξi ),
udowodni´c nast¸epuj¸acy
Lemat. Prawdopodobie´nstwo zdarzenia M dla stanu prezentowanego przez macierz g¸esto´sci ρ =P
kpk|ξkihξk| jest r´owne T r(ρΠM).
Zad. 9. Niech stan |ψi w n + m rejestrach ma posta´c P
i,µtiµ|i ⊗ µi i niech ρ b¸edzie zredukowanym operatorem stanu w rejestrach 1-n (tzn. ρij = P
µtiµt∗jµ).
Niech obserwabla M dzia la w rejestrach 1-n. Wtedy warto´s´c ´srednia hψ|M ψi jest r´owna T r(ρM ).
Twierdzenie. Je´sli ρ jest zredukowanym operatorem stanu w n + m rejestrach, a obserwabla M ⊗ I odpowiada (n + m)-rozk ladowi N1⊗ N2, to ρ1 = T rN2(ρ) te˙z jest zredukowanym operatorem stanu i warto´s´c oczekiwana po zastosowaniu pomiaru M jest r´owna T r(ρ1M ) i
T r(ρ(M ⊗ I)) = T r(ρ1M ).
6. CP-odwzorowania. Odwzorowaniem dodatnim i zupelnym nazywamy ci¸ag operator´ow liniowych M1, ..., Mk takich, ˙ze
X
i
Mi∗Mi = I.
Pomiar takiego odwzorowania w stanie |ψi daje wynik i z prawdopodobie´nstwem P (i) = hψ|Mi∗Mi|ψi = T r(Mi|ψihψ|Mi∗).
Stan po pomiarze:
1
pP (i)Mi|ψi.
7. Probabilistyczny pomiar rzutowy. Niech N rozk lada si¸e ortogonalnie jako
⊕i≤rLi. Niech Ui, i ≤ r, b¸ed¸a operatorami unitarnymi na K. Wtedy operator postaci
W =X
ΠLi⊗ Ui
3
nazywa si¸e operatorem pomiaru na N ⊗ K.
Probabilistycznym pomiarem rzutowym nazywamy stosowanie operatora pomiaru na N ⊗ K do macierzy g¸esto´sci ρ na N w spos´ob nast¸epuj¸acy
W (ρ⊗|0mih0m|)W∗ =X
j
(ΠLjρΠLj)⊗(Uj|0ih0|Uj∗) ⇒X
j
X
k
P(k|j)(ΠLjρΠLj)⊗|kihk|,
gdzie pewien ΠLjρΠLj b¸edzie stanem po pomiarze, a prawdopodobie´nstwo warunk- owe P(k|j) jest obliczane jako |hk|Uj|0i|2. Gdy P(k|j) = δkj, pomiar nazywa si¸e rzutowym (bez s lowa ’probabilistyczny’).
Prawdopodobie´nstwo wyniku |ki:
P(W (ρ ⊗ |0mih0m|)W∗, N ⊗ C(|ki) =X
j
P(k|j) · P(ρ, Lj).
Zad. 10. Dla ustalonego rozk ladu N = ⊕i≤rLi, pokaza´c, ˙ze (a) produkt operator´ow pomiaru te˙z jest operatorem pomiaru;
(b) dla rozk ladu K = K1⊗ K2, zak ladaj¸ac Uj = I ⊗ Tj i Uj0 = Tj0⊗ I i bior¸ac produkt odpowiednich operator´ow pomiaru, otrzymujemy P(kk0|j) = P(k|j) · P(k0|j).
4
