Macierz wykładnicza i jej własności

(1)

Macierz wykładnicza i jej

własności

Autorzy:

Julian Janus

(2)

(1)

(2)

Macierz wykładnicza i jej własności

Autor: Julian Janus

Przez będziemy oznaczać zbiór macierzy o wymiarach i wartościach zespolonych.

DEFINICJA

Definicja 1:

Normę w przestrzeni określamy następująco:

Łatwo zauważyć, że zachodzi nierówność

Dla definiujemy ciąg macierzy

Elementy macierzy będziemy oznaczać

UWAGA

Uwaga 1:

Dla dowolnego ustalonego ciąg jest ciągiem Cauchy'ego to znaczy, że dla dowolnego istnieje takie, że dla zachodzi nierówność

Istotnie dla mamy

Z kryterium zbieżności d'Alemberta wynika, ze szereg liczbowy

jest zbieżny. Zatem istnieje , że dla zachodzi nierówność:

Stąd i z ( 2 ) wynika ( 1 ) co kończy dowód uwagi 1.

Ponieważ dla każdego mamy nierówność

M(n × n, C)

n × n

M(n × n, C)

∥A∥= max{| |, i, j = 1, …, n}.

a

ij

∥ ∥≤ ∥A .

A

n

_∥

n

t ∈ R

{ (t)}

S

k

(t) =

.

S

k

∑

i=0 k

_t

i

i!

A

i

(t)

S

k

b

(k)ij

(t)

(t) =

.

S

k

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

(t) …

(t)

b

(k)₁₁

b

(k)_1n

⋮ ⋱ ⋮

(t) …

(t)

b

(k)_n1

b

(k)nn

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

t

{ (t)}

S

k

ε > 0

N

k, m ≥ N

∥ (t) − (t)∥≤ ε.

S

m

S

k

m > k

∥ (t) − (t)∥= ∥

S

m

S

k

∑

∥≤

∥A .

i=k+1 m

_t

i

i!

A

i _i=k+1

∑

m

_|t|

i

i!

∥

i

∥A

∑

i=0 ∞

_|t|

i

i!

∥

i

N

k ≥ N

∥A < ε.

∑

i=k+1 ∞

_|t|

i

i!

∥

i

i, j = 1, …, n

|

(m)

(t) −

(k)

(t)| ≤ ∥ (t) − (t)∥,

m k

(3)

(3) więc z uwagi 1 wynika, że ciąg jest ciągiem Cauchy'ego.

Zatem istnieje granica tego ciągu

DEFINICJA

Definicja 2:

Macierz wykładnicząwykładniczą definujemy jako granicę ciągu macierzy :

UWAGA

Uwaga 2:

Istotnie, ponieważ szereg

jest zbieżny niemal jednostajnie w więc możemy różniczkować go wyraz po wyrazie. Zatem mamy, że

Zauważmy ponadto, że zachodzi równość

|

b

(m)_ij

(t) −

b

(k)_ij

(t)| ≤ ∥ (t) − (t)∥,

S

m

S

k

{

b

(k)_ij

(t)}

(t) =

(t).

b

ij _k→∞

lim

b

(k)ij

e

tA

_{{ (t)}}

_S

k

=

(t) =

.

e

tA

⎡

⎣

⎢⎢

(t) … (t)

b

11

b

1n

⋮ ⋱ ⋮

(t) …

(t)

b

n1

b

nn

⎤

⎦

⎥⎥ lim

_k→∞

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

(t) …

(t)

b

(k)₁₁

b

(k)_1n

⋮ ⋱ ⋮

(t) …

(t)

b

(k)_n1

b

(k)nn

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

k→∞

lim

S

k

∑

_i=0 ∞

_t

i

i!

A

i

( ) = A

=

A. d

dt

e

tA

e

tA

e

tA

∑

i=0 ∞

_t

i

i!

A

i

R,

( ) =

(

) =

= A

= A .

d

dt

e

tA

∑

_i=0 ∞

_d

dt

t

i

i!

A

i

∑

_i=1 ∞

_t

i−1

(i − 1)!

A

i

∑

_i=1 ∞

_t

i−1

(i − 1)!

A

i−1

e

tA

A

e

tA

=

_e

tA

A.

(4)

(4) (5) (6) (7)

UWAGA

Uwaga 3:

Dla dowolnej macierzy i dowolnych liczb zachodzi równość

Istotnie, ze wzoru na pochodną iloczynu i uwagi 2 mamy:

Zatem wartość iloczynu nie zależy od i jest równa wartości dla

Stąd dla mamy

więc jest macierzą odwrotną do macierzy

Mnożąc obie strony równości ( 4 ) przez , otrzymujemy równość .

UWAGA

Uwaga 4:

Dla dowolnych macierzy : jeżeli to

Istotnie z uwagi 2 mamy

Ponieważ to dla więc

Zatem

czyli nie zależy od więc jest równe wartości dla

Mnożąc obustronnie powyższą równość kolejno przez i otrzymamy zależność ( 6 )

M(n × n, C)

s, t ∈ R

=

.

e

(s+t)A

_e

sA

_e

tA

(

) =

(

)

+

(

) =

d

dt

e

(s+t)A

e

−tA

dt

d

e

(s+t)A

e

−tA

e

(s+t)A

dt

d

e

−tA

A

−

A

= 0.

e

(s+t)A

_e

−tA

_e

(s+t)A

_e

−tA

e

(s+t)A

_e

−tA

_t

_{t = 0}

=

I =

, bo

= I.

e

(s+t)A

_e

−tA

_e

(s+0)A

_e

−0A

_e

sA

_e

sA

_e

0

s = 0

= I,

e

tA

_e

−tA

e

−tA

_e

tA

= (

.

e

−tA

_e

tA

₎

−1

e

tA

₍₃₎

A, B ∈ M(n × n, C)

AB = BA,

=

.

e

t(A+B)

_e

tA

_e

tB

(

) =

d

dt

e

t(A+B)

e

−tB

e

−tA

(A + B)

−

B

−

A

.

e

t(A+B)

_e

−tB

_e

−tA

_e

t(A+B)

_e

−tB

_e

−tA

_e

t(A+B)

_e

−tB

_e

−tA

AB = BA,

A = A,

B

i

_B

i

_{i = 1, …, n,}

A =

A = A

= A

.

e

−tB

_∑

i=0 ∞

_(−t)

i

i!

B

i

∑

_i=0 ∞

_(−t)

i

i!

B

i

∑

_i=0 ∞

_(−t)

i

i!

B

i

e

−tB

(

) = 0,

d

dt

e

t(A+B)

e

−tB

e

−tA

e

t(A+B)

_e

−tB

_e

−tA

_t,

_{t = 0}

= I.

e

t(A+B)

_e

−tB

_e

−tA

e

tA

_e

tB

(5)

(8)

(9)

UWAGA

Uwaga 5:

Macierz jest macierzą fundamentalną układu równań

gdzie

Wynika to bezpośrednio z uwagi 2.

Zatem rozwiązanie ogólne układu ( 7 ) przy użyciu macierzy można zapisać następująco:

Natomiast rozwiązanie równania ( 7 ) z warunkiem początkowym gdzie można zapisać następująco:

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 09:56:58

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=9aa19ee266cbf2c8fde8d06ed7f12ad9