Wykład geometryi wykreślnej. Cz. 1 Tekst

GEOMETRYI WYKRESLNEJ

ERNESTA SAGAYŁE

E g z a m in a to ra w S z k o le C e n tra ln e j S z tu k i R ęk o d z ie ł, N aczeln ik a p ra c ry su n k o w y ch 1 R e p e ty to ra tejże S zk o ły , 1’ro feso ra G e o m elry i W y k re śln e j w L y ceu n i C h ap tal

część

P I E R W S Z A

DLA UŻYTKU SZKÓŁ MATEMATYCZNYCH WYŻSZYCH

T E K S T

PARYŻ

N A K Ł A D E M B IB L IO T E K I K Ó R N IC K IE J

W Y K Ł A D

W Y K Ł A D

GEOMETRII WYKREŚLNEJ

EZ

ERNESTA SAGAYŁE

E g z a m in a to ra w S z k o le C en tra ln ej S z tu k i R ęk o d z ie ł, N aczeln ik a p ra c ry su n k o w y ch 1 R e p e ty to ra tejże S z k o ły , P ro fe so ra G e o n ietry i W y k re śln e j w L y ceu m C h a p ta l

C Z Ę Ś Ć P I E R W S Z A

DLA UŻYTKU SZKÓŁ MATEMATYCZNYCH WYŻSZYCH

T E K S T

PARYŻ

PRZEDMOWA AUTORA

Dzieło, którego to m P o w y c h o d z i n a w idok p u b lic z n y , pow stało z inicyatyw y ś. p. J a n a

H ra b ieg o D ziałyńskiego.

U rodzony i w ychow any we F ra n c y i, nie w ład a ją c d o statec zn ie języ k iem p o lsk im , nie

byłbym

sposobności d a n ia się poznać n aro d o w i, do któ reg o m a m zaszczyt n ależeć,

gdyby nie z a c h ę ta i pom oc ś. p. w łaściciela B ib lio tek i K ó rn ic k ie j, k tó ry ch c ąc u zu p e łn ić

swe w ydaw nictw o w dziedzinie n a u k m atem aty cz n y ch przez ogłoszenie o b sze rn ej Geo-

m e try i W y k re śln e j, n a k ło n ił m ię do p isan ia tego dzieła po fra n c u s k u z te m zastrzeżeniem ,

iżby tek st jego polski w p rzek ład zie p . K aźm ierza B ra n d ta , S e k re ta rz a T ow arzystw a N auk

Ś cisłych w P a ry ż u , został w ydany ja k o o ry ginał jed n o cz eśn ie z te k s te m fra n c u s k im .

P rzy jął ś. p. N a k ła d c a p ro g ra m dzieła p rzeżeran ie p rz ed ło żo n y ; z h o jn o ścią, n a ja k ą

nie zawsze stać ciała n au k o w e lu b rządy k rajó w n iep o d leg ły ch , o bm y ślił w sp an iałe jeg o

w ydanie, p o s ta ra ł się o ja k najozdo bn iejsze w y ko nanie ta b lic , i jeżeli św iatła p u b liczn o ść

»

p o lsk a przyzna n ie ja k ą w artość m ojej G eom elryi W y k re śln e j, b ęd zie w te m głów na zasłu ga

.p . H ra b ieg o J a n a D ziałyńskiego.

Co do m n ie , p oczytuję sobie za obow iązek oświadczyć tu ta j, ob o k czci d la Jego p a m ię c i,

g łęb o k ą w dzięczność ta k J e m u ja k Jego sp ad k o b iercy , H ra b ie m u W ładysław ow i Z am oy ­

sk ie m u , za d a n ą m i m ożność d o k o n an ia tej p ra cy . S k ła d a m przy tem p od zięk o w an ie P a n u

K aźm ierzow i B ran d to w i niety lk o za tłu m a cze n ie , ałe i za w ie lo ra k ą p o m o c, jak iej dośw iad­

czałem od niego w śród ta k długiego i m ozolnego d r u k u . O so bn e n areszc ie p odziękow anie

V I I I PRZEDMOWA

w inienem P a n u D r D anielow i W ie rz b ic k ie m u za p o m o c przy k o re k c ie , n a czém zyskała

n iety lk o pop raw n o ść d r u k u , lecz i czystość ję z y k a , oraz P a n u E . I ie llć , rytow n ik ow i, k tó ry

z w ielkiém sta ra n ie m i u m ie ję tn o śc ią w y kon ał w szystkie ry su n k i.

Co do n aukow ej strony dzieła, służyły m u za p o d staw ę nasze w ła s n e w ykłady G eom etryi

W y k reśln ćj w ciąg u la t przeszło d ziesięciu w C ollège C h ap tal i w Szkole C en tra ln e j

w P a ry ż u .

P rz y w ykładzie G eom etryi W y k reśln ćj przedew szystkiém baczyć należy, aby do teo ry i

były d o d a n e ja k n ajliczniejsze zostosow ania. P o każdej p rzeto w ażniejszej teo ryi d ajem y

d la użytku uczących się ćw iczenia do niej zasto sow an e. O bok n ich p ra w ie w szędzie zn a j­

d u je się rozw iązanie, ażeby czy teln ik m óg ł sp ra w d zić i u z u p e łn ić w ypadek w łasn ych

p o szu k iw ań . Należy tylko ro zpatry w ać się n a jp rz ó d w ry s u n k a c h i d o p ie ro p o te m zagląd ać

do te k s tu , gdyż tym sposobem je d y n ie n ab y w a się g ru n to w n e j zn ajo m o ści g eom etry i

w y k re śln ćj.

Er n e s t

SĄGAYLO.

W Y K Ł A D

G E O M E T R Y I

W Y K R E Ś L N E J

KSIĘGA PIERWSZA

L I N I J E P R O S T E I P L A S C Z Y Z N Y

R O Z D Z I A Ł P I E R W S Z Y

1. Cel G eo m etry i W y k r e ś ln e j. — Zwyczajny rysunek, bez żadnego uprzedniego studyum , służy do przedstawienia przedm iotów otaczających. Dla osiągnięcia tego ce lu , rysow nik zm uszony jest, prawie zawsze, zm einiać w rozmaity sposób wym iary i kształty ciał przedstawianych. Rysunki w ten sposób w ykonyw ane nie m ogę być użyteczne ani G eom etrom , którzy na jednej płasczyznie zwykli przedstawiać figury znajdujące się w przestrzeni, ani Architektom , ani też Inżynierom dla których rysunek jest o tyle tylko użytecznym o ile przedstawia on położenie w zględn e, kształt, a nadewszystko wymiary rzeczywiste rozm aitych części składow ych ciała. Dla nadania rysunkom tej niezbędnej ścisłości matematycznej uciec się należy do m etody, tyle obfitej, zwanej m etodą przekształcenia figur geom etrycznych. Przekształcona plaska, która w łaśnie odpowiada figurze w przestrzeni, m oże być otrzymaną najrozmaitszemi sp osobam i; najprostszym z nich jest sposób tak zwany

« metoda rzu tó w » którem u sław ny Monge nadał m iano G eometryi W ykreślnej.

W łasn ości figury przedstawionej i tej którą chcem y przedstawić są w ścisłym z sobą związku, to jest, że każdej w łasności jednej figury odpow iada podobna w łasn ość drugiej i od w rotn ie; związek ten p osłużył Mo n g e’ow i do wykazania z w i e l k ą zręcznością znacznej liczby w łasn ości geom etrycznych.

W dalszym ciągu niniejszego dzieła podamy rozw inięcia użyteczne dotyczące tej kw estyi, na ch w ilę zaś ograniczym y się na tym krótkim rzucie oka, który już potrafi zw rócić naszą uwagę na jedną zasadę geom etryczną niewyczerpaną i istniejącą obok głów n ego celu Geometryi W ykreślnej.

2 W Y K Ł A D G E O M E T R Y I W Y K R E Ś L N E J

W idzim y w ięc, że Geometrya W ykreślna ma dwa głów n e zadania : pierw sze, którego przedmiotem jest podanie sposobu przedstawiania figur w przestrzeni to jest trzy-w ym iarow ych na płasczyznie, która jest powierzchnię d w u -w ym iarow ę i drugie, którego przedm iotem jest podanie m etody, z geom etryi rozum ow ej, zwanej przez p. Ch a s l e sm etodę p rzem ia n y fig u r (transm utation des tigures).

O N I E S K O Ń C Z O N O Ś C I

2. L in ija p ro sta p r z e d s ta w ia t y lk o jed en p u n k t w n ie s k o ń c z o n o ś c i.— W samej rzeczy, jakikol­ wiek punkt prostej znajduje się, pow iadam y, w n iesk ończon ości, jeżeli od ległość jego od innego ja­ k iegokolw iek punktu obranego dow olnie na tejże prostej jest w iększę od w szelkiej d łu gości, którę sobie m ożem y w ystaw ić. Przyjęwszy to określenie, w eźm y pod uw agę jakękolw iek liniję prostę i na niej dwa punkta stałe A i B i punkt ruchom y M; w szelka w artość szczególna nadana prostem u sto su n

-MA

kowi od cin ków — oznacza odrażu p ołożenie punktu M, lecz dla punktu prostej leżęcego w n ie­ sk ończon ości stosunek ten jest zawsze rów ny 1, a zatem należy przyjęć, dla nadania w iększej ogólności rozw ięzaniom geom etrycznym , że ta jedyna wartość stosunku odnosi się li-tylko do jed n ego punktu, lub inaczej m ów ięc, że dwa k ońce prostej uważanej sę połęczone jed nym tylko punktem zwanym

punktem te j p ro stej w nieskończoności. Przyjęć zarazem należy, dla uniknienia absurdum , że w ielkość

punktów w nieskończoności nie jest, jak innych punktów prostej, zerem .

3. P r o sta w n ie sk o ń c z o n o śc i d la p ła s c z y z n y . — Jakakolwiek prosta danej płasczyzny posiada jed en punkt w nieskończoności, w sk u tek tego, m iejsce punktów w nieskończoności danej płasczyzny jest przecięte jakękolw iek prostę w jednym pun kcie, a zatem m iejsce to w n ieskończoności musi być lin iję prostę.

4. P ła sc z y z n a w n ie sk o ń c z o n o śc i d la 'p o w ie r z c h n i. — M iejsce prostych w n iesk oń czon ości w szystkich płasczyzn danej pow ierzchni tworzy pow ierzch nię, a ponieważ linija prosta przecina tę pow ierzchnię w jednym tylko punkcie, zatem m iejsce p u n k tó w w nieskończoności dla pow ierzchni jest płasczyznę.

O R Z U T A CH

5. R zu t z b ie ż n y (fig. ł ) . — Jeżeli jakikolw iek pęk linij prostych S.A B C .... ma w szystkie sw e pro­ mienie SA, SB, S C ... skierow ane do rozm aitych punktów jakiejś figury A, B, C ... która daje się sprowadzić do jednego punktu, przecięcie jej jakękolw iek płasczyznę P , znanę pod nazwiskiem płas- czyzny rzutów , utw orzy, figury danej w przestrzeni, przekształconę a, b, c ...., którę Po n c e l e t nazwał rzutem zbieżnym figury A, B, C ... na płasczyznę P.

W tym system acie pęk S .A B C ,... prostych danych tworzy p ęk rzucający; prom ienie SA, SB, S C ,... sę lin ija m i rzucającem i, a w ierzchołek pęku S jest punktem zbiegu rzutów .

6. P e r s p e k ty w a z w y c z a jn a (fig. 1). — Rzut zbieżny przybiera także nazw ę perspektyw y z w y ­ czajnej figury rzuconej i w takim razie oko obserwatora znajduje się w punkcie zbiegu rzutów S ; linije rzucajęee zw ię się tu prom ieniam i widzenia, a płasczyzna P zw ie się płasczyznę obrazu,

7. Cień r z u c o n y p rze z p u n k t ś w ie c ą c y [fig. 1). — W k ońcu rzut zbieżny m oże być jeszcze uważany za cien rzucony przez punkt św iecący na płasczyznę P figury danej A, B , C ,... i w tem przy­ puszczeniu w ierzchołek S pęku linij staje się punktem św iecącym a linije rzucające stają się prom ie­ niami św iecącem i.

8. R zu t o str o k r ę g o w y . — Pow ierzchnią stożkow ą nazywam y p ow ierzchnię utworzoną ruchem piostej przechodzącej bezustannie przez punkt stały S i opierającej się na linii stałej AB zwanej

kierow nicą [fig. at)

WIADOMOŚCI W STĘPNE 3

Określenie pow ierzchni stożkowej podane powyżej uspraw iedliw ia dostatecznie nazwę rzutu ostro- kręgow ego lub stożkow ego nadaną rzutowi zbieżnem u.

9. R zu t w a lc o w y . — Powierzchnią w alcow ą nazywamy powierzchnię utworzoną ruchem prostej zmieniającej sw e położenie rów nolegle do prostej danej D i opierającej się na krzywej sta­ łej AB (fig. a2)

Podług tego określenia rzut stożkowy zam ienia się na rzut w alcow y, jeżeli punkt zbiegu le ż y w nie­ sk oń czon ości i w danym oznaczonym kierunku (fig. 2).

10. R zu t u k o śn y (fig. 2). - - Każdy rzut w alcow y zrobiony w kierunku prostej D lecz n ie pro­ stopadle do płasczyzny rzutów P, zwie się rzutem ukośnym lub perspektyw ą kaw alierską lub nareszcie

cieniem słonecznym .

11. R zu t p r o sto p a d ły (fig. 3 ) . — Jeżeli kierunek w szystkich linij rzucających jest prostopadły do p asczyzny rzutów, to rzut figury danej na płasczyznę rzutów zwie się rzutem prostopadłym

(ortogo-Uwaga. — Rozm aite rodzaje rzutów, które podaliśm y p ow yżej, wypływają zrzu tów zbieżnych, wszelka w ięc w łasność rzutowa znaleziona dla tych ostatnich stosow ać się będzie w zupełności do wszystkich

4 W Y K Ł A D G E O M E T R Y I W Y K R E Ś L N E J

12. T w ie r d z e n ie . — R z u t lin ii p ro stej na płasczyznę je s t lin iją p r o s tą .--- Poniew aż rzucające rozm aitych punktów prostej uważanej tworzą płasczyznę, która przecinając się z płasczyzną rzutów daje na przecięcie inną prostę będącą rzutem prostej d a n ej, zatem w ogóln ości rzutem prostej na

płasczyznie jest linija prosta.

Tw ierdzenie nasze staje się fałszyw em w ted y tylko, kiedy dana prosta w przestrzeni przechodzi przez punkt zbiegu rzutów , albow iem w ów czas, wszystkie rzucające zchodzą się z liniją rzuconą, a w skutek tego, cały rzut sprowadza się do jed nego punktu.

13. T w ie r d z e n ie . — R zu ty lin ij rów noległych na je d n ą płasczyznę tworzą iciązkę (fig. 4 ). — Niech będą A , B , C ,... linije rów n oległe dane, S punkt zbiegu ich rzutów; linija rów noległa S s do linij danych A , B, C ... spotyka płasczyznę rzutów w punkcie S, a poniew aż ten punkt jest rzutem w sp ól­ nym punktów leżących w nieskończoności ax , bx , cx ... na prostych danych, zatem punkt ten jest zarazem w ierzchołkiem wiązki s . a|3y,... której prom ienie są rzutam i prostych rów noległych

w ziętych pod uwagę.

W przypadku rzutów w alcow ych ukośnych lub ortogonalnych prosta S s będzie m iała w nieskoń­ czoności dwa punkta zupełnie różne: jeden na kierunku prostych rzuconych, drugi na kierunku p ros­ tych rzucających, zkąd wypada, że ta prosta leżeć będzie na płasczyznie w nieskończoności (§ 8), a zatem, że punkt S będzie rów nież w niesk ończon ości, czyli, że rzu ty ukośne lub ortogonalne prostych

rów noległych są równoległe.

O Z N A C Z E N IE P O Ł O Ż E N IA P U N K T U

14. Położenie p unktu danego nie je s t oznaczonem znając tylko jeden z jego rzutów na p ła sc zyz­

nie (fig. 5). — N iech będą : S punkt zbiegu rzutów i a jed en z rzutów punktu danego; uważm y

rzucającą S, wszystkie punkta na niej leżące jak A j, Ao, A3, . . . odpowiadają w zupełności zadaniu, zatem punkt w przestrzeni nie jest wyznaczonym .

Dla u sunięcia tej n iep ew n ości zgodzono się dany punkt w przestrzeni przedstawiać dwom a rzu­ tami a, a' na dw ie płasczyzny P , Q, i odpow iedniem i punktami zbiegu rzutów S, S ; w ówczas bow iem punkt A w przestrzeni znajdować się m usi w punkcie przecięcia A rzucających Sc, Sa '.

R Z U T Y P R O S T O K Ą T N E

15. Zazwyczaj w Geom etryi W ykreślnej używ a się dla oznaczenia położenia jakiegokolw iek przed­ m iotu danego w przestrzeni, rzutów prostopadłych na dw ie płasczyzny Y , H tworzące z sobą kąt prosty (fig . 6) i zwane płasczyznami rzutów. Jakkolwiek położenie tych płasczyzn Y i H m oże być dow olne, jednakże zazwyczaj przyjmuje się że jedna z nich jest poziomą a druga p ionow ą.

P rzecięcie tych dw u płasczyzn o których m owa daje liniję prostą, którą nazywamy lin iją ziemną albo osią rzutów i oznaczamy ją literam i x i y położonem i w ten sposób, że jeżeli w yobrazim y sobie obserwatora stojącego w kącie 1 na płasczyznie poziom ej i obróconego twarzą ku płasczyznie pionow ej, litera x le że ć będzie po lew ej jego stronie a litera y po prawej.

ż e : 1° oś rzutów dzieli płasczyznę poziom ą na d w ie części, z których pierwsza leżąca przed osią zw ie się płasczyzną pozioma przednią, a druga leżąca za osią zwie się płasczyzną poziomą ty ln a ; 2° oś rzutów dzieli płasczyznę pionow ą także na dw ie części, z których pierwsza leżąca po nad osią zw ie się płasczyzną pionową górną, a druga leżąca pod osią płasczyzną pionową dolną.

Płasczyzny rzutów tworzą pom iędzy sobą cztery kąty dw uścienne noszące nazwy ścian przez które są utworzone (fig . 6), a m ianow icie:

kąt dw uścienny 1 zw ie się kątem prze.dnio-górnym,

kąt — 2 — tyln o -g ó rn ym ,

kąt — 3 — tyln o -d o ln ym ,

kąt — 4 — przednio-dolnym .

Zazwyczaj dla uproszczenia om ów ien ia oznacza się cztery kąty d w u ścien ne o których m owa licz­ bami 1, 2, 3, 4.

16. K reślenie rzutów na dwu płasczyznach w zględem siebie prostopadłych w położeniu swem naturalnem przywiodłoby w końcu do robienia rysunków w przestrzeni, otóż dla uniknienia i obejścia tej trudności obracam y (czyli robim y kład) od przodu ku tyłow i płasczyznę pionow ą górną z figurą na niej w yrysowaną na ok oło linii ziem nej jako osi tak, żeby ona padła na płasczyznę poziomą tylną

[fig. 6); w ten sposób utworzona figura jest płaską, przybiera nazwę w ykres [fig. 7) i służy nietylko do

przedstaw ienia figury w przestrzeni, lecz nadto do w ykonyw ania na niej w szelk ich odpow iednich działań.

Żeby dow iedzieć się co. przedstawia jakikolwiek w ykres należy przypuścić m yślą że płasczyzna pio»- now a rzutów została na now o podniesioną do swego p ierw otnego położenia (fig. 8) i w tym stanie w yobrazić sobie kształt figury w przestrzeni, jako otrzymany z przecięcia się odpow iednich prom ieni d w u wiązek prostych rzucających, w ychodzących z punktów zbiegu rzutów i dotykających ro z­ m aitych punktów przedstawionych w rzutach na w ykresie.

17. Znam ieniem lub ivzniesieniem punktu nazywam y odfegłość jego od płasczyzny poziom ej rzu­ tów; od ległość zaś punktu od płasczyzny pionowej rzutów zwie się oddaleniem .

18. T w ie r d z e n ie . W jakim kolw iek w y k re sie: 1° Oba rzu ty jednego i tego samego p u n ktu leżą na

jednej prostej prostopadłej do osi rzutów i odw rotnie; dwa jakiekolw iek p u n kta w ykresu, leżące na je d n ej łin n rzutów , są rzu ta m i jednego i tego samego p u n ktu w p r z e s tr z e n i; 2» Z n a m ię p unktu równa się odległości jego rzutu pionowego od osi rzutów ; oddalenie zaś równa się odległości tejże osi od je g o rzutu poziomego.

W samej rzeczy : 1» Niech będzie punkt A dany i a, a \ jego dwa rzuty [fig. 9); płasczyzna a A a j jest prostopadła do obu płasczyzn rzutów , przecięcia w ięc jej a j* i z tem i płasczyznami są prostopadłe do osi rzutów x y . Jeżeli w ięc teraz b ęd ziem y obracać na około linii x y płasczyznę pionow ą aż do zlania się jej z płasczyzną poziom ą, prosta a \ a zostanie ciągle prostopadłą do linii ziem nej x y i przypadnie na ««', która jest przedłużeniem aciu a zatem na w ykresie dwa rzuty a, a' punktu A znajdują się po zrobieniu kładu płasczyzny pionowej na jednej linii rzutów. Dla dow ie­ dzenia odw rotności tego tw ierdzenia, zauważm y, że 1° na w ykresie, z sam ego założenia wypada, rzuty uważane leżą na jednej prostej prostopadłej do osi rzutów , że 2° ta prostopadła do osi rzutów, po przyw iedzeniu napow rót płasczyzny pionow ej do sw ego pierwotnego położenia dla odtworzenia

o WYKŁAD GEOMETRYI W YKREŚLNEJ

figury w przestrzeni, rozdzieli się na osi rzutów na d w ie proste leżące na płasczyznie prostopadłej do płasczyzn rzutów ; z powyższych danych w yw n iosk ow ać m ożem y że rzucające odpow iednie punktom danym leżę na tej płasczyznie i przecinają się w łaśnie na niej w punkcie przestrzeni którego rzuty są dane.

2° Figura A a! ia.a jest prostokątem , wypada ztąd że A a — a \ a = a'a i A a j — aa., które to rów ności udawadniają dostatecznie drugiej części naszego twierdzenia.

Prosta aa' łącząca na w ykresie dwa rzuty jed n ego i tegoż sam ego punktu (fig. 10) nosi nazwę

lin ii rzutów.

W n i o s e k. — Ż e b y dwie lin ije dane w przestrzeni przecinały się z sobą, potrzebnem i dostatecznem je s t, żeby punkta przecięcia się ich rzutów tegoż samego nazwiska, leżały na je d n e j lin ii prostej prostopadłej do osi rzutów (fig. 11). Niech będą ab, a!b';cd, c'd' rzuty dw u linij jakichkolw iek, żeby te linije przeci­

nały się w przestrzeni potrzebnem i dostatecznem je st, żeby punkta przecięcia f i f , ich rzutów tegoż sam ego nazwiska, były rzutami jed nego i tegoż sam ego punktu w przestrzeni, lub, na zasadzie pow y­ żej podanego twierdzenia, żeby punkta /' i f ' leżały na jednej linii rzutów.

19. Z n a k o w a n ie. — Oznaczać będziem y raz na zawsze : 1° w ielkiem i literam i A, B ,C ,... punkta figur danych w przestrzeni; 2° m ałem i odpow iedniem i literam i a , b , c , . . . rzuty poziom e; 3° tem iż sam em i m ałem i literam i akcentow anem i a ',b ', c ',... rzuty pionow e tychże samych punktów .

20. C zęści w id z ia ln e . — Dla oznaczenia części w idzialnych na rysunku przyjętem jest raz na zawsze że oko obserwatora znajduje się w od ległości niesk ończenie wielkiej i na prostopadłej do płasczyzny na którą dany przedm iot rzucam y, po nad płasczyzną poziom ą i przed płasczyzną p ionow ą.

H ipotezy te mają za cel zam ienianie rzutów' na perspektyw ę (§ 6 ,1 0 i 1 1 ), której prom ienie w id ze­ nia, skutkiem położenia w jakiem się znajduje obserw ator, są rów n oległe do odpow iednich linij rzucających.

Nadto, uważając płasczyzny rzutów za nieprzezroczyste, w ypływ a, że obserwator będzie m ógł tylko dostrzegać przedm ioty znajdujące się w pierwszym kącie dw uściennym 1.

21. W y k o n a n ie r y s u n k u .— Na rysunkach Geometryi W ykreślnej znajdujemy zazwyczaj dwa rodzaje linij: 1° linije przedstawiające dane w zadaniu i linije w ypad kow e; T linije pom ocnicze. Na każdym rysunku części widzialne odnoszą się tylko do linij przedstawiających dane rzeczy w zadaniu i do linij w ypadkow ych; tak jedne jak drugie przedstawiają się czarnemi linijam i ciągłem i jeżeli są w idzialne i punktam i okrągłem i (... ) czarnemi kiedy ich dostrzedz nie m ożem y.

Linije pom ocnicze przedstawia się kreskami czarnem i przerywanem i (---) lub też linijam i ciągłem i lecz czerw onem i.

Jeżeli przypadkowo jakaś linija pom ocnicza jest dużego znaczenia przedstawia się ją w ówczas liniją

SPOSOBY PRZEDSTAW IANIA PU N K TU , L IN IJ I PŁASCZYZNY ₇

R O Z D Z I A Ł II

S P O S O B Y P R Z E D S T A W I A N I A P U N K T U , L I N IJ I P Ł A S C Z Y Z N Y

22. P r z e d s ta w ie n ie p u n k tu . — Dla zupełnego wyczerpania kwestyi dotyczącej sposobów przed­ stawienia punktu za pom ocą rzutów prostopadłych (ortogonalnych) ułożym y tutaj tabliczkę rozm ai- tych jego położeń w zględem płasczyzn rzutów {fig. 12).

(a, a') Punkt leżący w kącie I

(b, b') — _ 2

(c, ć ) — — 3

(d, d’) _ _ 4

( f> f) punkt leżący na płasczyznie pionowej po nad płasczyzną poziom ą;

(&> 9 ) — — pod — —

[h, h ) poziomej za płasczyzną pionow ą;

I*’ O — — przed — —

[i>J') punkt leżący na osi rzutów;

(k, k') punkt leżący na płasczyznie dzielącej drugi kąt dwuścienny na dw ie równe części;

((, V) punkt lezący na płasczyznie dzielącej na dw ie rów ne części czwarty kąt d w u ­ ścien ny;

0m ,m ') Jeżeli założymy znam ię punktu równać się będzie jego oddaleniu od płasczyzny pionowej rzutów , a sam punkt leżeć będzie na płasczyznie dzielącej na dwie równe części kąt d w uścienny 1.

(», n ) punkt leżący na płasczyznie dzielącej na dwie rów ne części kąt d w uścienny 3 dla którego m amy wv = w'v.

23 U s u n ię c ie l i n i i zie m n e j (fig. 13). - Niech będą m , n, p ,... rzuty punktów ja lej olw iek figury danej w przestrzeni i x y linija ziem na; przesuńm y tę liniję rów nolegle do jej pier­ w otnego położenia na od leg ło ść równą 5, np. do położenia x lV i - po tern przesunięciu w zniesienia roz­ m aitych punktów powiększą się lub zm niejszą o w ielkość i, gdy tym czasem oddalenia zmniejszą się lub powiększą o takąż samą w ielk ość.

Dla w ytłom aczenia tego rezultatu dosyć jest przypuścić, że płasczyzna pozioma została przesuniętą do gory lub na dół o w ielkość <5 i że płasczyzna pionow a została przysunięta lub odsunięta o tęż samą w ielkość.

Dla wielkiej liczby rysunków głów ną rolę odgrywa p ołożenie w zględne punktów , a zatem , położenie ich względem płasczyzn rzutów nie przedstawiając żadnego interesu, można bardzo często usunąć zupełności liniję ziem ną, pamiętając jednakże że kierunek tej linii, którego znajom ość jest zawsze użyteczną, oznaczy się za pom ocą linij rzutów, to jest za pom ocą prostopadłych do osi rzutów istniejących na każdym bez wyjątku rysunku, na których leżą rzuty każdego z punktów uważanych.

położę-nia, chociaż zm ienia płasczyzny spółrzędne nie w pływ a jednakże bynajmniej na zm ianę położenia płasczyzny dzielącej na dw ie rów ne części kąty dw u ścien ne 2 i 4, to jest że ta ostatnia płasczyzna zachowuje położenie stałe.

P R Z E D S T A W I E N I E L 1N IJ

24. P r z e d s ta w ie n ie lin ij . — Linija prosta przedstawioną jest zawsze przez sw e dwa rzuty, roz­ patrzmy w ięc szczególne dwa przypadki, na które w zastosowaniach natrafić m ożem y.

Płasczyzna rów noległa do płasczyzny pionow ej rzutów7 zw ie się płasczyzna frontową lub po prostu

obrazem lub frontem , a figura narysowana na płasczyznie obrazu zwie się figurą obrazu i m ówić należy prosta obrazu, koło obrazu, luielobok obrazu. Linija leżąca na płasczyznie rów noległej do płasczyzny

poziom ej zwie s i ę : poziom a albo lin ija zrów nania.

Płasczyzna prostopadła do osi rzutów nosi nazwę płasczyzny p ro filu , wszelka figura narysowana na tej płasczyznie zwie się figurą profilu, p ow iem y n p . : prosta pro filu , koło p ro filu , wielobok profilu.

25. T w ie r d z e n ie . —■ R zu t prostopadły lub ukośny jakiejkolw iek lin ii je s t w naturalnej wielkości, jeżeli

ta linija leży na płasczyznie równoległej do płasczyzny rzutów . — W samej rzeczy, w tym przypadku linija

i jej rzut przedstawiają przecięcie w alca, rzucającego tę liniję, dwrnma płasczyznam i rów n oległem i, a przesuwając jedno z tych przecięć rów nolegle de sw ego pierw otnego położenia i w kierunku rzuca­ jących doprowadzim y go do zlania się z drugiern.

26. T w ie r d z e n ie . R z u t prostopadły linii jakiejko lw iek lecz nie leżącej no. płasczyznie rów noległej do pła sc zyzn y rzutów , j e s t m n iejszy od lin ii rzuconej.— U ważm y najprzód prostę AB która nie jest rów n o­

ległą do płasczyzny rzutów , rzućm y ją na ab i oznaczmy kąt jaki ona tworzy z płasczyzną rzutów przez «; będzie, bardzo naturalnie, a b — AB dos a , a zatem A B > a S gdyż kąt a n ie jest rów nym zeru. W łasn ość której tu dow iedliśm y dla jakiejkolwiek prostej będzie także prawdziw ą dla wszelkiej lin ii łamanej.

Uważm y obecnie łuk jakiejkolw iek krzywej, w iem y że d ługość tego łuku jest granicą obw odu linii łamanej wpisanej w uważany łu k, której boki zdążają do zera podług jakiegokolw iek dow olnego prawa. W ypada w ięc ztąd, że linija w przestrzeni i jej rzut są granicami obw odów obu linij łam anych zm iennych, z których jedna jest wpisaną w łuk dany, gdy tym czasem druga zostaje bezustannie rzu­ tem pierwszej, a których boki tak jedne jak drugie mają za w spólną granicę zero. W ten sposób

sprowadzamy odrazu nasze zadanie do podanego poprzednio. Dwa zadania odwrotne poprzedzającym, jeżeli uważać b ędziem y tylko rzuty ortogonalne, są także praw dziw e, gdyż obejmują one wszystkie m ożliw e przypadki i prowadzą przy hipotezach różnych, do w ypadków zupełnie różnych, czyli że wypadki charakteryzują hipotezy a hipotezy wypadki, w ięc zadania odwrotne poprzedzającym są praw dziwe. — Streszczając m ożem y pow iedzieć : Ż e b y rzu t prostopadły ja k ie jk o lw ie k lin ii na pła s-

c zyzn ę, b y ł rów ny naturalnej wielkości tej lin ii, niezbędnem j e s t żeby p ła sc zyzn a , na której leży lin ija dana, była równoległą do p ła sczyzn y rzutów w zięte j pod uwagę.

27. T w ie r d z e n ie . — Jeżeli ja k a k o lw ie k linija leży na płasczyznie prostopadłej do je d n e j z płasczyzn

rzutów , to rzu t jej na tę ostatnią płasczyznę je s t p ro sto lin ijn y i odwrotnie, W samej rzeczy, jeżeli linija

jakakolw iek leży na płasczyznie prostopadłej do jednej z płasczyzn rzutów, rzucające odpowiednia

'ugą

rozm aitym jej punktom leżą w płasczyznie linii uważanej, prosta w ięc przecięcia płasczyzny rzutów z płasczyzny, na której leży linija w przestrzeni, jest rzutem tej ostatniej linii, zatem rzut ten jest pro-

stohnijny. * r

Odwrotnie. - Jeżeli rzut jakiejkolw iek linii jest prostolinijny, rzucające rozm aitych jej punktów

lezą w szystkie na płasczyznie rzucającej, przechodzącej przez ten rzut i prostopadłej do płasczyzny na któią wykonyw am y rzut; poniew aż z drugiej strony linija dana w przestrzeni leży na płasczyznie rzucającej, m usi w ięc się znajdow ać na płasczyznie prostopadłej do tej na którą rzut w ykonyw am y.

W y n i k I . — J e że li lin ija dana leży na p łasczyznie rów noległej do je d n e j r. pła sczyzn rzutów , rzu t j e j na

drugą płasczyznę rzutów j e s t rów noległy do osi rzutów i odwrotnie. - W ynik ten jest w idocznym , gdyż

z dow odzenia twierdzenia z którego on w ypływ a wypada, że rzut ten linii danej na drugą płasczyznę rzutów jest śladem płasczyzny, na której leży linija rzucona, na płasczyznie rzutów którą ta płasczyzna spotyka, i nadto ze ten siad jest koniecznie rów n oległym do osi rzutów.

Co do odw rotności, takowa, m ożem y p ow iedzieć natychm iast, jest w idoczną; jeżeli b ow iem jeden z rzutów linii danej jest rów n oległy do osi rzutów , w ów czas odpow iednia płasczyzna rzucająca jest rów noległą do drugiej płasczyzny rzutów, a w skutek tego, linija w przestrzeni, która leży na swej p asczyzme rzucającej, znajduje się. w rzeczyw istości na płasczyznie równoległej do tej z płasczyzn rzutów na której nie leży rzut w zięty pod uwagę.

W y n i k I I . _ Jeżeli dana ja ka ko lw iek lin y a leży na je d n e j z p ła sczyzn rzutów , to r z u t j e j na drua

płasczyznę rzutów przypada na lin ii ziem nej i o d w r o tn ie .- W łasność ta jest tylko szczególnym przypad

kiem poprzedzającej.

Wy n ik III. - - L in ia p ro filu ma dw a rzu ty prostolinijne i prostopadle do osi rzutów w tym że sam ym

punkcie i odwrotnie.

Dla dowiedzenia niniejszego zadania dostatecznem będzie zastosow ać twierdzenie z którego ono w ypływ a, do obu rzutów linii uważanej.

Uw a g a. — Rzuty w szystkich linij, leżących na jednej i tej samej płasczyznie profilu, padają, jak tego dow odzi ostatni w ynik poprzedniego twierdzenia, na ślady samej płasczyzny, rzuty w ięc ich są niew yraźne, a zatem -.jakakolw iek lin ija p ro filu nie je s t dostatecznie określoną p rze z swe rzu ty.

28. T w ie r d z e n ie . — Ż e b y dwie h n ije wzięte dowolnie na dwu płasczyznach rzutów w yznaczały liniję

w p rzestrzen i, niezbędnem i dostatecznem je s t, żeby cztery ich pun kta ostateczne brane w kierunku poprzecz­ n ym leżały po dw a na oddzielnych linijach rzutów.

W arunek ten jest w samej rzeczy n iezb ęd n ym , g d y ż :

1° gd y b y , na rysunku przedstawiającym liniję uw ażaną, dw ie linije rzutów aa', bb' (fin. R ) odpowiadające punktom ostatecznym branym w kierunku poprzecznym , zchodziły się z sobą linija rzucona znalescby się m usiała na płasczyznie profilu i w takim razie, byłaby niewyznaczona (§ 27, Wyn. III, Uw.); otóż, chociaż przypadek p odob ny m oże m ieć w rzeczyw istości miejsce o 1 zucim y go z tego względu, ze szukamy tutaj w arunków, którym zadość uczynić należy, żebv linija dana była wyznaczoną przez sw e rzuty.

* " „ I “ . '' “ d” ej < * • i5 )t “ ,a 'eCZM « « * “ w kierunku

1 0 W YKŁAD GEOMETRA! W YKREŚLNEJ

nie leżały po dwa na oddzielnych Jinijach rzutów , znalazłyby się takie punkta, które mając np. rzut p ion ow y m ' nie posiadałyby od p ow iedn iego rzutu p oziom ego, co jest niem ożebnem . W n osim y w ięc , jak to ma m iejsce na figurze 1 6-ej, gdzie punkta ostateczne (a, a'){b, b') leżą na odpow iednich linijach rzutów, że muszą one zawsze zadosyć czynić tem u w arunkow i, czyli że warunek ten jest niezbędnym .

Pow iadam y że jest on dostatecznym ; w samej rzeczy, jeżeli w arunek len jest d opełniony, m ożem y w ybrać na dw u rzutach danych tyle par punktów bardzo bliskich siebie i połączonych linijam i rzutów ile nam się podoba i otrzymać w ten sposób rzuty szeregu punktów także bardzo zbliżonych. Jeżeli ob ecn ie będziem y zbliżać do siebie tak znalezione linije rzutów , otrzymamy w g ra ­ n icy ciąg nieprzerwany punktów , które utworzą liniję zazwyczaj krzywą, której rzutami będą w łaśnie dw ie linije dane. Warunki tutaj podane będąc dopełnione, linija szukana będzie wyznaczoną w prze­ strzeni, a zatem warunki te są dostateczne.

W y n i k. — Ż e b y dwie lin ije w zięte dowolnie na dwu płasczyznach rzutów w yzn a cza ły w zupełności lin ije w przestrzeni, niezbednem i dostatecznem j e s t , żeby żadna z nich nie była prostopadła do osi rzutów .

29. S ia d a m i jakiejkolw iek linii nazyw am y punkta w których ona spotyka płasczyzny rzutów ; te z n ic h , które leżą na płasczyznie pionow ej rzutów zwią się śla d a m i pionow em i, leżące zaś na płasczyznie poziomej rzutów noszą nazwę śladów poziomych.

30. Z ad an ie. — Z naleść śla d y ja kiejko lw iek lin ii której rz u ty są dane {fig. 1 7 ),— N iech l i V będą rzutami jakiejkolw iek linii której ch cem y w ynaleść ślady np. na płasczyznie pionow ej rzutów . Punkta szukane znajdują się jed n ocześn ie na lin ii L i na płasczyznie pionow ej rzutów, a zatem , jako n a le ­ żące do linii L , rzuty ich poziom e w in n y się znajdow ać na linii l , a poniew aż nadto leżą one na płasczyznie pionowej rzutów , rzuty ich na drugą z płasczyzn spółrzędnych w in ny leżeć na osi rzutów x y , zatem rzuty poziom e szukanych śladów pionow ych znajdą się na w spólnem przecięciu prostych l i x y , to jest, w punktach v t , v2, v 3, vi ; z drugiej strony w idzim y, że ślady pionow e szukane są sw em i w łasnem i rzutami p ion ow em i, które w in ny leżeć zarazem na linijach rzutów poprowadzonych przez punkta v h v3, v3, v t , i na rzucie p ionow ym linii danej, to jest na lin ii l ', znajdą się w ięc one w punktach przecięcia tych prostych, to jest w punktach r / , v j , v j , v j . Ślady poziom e dadzą się otrzym ać w sposób zupełnie podobny poprzedzającem u, który tylko co podaliśmy przy wyznaczaniu śladów pionow ych. Z pow yższego rozum ow ania w yprow adzić m ożem y następujące prawo : D la znalezienia śladu lin ii danej na je d n e j z płasczyzn rzutów , należy przedłużyć do spotkania

się z osią rzutów , rzu t przeciwnego nazw iska te j lin ii i z p unktu wspólnego przecięcia się tych dwóch lin ij poprowadzić prostopadłe do osi rzutów aż do spotkania się z d ru g im rzutem lin ii danej, pu n kt tak otrzym any będzie w łaśnie śladem szukanym .

C zęści w id z ia ln e ja k ie jk o lw ie k l in ii w z g lę d n ie do p ła s c z y z n r z u tó w [fig. 17).— Dla oznaczenia części w idzialnych jakiejkolw iek lin ii, należy przedewszystkiem nakreślić zapom ocą m etody podanej p ow yżej, ślady lin ii danej, następnie należy zauważyć że odcinki tej lin ii, zawarte pom iędzy śla­ dami po sobie następującem i, znajdują się w jednym kącie d w u śeiennym utw orzonym przez płasczyzny spółrzędne, i że z tych odcinków te tylko są widzialne, które się znajdują w kącie dw uśeiennym 1 (§ 20).

R eguła ta została zastosow any na figurze 17, na której stosow n ie do przyjętej um owy w para­ grafie 21, zostały wyznaczone części w idzialne rzutów jakiejkolw iek linii.

S ia d y p r o s t e j .— Sposób znalezienia śladów jakiejkolw iek linii, podany pow yżej, m oże być zasto­ sow any bez zmiany do znalezienia śladów linii prostej; fig. 18 przedstaw ia jego zastosow anie do tego szczególnego przypadku.

31. P r z e c ię c ie ja k ie jk o lw ie k l i n i i z p ła sc z y z n ą d z ie lą c ą n a d w ie r ó w n e c z ę ś c i k ą ty d w u - ś c ie n n e 2 i 4. — Rzuty jakiegokolwiek punktu, leżącego na plasczyznie dzielącej na dw ie równe części kąty d w u ścien ne 2 i 4 , zlewają się z sobą, w ięc punkta przecięcia dwu rzutów tej linii danej są w łaśn ie rzutami punktów szukanych; jeż eli w ięc linija dana jest jakakolw iek, jak to ma m iejsce na figurze 17, przecięcie się jej rzutów l, l' daje następujące punkta szukane (m u n i ¡), (m2, m'2), (m3, m '3), (m4, ml fi) , . . . : jeżeli zaś linija dana d , d' {fig. 18) jest liniją prostą, otrzymam y tylko jed en punkt (m u n i fi odpowiadający zadaniu.

32. P r z e c ię c ie j a k ie jk o lw ie k lin ii l, V z p ła sc z y z n ą d z ie lą c ą n a d w ie r ó w n e c z ę ś c i k ą ty d w u ­ ś c ie n n e 1 i 3 {fig. 19 i 20, tab. II). — Rzuty jakiegokolwiek punktu leżącego na plasczyznie dzielącej na d w ie rów ne części kąty d w u ścien ne 1 i 3 , są sym etrycznie p ołożone w zględem osi rzutów ; żeby w ięc wyznaczyć rzuty pionow e szukanych punktów przecięcia, jeżeli linija dana jest jakąkolwiek liniją krzywą {fig. 19), lub liniją prostą [fig. 2 0 ), należy przedew szystkiem nakreślić liniję p om ocniczą h sym etryczną do l w zględem osi rzutów i znaleść punkta przecięcia tej linii pom ocniczej z rzutem p ion ow ym /' linii danej, a punkta w ten sposób otrzymane będą w łaśn ie punktam i szukanemi; znajdziem y w ięc : w przypadku figury 19 rzuty p ionow e następujące m \ , m \ , m '3, w przypadku zaś figury 20-ęj punkt m fi. Po dokonaniu tych w ykreśleń, linije rzutów , przechodzące przez punkta tylko co zn a le zio n e, przecinając się z rzutem poziomym l linii danej, wyznaczą rzuty poziom e p un któw szukanych i otrzymamy : dla figury 19-ej punkta (m u ml fi, (m2, m 'fi, (m 3, m '3), a dla figury 20-ej punkt {m it m' fi.

33. Z ad an ie. — Znając siady ja k iejko lw iek prostej, znaleść j e j rzu ty {fig. 1 8 ) .- - N iech będą : h ślad poziom y prostej danej i v' jej ślad pionow y; dla znalezienia rzutów tej prostej, szukajmy rzutów dwu jakichkolw iek z jej punktów; jeżeli przyjm iem y ślady h i v', które są sw e mi w łasnem i rzutami na plasczyznach spółrzędnych na których one leżą, a których drugie rzuty leżą na przecięciu się osi rzutów z linijam i rzutów przechodzącem i przez punkta h i v', znajdziem y rzuty {A, h j i {v, v j , dwu punktów prostej danej, a łącząc tak znalezione rzuty punktów prostem i Iw i AV otrzymam y rzuty prostej odpow iadające zadaniu.

34. P r z e d s t a w ie n ie p ro stej. — Dla zupełnego wyczerpania k w estyi dotyczącej przedstawienia prostej przez sw e rzuty, rozbierzemy tutaj rozm aite przypadki odpow iadające różnym położeniom , jakie dana prosta przyjmować m oże w zględem płasczyzn rzutów.

1° Proste pochyle względem płasczyzn rzutów i względem linii ziem nej. — W ykresy utworzone przez takie proste są następujące :

P rosta jakakolw iek (fig. 21). — Kreśląc ślady tej prostej dostrzegamy że ona przechodzi przez trzy

kąty d w uścienne i m ożem y oznaczyć jej części widzialne (§ 30).

P rosta pochyła spotykająca oś rzutów (fig. 2 2 ). — Ta prosta przechodzi tylko dwa kąty d w u ścien ne

i

1 2 W YKŁAD GEOMETRYI W YKRESLNEJ

P rosta pochyla rów noległa do p ła sc zyzn y dzielącej na dw ie równe części kąty dwuścienne (fig. 23,

tab. 11).— Punkt spotkania tej prostej z płasczyzny dzielącą na d w ie rów ne części kąty dw u ścien ne 2 i 4 znajduje się w n iesk ończon ości, a zatem rzuty tej prostej d, d! muszą być rów noległe (§31). Odwrotnie w ię c . Jeżeli rzuty jakiejkolw iek prostej są rów n oległe w zględ em siebie na rysunku, prosta ta jest rów n oległą do płasczyzny dzielącej na dwie rów ne części kąty d w u ścien ne 2 i Ł

Prosta pochyla leżąca n a p łasczyznie dzielącej na dwie równe części ką ty dwuścienne 2 i 4 (fig. 24,

tab. II). — Rzuty rozm aitych punktów tej prostej w inny się zlew ać na rysunku w jed en ; toż samo w inno m ieć m iejsce z rzutami d, d ' samej prostej.

P rosta p ochyła leżąca na płasczyznie dzielącej na dwie równe części kąty dwuścienne I i 3 (fig . 25,

tab. II). — Rzuty rozm aitych punktów tej prostej, a tern samem i rzuty samej prostej, w in ny się zlew ać na i’ysunku.

Prosta pochyła równoległa do pła sczyzn y dzielącej na dwie równe części kąty dwuścienne 1 i 3 (fig. 26,

tab. II).— Ta prosta w inna zajm ować na rysunku położenie rów noległe do prostej o której m ów iliśm y pow yżej, zatem jej rzuty w inny być jednakow o nach ylone do osi rzutów .

2° P rosta pochyla w zględem płasczyzn spółrzędnych i prostopadła (co do kierunku) do osi rzutów

(fig. 27, tab. II). — Prosta ta znajduje się na płasczyznie profilu i rzuty jej, prostopadłe do osi rzutów

w jednym i tym sam ym punkcie, nie wystarczają do dokładnego oznaczenia jej położenia (§ 27. U w .), w id oczn em jest jednakże, że oznaczając rzuty dw u punktów (a, a'), (b, b') tej prostej będzie ona w zupełności w yznaczoną; oto jest sposób którego używ am y dla w yznaczenia położenia prostej leżącej na płasczyznie profilu. Dla oznaczenia części w idzialnych takiej prostej należy znaleść jej ślady; sposób ogólny podany powyżej nie m ogąc jednakże być zastosowanym do przypadku którym się zajm ujem y, u ciec się m usim y do m etody osobnej którą tu podam y.

Zadanie.

P i e r w s z e r o z w i ą z a n i e (fig. 27, tab. II).— Obróćmy płasczyznę profilu, na której leży prosta (ab. a'b'),

na około sw ego śladu poziom ego ab i zróbm y jej kład na płasczyznę poziom ą rzutów; podczas tego ruchu punkt a' opisuje na płasczyznie pionow ej rzutów łuk koła, którego środkiem je st punkt «, aż do spotkania się z osią rzutów w punkcie a \ ; rzucające punktu A przypadają w kładzie na prostych on, a \ przechodzących przez punkta a, a \ i prostopadłych odpow iednio do p ro ­ stych ab i x y , punkt ich w spólnego przecięcia A 4 tworzy ślad punktu A. Kład drugiego punktu B prostej danej otrzymuje się w sposób zupełnie podobny do poprzedzającego, łącząc w ięc punkta A i} liniją prostą A i B i i przedłużając ją na obie strony, otrzym am y, w punktach przecięcia się tej prostej raz z prostą ab drugi raz z osią rzutów x y , punkta h i v' które są w łaśnie śladami szukanemi.

Pow róćm y ob ecn ie płasczyznę profilu do sw ego p ierw otnego p ołożen ia; punkt h pozostanie n ie- ruchom ym na prostej ruchom ej i na płasczyznie poziomej rzutów, jest w ięc on śladem poziom ym prostej danej; punkt v \ opisze na płasczyznie pionowej rzutów łuk koła, którego środkiem jest punkt a i przypadnie, nie opuszczając podczas tego ruchu ani prostej, ani płasczyzny pionow ej, w punkcie v'; ten ostatni punkt m usi w ięc być szukanym śladem pionow ym prostej danej.

Dr u g i e r o z w i ą z a n i e (fig. 28, tab. II).—N iech będzie prosta dana ab, a'b', żeby znaleść jej ślady rzućmy ją na płasczyznę poziom ą rzutów, przyjmując za punkt zbiegu rzutów jakikolw iek punkt płasczyzny pionowej np. s, s'; w tym celu nakreślm y proste sa, s'a', wyznaczające rzucającę stożkow ą punktu A,

którego rzut poziom y « przedstawia rzut zbieżny pierw szego punktu prostej profilu; rzut zbieżny ¡3, drugiego punktu tejże prostej, wyznaczy się w sposób podobny do poprzedniego, zatem łącząc tak otrzym ane punkta z sob ą, znajdziem y najprzód szukany rzut zbieżny o(3, a następnie punkta prze­ cięcia h i i>\ tej prostej przedłużonej, z osią rzutów x y i z prostą ab.

Zauważmy obecnie : 1° że w szelki punkt płasczyzny poziom ej rzutów jest nietylko swym własnym rzutem ortogonalnym , lecz nadto swym w łasnym rzutem zbieżnym ; 2° że rzuty zb ieżne punktów płasczyzny pionow ej rzutów leżg. na osi rzutów; w idzim y w ięc, że punkt li je st rzutem zbieżnym szukanego śladu poziom ego czyli tym śladem , a punkt v' 1 jest rzutem zbieżnym śladu p ionow ego, który leży w punkcie v' przecięcia rzucającej stożkowej s'v'i z prostg. ab. Zadanie to da się jeszcze rozwigzać inaczej, posługujgc się rzutami w alcow em i w ykonanem i w kierunku linii obrazu. Po podaniu tych roz- w igzań , zajmijmy się na now o roztrzgsaniem kwestyj dotyczgcych szczególnych położeń linij prostych.

3° P rosta dana je s t prostą obrazu {fig. 29, tab. II). — Rzut poziom y d tej prostej jest rów n oległy do osi rzutów (§ 27. W yn. 1), rzut zaś jej pionow y d' jakikolw iek i na nim pew na część prostej jest widzialng w naturalnej w ielkości (§ 25).

4° Prosta pozioma {fig. 30, tab. II). — Z powyższego wypada, że rzut pionow y takiej prostej jest rów n oległy do osi rzutów, tym czasem rzut jej poziom y jakikolw iek obejm uje daną prostę w natu­ ralnej w ielkości.

5° P rosta równoległa dc p ła sczyzn spótrzędnych (fig. 31, tab. II). — Oba rzuty takiej prostej są rów n oległe do linii ziem nej i jakikolw iek jej odcinek przedstawia się w rzucie na którąkolwiek z płas­ czyzn rzutów, w naturalnej w ielkości.

6° P rosta prostopadła do p ła sc zyzn y pionow ej rzutów [fig. 32, tab. II).— Rzut p ionow y takiej prostej sprowadza się do jed n ego punktu d! (§ 12), rzut zaś jej poziom y ¿ z le w a się z prostopadłą do osi rzutów poprowadzoną przez ten punkt d' (§27. W y n. III).

7° P rosta prostopadła do płasczyzny poziom ej rzu tó w {fig. 33, tab. II). — W tym przypadku rzut poziom y sprowadza się do jednego punktu d, a rzut pionow y d' zlew a się z prostopadłą do linii ziem nej poprowadzoną przez punkt d.

W Z G L Ę D N E P O Ł O Ż E N IA P R O S T Y C H

35. Dwie proste dane m ogą zajm ować w przestrzeni jedno z trzech następujących położeń : 1° m ogą się przecinać,

2° m ogą być rów n oległe,

3° m ogą nie leżeć na jednej płasczyznie.

Żeby można było w yznaczyć p ołożenie dwu prostych na danym rysunku przypom nijm y przede- wszystkiem 1° że rzuty tegoż sam ego nazwiska dwu prostych przecinających się [d, d 1), (¿,, d'j) krzyżują się w dwu punktach m, m ' {fig. 34, tab. II) leżących na jednej lin ii rzutów (§ 18, W n.); 2° że rzuty tegoż sam ego nazwiska dw u prostych rów noległych (d, d'), (¿1, d \) są w zględem siebie rów n oległe. O dw rotności tych dw u w łasności będąc także prawdziw e, w idzim y, że dwie proste {d, d'),

{di, d\ ) nie leżą na jednej płasczyznie {fig. 30, tab. II), jeżeli warunki charakteryzujące dwa pierw sze

przypadki nie są d opełnione.

36. Z ad an ie. — Oznaczyć położenie w zględne dw u prostych [ab, a'b'), (cd, c'd') lezących na jednej

i te j samej płasczyznie profilu.

u WYKŁAD GEOMETRY! WYKREŚLNEJ

Pi e r w s z e r o z w i ą z a n i e {fig. 3 7 ,ta b . II). — Zasadzając się na m etodach podanych powyżej (§ 34. 2°) m ożna, nie zm ieniając położenia w zględnego prostych danych, zrobić ich kład na około śladu p ozio­ m ego plasczyzny profilu na której one leżę w AjBjCilh i oznaczyć w prost na tym kładzie ich położenie względne; w przypadku którym się zajm ujem y, proste dane przecinają się w pun kcie, którego kładem jest punkt M1; Gdybyśm y, obecnie, po zrobieniu kładu, życzyli znaleść, rzuty punktu przecięcia w kładzie .M„ w przypadku odpowiadającym dw u prostym n ierów n oległym , należałoby, wychodząc z punktu Mt, zrobić w ykreślenie odw rotne tem u, którego użyliśm y do zrobienia kładu jakiegokolw iek z punktów danych; postępując w ten sposób znajdziem y rzuty m , m! punktu spotkania prostych profilu.

Dr u g i e r o z w i ą z a n i e. — Rozwiązanie które w tej chw ili podajem y zasadza się na następującej

uwadze : Ż e b y dw ie proste leżące na je d n e j p łasczyznie lub na dw u płasczyznach równoległych b y ły

w zględem siebie równoległe, niezbędnem i dostatecznem j e s t , żeby ich rzu ty ukośne, na dwie plasczyzny równoległe wzięte tu ty m sam ym kierunku, b y ły rów noległe. W samej rzeczy, n iech będą d w ie pro­

ste (ab, a'b'), (cd, c'dr) których rzuty są dane (fig. 38, tab. II); przesuńm y oś rzutów rów n olegle do sw eg o p ierw otn ego położenia w x p j , tak, żeby punkt d leżał na niej a zatem punkt d , d' na płasczyznie poziom ej rzutów; n astępnie rzućm y na tę now ą płasczyznę rzutów w kierunku prostej obrazu cy, c'y', d ow oln ie obranej, prostę cd, c'd' ; rzut ukośny punktu c, c' w yznaczy się śladem poziom ym y rzu­ cającej cy, c'y', a poniew aż punkt d leżący na płasczyznie poziom ej, która ob ecn ie jest płasczyzną poziom ą rzutów, jest sw ym w łasnym rzutem ukośnym , otrzymamy w ięc rzut ukośny pierwszej prostej danej łącząc punkía. d i y liniją prostą. Rzut ukośny ba drugiej prostej danej, na płasczyznie poziom ej rzutów utworzonej kreśląc nową oś rzutów otrzymam y w taki sam sposób jak powyżej. Jeżeli w ięc ob ecn ie rzuty ba i dy są w zględem siebie rów n oległe, proste leżące na płasczyznie profilu będą także rów n oległe, w przeciwnym razie prosie dane przetną się z sobą.

Używając tylko jednej płasczyzny poziomej rzutów, otrzym alibyśm y, za pom ocą m etody rzutów ukośnych, nie tylko położenie w zględne dw u prostych, lecz nadto rzuty punktu w spólnego ich prze­ cięcia jeżeli te proste się krzyżują. W ykonanie od pow iedn iego rysunku zostawiam y czytelnikow i celem bardzo użytecznego ćw iczenia.

37. Z ad an ie. — *Z m ie ść położenia w zględne dw u prostych leżących na dwu płasczyznach profilu. Zadanie to jest tylko uogólnieniem zadania poprzedzającego, i rozwiązanie podane dla tego ostat­ niego m oże być bezzm iennie zastosow anem do niniejszego; ze w zględu jednakże na objaśnienia które podaliśm y powyżej, kw estya nasza nie przedstawia żadnych trudności, w skutek w ięc tego postaramy się podać tu inne rozwiązanie n ieco prostsze od poprzedzającego, które także daje się zastosow ać do szczególnego przypadku już rozwiązanego i prowadzi do wykreśleń nieco krótszych od podanych poprzednio.

Niech będą (ab, a'b'), (cd, c'cl') d w ie proste dane (fig. 39, tab. II), żeby te proste b yły rów n o­ ległe, potrzebnem i dostatecznem jest, żeby proste pom ocnicze (ac, a'c'), (bd, b'cl') otrzymane z połączenia z sobą po dw a punktów pierwszych prostych, leżały na jednej płasczyznie; w ten sposób zadanie sprowadza się do przypadku ogóln ego; w samej rzeczy, obecnie w in n iśm y znaleść położenia w zględne dw u prostych jakichkolw iek (ac, ale'), (bd, b'd') nie leżących na płasczyznie profilu; na naszym rysunku w idzim y, że punkta przecięcia rzutów różnego nazwiska f ' , g tych prostych nie leżą na jednej prostopadłej do osi rzutów , a zatem tak te proste, jak i proste leżące na płasczyznach profilu, nie znajdują się na jednej płasczyznie.

SPOSOBY PRZEDSTAW IANIA PUNKTU, LIN IJ I PŁASCZYZNY 1 5

Za pom ocą sposobu podanego tutaj, m ożem y, jak to p ow ied zieliśm y pow yżej, rozwiązać zadanie podane w paragrafie 36 ; w samej rzeczy, niech będą (a b ,a 'b '), ( y S ,y 8 ') rzuty punktów służących do wyznaczenia prostych danych na jednej płasczyznie profilu (fig. 39, tab. II); dla przekonania sięczy te proste są rów n oległe, posuńm y jed nę z nich np. (y8, y'§') rów nolegle do jej p ierw otnego położenia i W kierunku osi rzutów; prosta ta przyjm ie, na d ow olnie obranej płasczyznie profilu, poło­ żenie (cd, c'd') w yznaczone przez przecięcie się śladów płasczyzny pom ocniczej z prostem i, rów no- leg łem i do osi rzutów x y , przechodzącem i przez punkta yy', SSr. W tej chw ili już możemy zastąpić prostę (yS, y 'S j przez (cd, c'd') i p ow rócić do zadania które jest przedm iotem niniejszego paragrafu.

38. Z ad an ie. — Z n aleśćpołożenia w zględne prostej ja k iejko lw iek i prostej profilu (fig. 40, tab. II).— U suńm y oś rzutów (§ 2 3 ). Niech będą (ab, a'b') i (d, d ') proste dane, żeby te proste się przecinały potrzebnem i dostatecznem je st, żeby punkta (a, a'), (b, b') i punkt przecięcia (c, c') prostej (d, d'), z płasczyzna profilu przechodzącą przez drugą prostę daną, leżały na jednej linii prostej, lub żeby rzuty tych punktów , na jakąkolw iek płasczyznę i w jakim kolw iek system acie, leżały na jednej prostej; w tym celu rzućm y je w alcow o w kierunku prostej (d , d ') na płasczyznę dzielącą na dwie równe części kąty d w u ścien n e 2 i 4 (§ 23, U w .), a znajdziemy, dla przypadku przedstaw ionego rysun­ kiem , że trzy punkta (a, «'), ((3, /3') i (y, ■/) leżą na jednej prostej, czyli że proste dane przecinają się.

P R Z E D S T A W I A N I E P Ł A S C Z Y Z N Y

3 9 .— Płasczyzna w przestrzeni m oże być p rzed staw ion a: jużto przez dwie proste, bądź ró w n o leg łe, bądź przecinające się; jużto przez trzy punkta nie leżące na jednej linii prostej; jużteż przez jedną prostę i punkt zewnątrz niej leżący i t. d. Zazwyczaj przyjętem zostało oznaczać płasczyznę dwom a prostem i podług których przecina ona dw ie płasczyzny rz u tó w ; proste te zwią się śladam i płasczyzny danej. Płasczyzna dana ma z płasczyznam i rzutów jeden tylko punkt w spólny leżący na trzech pros- tych^w spólnego przecięcia tych trzech płasczyzn branych po dwie; otóż te proste, które są śladami płasczyzny uważanej, zbiegają się z osią rzutów w jed nym punkcie, który w przypadku rów noległości płasczyzny danej do linii ziem nej, oddali się do nieskończoności, czyli streszczając mamy : Ś la d y

p ła sczyzn y przecinają oś rzutów iv je d n y m tylko punkcie, leżącym u) odległości nieskończenie w ielkiej je ż e li p ła sc zyzn a j e s t rów noległa do osi rzutów .

40. T w ie r d z e n ie . — Jeżeli prosta je s t prostopadła do p ła sc zyzn y to r z u ty j e j ortogonalne są prosto­

padłe dosiadów p ła sczyzn y (fig. 41, tab. III).— D ow odzenie tego twierdzenia przeprowadzone dla jednej

którejkolwiek płasczyzny rzutów , jest dostateczne. Niech w ięc będzie P , ab płasczyzna dana i jej ślad; D, R id prosta prostopadła do płasczyzny P , jej płasczyzna rzucająca i rzut jej na płasczyznę Q; płas­ czyzna R jest zarazem prostopadła do płasczyzny rzutów Q i do płasczyzny danej P, gdyż obejmuje ona w szystkie rzucające punktów prostej danej D i samą prostę. Rzucające te i prosta są znów prosto­ padłe : pierw sze, z w ykreślenia, do płasczyzny rzutów a ostatnia, z założenia, do płasczyzny P. Płas­ czyzna R jest w ięc prostopadła do w spólnego przecięcia ab płasczyzn P i Q ; odw'rotnie, ab jest prostopadła do płasczyzny R a zatem i do w szystkich prostych leżących na płasczyznie a zatem i do rzutu d prostej danej. W idzim y w ięc, że ślad ab płasczyzny P jest prostopadły do rzutu d prostej danej D.

1 6 ■WYKŁAD GEOMETRY! W YKREŚŁNEJ

41. O d w r o tn ie . — Jeżeli na dw u płasezyznach rzutów , rzu ty ortogonalne prostej są odpowiednio

prostopadle do śladów p ła sc zy zn y , prosta j e s t prostopadłą do p ta sc zy zn y . — Zachowajmy tak figurę jako

też i notacye przyjęte przy dow odzeniu tego twierdzenia wprost i zanim przystąpimy do dow odze­ nia od w rotn ości, zauważmy, że aby twierdzenie w prost było praw dziw e, trzeba, żeby rzuty prostej były prostopadłe do śladów płasczyzny na dwu płasezyznach rzutów , inaczej bow iem na płasczyznie lt m ożem y sobie w ystaw ić nieskończoną liczb ę prostych nieprostopadłyoh do płas­ czyzny P, których rzut w spólny będzie jednakże m iał m iejsce na prostej d. Zajmijmy się obecnie sam em d ow odzeniem i zauważm y że płasczyzny Q i R są do siebie prostopadłe a zatem i prosta ab prostopadła do ich w spólnego przecięcia d na jednej z nich Q, jest prostopadłą także do dru­ giej R. Z p ow yższego w n osim y, że płasczyzna P, na której leży prosta w spólnego przecięcia; jest także prostopadła do płasczyzny R, czyli odw rotnie, płasczyzna R jest prostopadła do płasczyzny P.

Jedna z płasczyzn rzucających prostę D będąc prostopadłą do płasczyzny danej P , druga płasczy­ zna rzucająca m usi być także do niej prostopadłą, a zatem prosta przecięcia D tych dw u płasczyzn m usi być także prostopadłą do płasczyzny danej P.

42. T w ie r d z e n ie . — R zu t ortogonalny kąta prostego na płasczyznę rów noległą do jednego z je g o boków

je s t w naturalnej wielkości {fig. 42, tab. III). — Niech b ędą ARG i abc kąt prosty i jego rzut na płasczy­

znę Q rów noległa do jed n ego z je g o b oków np. do boku AB. Prosta AB rów n oległa do płas­ czyzny Q jest prostopadła do rzucającej B£ w ierzchołka; n a d to .z założenia jest ona prostopadła do prostej BG a zatem jest ona także prostopadła do płasczyzny S przedstawionej przez te d w ie proste, zkąd w ypływ a że płasczyzna rzucająca R jest także prostopadła do płasczyzny. S, w ięc kąt d w u - ścienny R, S utworzony przez te dw ie płasczyzny je s t kątem prostym, a ponieważ jego ściany są od pow iedn io prostopadłe do płasczyzn rzutów, kąt w ięc abc który jest kątem płaskim dwuścien- nego R, S m usi b y ć kątem prostym .

Niniejsze tw ierdzenie, zawierające d w ie hipotezy i jedno rozw iązanie, prowadzi do dwu od w rot­ n ości, których praw dziw ość podajem y w następującem dow od zeniu.

43. P ie r w s z a o d w r o tn o ść . — Jakikolw iek kąt je s t p rostym je ż e li jego rzut na płasczyznę równoległą

do jednego z je g o boków je s t kątem prostym. •—■ Zachowując figurę i notacye poprzedzającego para­ grafu i przypuszczając że kąt abc jest prosty, pow iadam y, że kąt dw uścienny R, S m usi być także kątem prostym i prosta ab prostopadłą do płasczyzny S. Bok AB będąc rów n oległy do płasczyzny rzutów 0 , będzie także prostopadły do płasczyzny S, będzie w ięc prostopadły do w szystkich prostych na niej leżącycli a w szczególności do boku BC, czyli że ten kąt jest rzeczyw iście prostym.

44. D ru ga o d w r o tn o ść . — Je że li r z u t n a płasczyznie jakiegokolw iek kąta prostego je s t w naturalnej

wielkości ten kąt ma p rzy n a jm n ie j jed en ze swych boków rów noległy do p ła sc zyzn y rzutów . — Zachowajmy

figurę i notacye (§ 42). Kąty abc i ABC są proste z założenia,, chcem y d ow ieść, że jeżeli jeden z jego b o k ó w n p . BG nie jest rów n oległy do płasczyzny Q, d ru g ije g o b o k AB musi być rów n oległym . W samej rzeczy, kąt abc będąc prosty, kąt d w u ścien ny utworzony przez płasczyzny R, S m usi być także prostym , w skutek tego boki kąta płaskiego muszą być prostopadłe do ścian na których nie leżą i rów n oległe do płasczyzny rzutu Q; z drugiej strony, prosta BC nie jest rów noległą do płasczyzny Q a zatem nie jest ona rów noległą do bc nie jest w ięc ona także prostopadłą do płasczyzny R,