Macierz g¸esto´sci ρ jest stanem czystym wtedy i tylko wtedy, gdy ρ2 = ρ

Algebraiczne aspekty kryptografii

8. ZREDUKOWANY OPERATOR STANU

1. Macierz g¸esto´sci: hermitowski operator spe lniaj¸acy warunki (a) ∀|ηihη|ρ|ηi ≥ 0 (nieujemnie okre´slony) i

(b) ´slad T rρ = 1 (suma warto´sci w lasnych w odpowiednich krotno´sciach jest r´owna 1).

Zad. 1. Macierz g¸esto´sci ma posta´c X

k

p_k|ξ_kihξ_k|

w pewnej bazie ortonormalnej {|ξ_ki : k < 2ⁿ}, dla pewnej dystrybucji prawdopodobie´nstwa

|ξ_ki → p_k.

Je´sli ρ ma rz¸ad 1, to m´owimy, ˙ze ρ jest stanem czystym (prezentuj¸acym odpowiedni wektor w lasny z B^⊗n), w przeciwnym przypadku nazywamy go stanem mieszanym.

Zad. 2. Udowodni´c:

Uwaga. Macierz g¸esto´sci ρ jest stanem czystym wtedy i tylko wtedy, gdy ρ² = ρ.

Definicja. Gdy stan |ψi w n + m rejestrach ma posta´c P

i,µt_iµ|i ⊗ µi, to zre- dukowany operator stanu w rejestrach 1-n jest definiowany jako 2ⁿ× 2ⁿ-macierz ρ, gdzie ρ_ij =P

µt_iµt^∗_jµ.

Zad.3. Stany Bella w uk ladzie H_A⊗ H_B s¸a zdefiniowane nast¸epuj¸aco:

|Φ⁺⁻_ABi = 1

√2(|00i + (odp: - ) |11i),

|Ψ⁺⁻_ABi = 1

√2(|01i + (odp: - ) |10i).

Znale´z´c odpowiednie zredukowane operatory stanu w rejestrach A i B.

2. ´Slad cz¸e´sciowy.

Zad. 4. Udowodni´c: tr|ψihφ| = hφ|ψi.

Definicja. Niech T b¸edzie przekszta lceniem liniowym nad N₁ ⊗ N₂. Wtedy T ma naturaln¸a posta´cP A_m⊗ B_m. ´Slad cz¸e´sciowy T nad N₂ jest okre´slony jako

T rN2(T ) =X

m

A_m(T r(B_m)).

Zad. 5. Prezentuj¸ac T jako macierz [t_ijkl] w odpowiednich bazach ortonormal- nych przestrzeni N₁ i N₂ (patrz Zad. 1 (d) Listy 6) pokaza´c, ˙ze

T rN2(T ) =X

jk

X

l

tjlkl|jihk|.

1

3. Twierdzenie. Stan mieszany ρ nad przestrzeni¸a N jest ´sladem cz¸e´sciowym pewnego stanu czystego |ψi (tzw. puryfikacja) pewnej przestrzeni N ⊗ H, gdzie dimN = dimH.

Uwaga (rozk lad Schmidta). W powy˙zszym twierdzeniu stan |ψi mo˙ze by´c wybrany w nast¸epuj¸acej postaci (nazywanej √

ρ):

|ψi =X

j

λj|ξji ⊗ |ηji , gdzie 0 < λj ≤ 1,

i bazy {|ξii} i {|ηii} s¸a ortonormalne.

Zad. 6. Pokaza´c, ˙ze zbi´or niezerowych warto´sci w lasnych ´sladu cz¸e´sciowego T rN(|ψihψ|) (i r´ownie˙z ´sladu cz¸e´sciowego T rH(|ψihψ|)) sk lada si¸e z kwadrat´ow λ²_j.

Wywnioskowa´c, ˙ze stan T r_H(|ψihψ|) jest czysty wtedy i tylko wtedy, gdy |ψi jest pojedynczym tensorem.

Definicja. Je´sli dimN = dimH = n, to m´owimy, ˙ze stan postaci

|φi = 1 n

X

j

e^iα(j)|ξji ⊗ |ηji

jest maksymalnie spl¸atany (lub, ˙ze jest stanem Bella).

Uwaga. W przypadku takiego |φi ´slady cz¸e´sciowe maj¸a posta´c ¹_nI.

Zad. 7. Pokaza´c, ˙ze je´sli dla |φi, |ψi ∈ N ⊗ H T rH(|ψihψ|) = T rH(|φihφ|),

to |ψi = (I ⊗ U )|φi, gdzie U jest unitarnym operatorem nad H.

4. Operator unitarny U przekszta lca stan czysty |ψi w U |ψi i odpowiedni¸a ρ = |ψihψ| w U ρU^∗ = U |ψihψ|U^∗.

Dla dowolnej macierzy g¸esto´sci ρ otrzymujemy wz´or ewolucji dynamicznej ρ ⇒ U ρU^∗.

Definicja. Utrata zwi¸azk´ow fazowych (tzw. koherencji) zredukowanego opera- tora stanu w wyniku ewolucji uk ladu rozszerzonego jest nazywana dekoherencj¸a.

Np. przej´scie do przek¸atnej D : ρ =X

ij

ρ_ij|iihj| ⇒X

k

ρ_kk|kihk|

jest wynikiem nast¸epuj¸acych przej´s´c:

ρ ⇒ ρ ⊗ |0ih0| (dodatkowa pami¸e´c) ⇒ CN OT (kopiowanie)

⇒X

k

ρ_jk|j ⊗ jihk ⊗ k| ⇒ (´slad cz¸e´sciowy nad ’ancilla’) ⇒X

k

ρ_kk|kihk|.

2

5. Pomiary.

Definicja. Gdy M jest obserwabl¸a, warto´s´c oczekiwan¸a po zastosowaniu pomiaru M do stanu prezentowanego przez macierz g¸esto´sci ρ =P

kp_k|ξ_kihξ_k| oblicza s¸e jako P

kp_khM i_ξk (tzn. P

kp_khξ_k|M |ξ_ki).

Zad. 8. Niech M b¸edzie podprzestrzeni¸a przestrzeni stan´ow. Stosuj¸ac fakt, ˙ze prawdopodobie´nstwo zdarzenia M dla stanu prezentowanego przez macierz g¸esto´sci ρ =P

kp_k|ξ_kihξ_k| oblicza s¸e nast¸epuj¸aco:

X

k

pkP(|ξki, M)

(i na mocy postulat´ow mechaniki kwantowej, dla M i odpowiedniego rzutowania ΠM, P(|ξi, M) = hξ|Π_M|ξi ),

udowodni´c nast¸epuj¸acy

Lemat. Prawdopodobie´nstwo zdarzenia M dla stanu prezentowanego przez macierz g¸esto´sci ρ =P

kp_k|ξ_kihξ_k| jest r´owne T r(ρΠM).

Zad. 9. Niech stan |ψi w n + m rejestrach ma posta´c P

i,µt_iµ|i ⊗ µi i niech ρ b¸edzie zredukowanym operatorem stanu w rejestrach 1-n (tzn. ρ_ij = P

µt_iµt^∗_jµ).

Niech obserwabla M dzia la w rejestrach 1-n. Wtedy warto´s´c ´srednia hψ|M ψi jest r´owna T r(ρM ).

Twierdzenie. Je´sli ρ jest zredukowanym operatorem stanu w n + m rejestrach, a obserwabla M ⊗ I odpowiada (n + m)-rozk ladowi N₁⊗ N₂, to ρ₁ = T rN₂(ρ) te˙z jest zredukowanym operatorem stanu i warto´s´c oczekiwana po zastosowaniu pomiaru M jest r´owna T r(ρ1M ) i

T r(ρ(M ⊗ I)) = T r(ρ₁M ).

6. CP-odwzorowania. Odwzorowaniem dodatnim i zupelnym nazywamy ci¸ag operator´ow liniowych M₁, ..., M_k takich, ˙ze

X

i

M_i^∗M_i = I.

Pomiar takiego odwzorowania w stanie |ψi daje wynik i z prawdopodobie´nstwem P (i) = hψ|M_i^∗M_i|ψi = T r(M_i|ψihψ|M_i^∗).

Stan po pomiarze:

1

pP (i)M_i|ψi.

7. Probabilistyczny pomiar rzutowy. Niech N rozk lada si¸e ortogonalnie jako

⊕_i≤rL_i. Niech U_i, i ≤ r, b¸ed¸a operatorami unitarnymi na K. Wtedy operator postaci

W =X

ΠL_i⊗ U_i

3

nazywa si¸e operatorem pomiaru na N ⊗ K.

Probabilistycznym pomiarem rzutowym nazywamy stosowanie operatora pomiaru na N ⊗ K do macierzy g¸esto´sci ρ na N w spos´ob nast¸epuj¸acy

W (ρ⊗|0^mih0^m|)W^∗ =X

j

(ΠLjρΠLj)⊗(Uj|0ih0|U_j^∗) ⇒X

j

X

k

P(k|j)(ΠLjρΠLj)⊗|kihk|,

gdzie pewien ΠL_jρΠL_j b¸edzie stanem po pomiarze, a prawdopodobie´nstwo warunk- owe P(k|j) jest obliczane jako |hk|U_j|0i|². Gdy P(k|j) = δ_kj, pomiar nazywa si¸e rzutowym (bez s lowa ’probabilistyczny’).

Prawdopodobie´nstwo wyniku |ki:

P(W (ρ ⊗ |0^mih0^m|)W^∗, N ⊗ C(|ki) =X

j

P(k|j) · P(ρ, L_j).

Zad. 10. Dla ustalonego rozk ladu N = ⊕_i≤rL_i, pokaza´c, ˙ze (a) produkt operator´ow pomiaru te˙z jest operatorem pomiaru;

(b) dla rozk ladu K = K₁⊗ K₂, zak ladaj¸ac U_j = I ⊗ T_j i U_j⁰ = T_j⁰⊗ I i bior¸ac produkt odpowiednich operator´ow pomiaru, otrzymujemy P(kk⁰|j) = P(k|j) · P(k⁰|j).

4