Z a w ie s in a w p rz e p ły w ie ś c in a ją c y m ( ) = ⋅

Le pk oś ć w e w n ę tr z na z a w ie s in c z ą s te k o d o w ol ny m k s z ta łc ie B o g d a n C ic h o c k i IF T U W M a ri a L . E k ie l- J e ż e w s k a i E lig iu s z W a jn ry b IP P T P A N

Z a w ie s in a w p rz e p ły w ie ś c in a ją c y m ( ) = ⋅

v r g r

2

η = σ g

Z a w ie s in a w p rz e p ły w ie ś c in a ją c y m c d . . .. . .. ..

→

[ ]

(1 .. .)

 V η η η = + +

lepkość wewnętrznakoncentracja cząstek

[ ] 5 2

V η =

„1 ” !!

2 ( ) ex p ( )

i t

η ω ω = − σ g ∼ [ ]

( ) (1 .. .)

 V

η ω η η = + +

cząstki o symetrii osiowej H. Brenner, 1972 S. Kim and S.J. Karilla, 1991

[ ] [ ]

η η

+

Z a w ie s in a w o s c y lu ją c y m p rz e p ły w ie ś c in a ją c y m

M. Wasilewska, Z.Adamczyk i B. Jachimska, Langmuir(2009)

•Lepkość wewnętrzna zawiera informację o kształcie i rozmiarach cząstek. •Pomiar lepkości wewnętrznej jest w miarę prosty. •Pomiar ten przeprowadzany jest w makroskopowej skali czasu (~s) dużo większej od mezoskopowej (~µs) skali charakteryzującej rotacyjne ruchy Browna. •Mierzona jest zatem lepkość wewnętrzna dla ω=0. •Wkłady Brownowskie muszą być uwzględnione!!

( ) ( ) [ ( )]

c c c

V V V

d - d - d -

= × = =

∫ ∫ ∫

r f r F r r f r T r rf r S

( ) − f r g ę s to ś ć s ił ja k im i c z ą s tk a d z ia ła n a p ły n c a łk o w it a s iła c a łk o w it y m o m e n t s iły „s tr e s s le t”

0

            Ω =            

− 

    

tttrtd rtrrrd dtdrdd

U F T S g

µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ

U o g ó ln io n a m a c ie rz r u c h liw o ś c i d la p o je d y n c z e j c z ą s tk i

prędkość obrotowamoment siły „stresslet” obliczenia numeryczne np.HYDROMULTIPOLE

siłaprędkość translacyjna

0

2

 V

η = − σ g S

22 000

ˆ ( , , ) ˆ ( , ) ˆ ˆ ( , ) 1 ˆ si n

P t d P t d d d d

πππ

α β γ α γ β β

Ω = Ω Ω Ω = Ω =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

k ą ty E u le ra ro z k ła d p ra w d o p o d o b ie ń s tw a w c h w ili t

S ta n y r o ta c y jn e c z ą s tk i

K ą ty E u le ra

ˆ ˆ ( , ) ( , )

P t P t t k T

∂ Ω = − ⋅ ⋅ Ω ∂ = L D L D µ

R ó w n a n ie S m o lu c h o w s k ie g o d la r o ta c y jn y c h ru c h ó w B ro w n a

( , , )

L L L L i ϕ

= ∂ = − ∂

L o p e ra to r m o m e n tu p ę d u

0

ˆ ˆ ( , ) ( , ) ˆ : ( , )

rr rd

P t P t t i P t

∂ Ω = − ⋅ ⋅ Ω ∂ − ⋅ Ω

L D L L µ g

R o ta c y jn e r u c h y B ro w n a w p rz e p ły w ie ś c in a ją c y m

ˆ ln ( , )

ik T P t = − Ω − = ⋅

T L S µ T

„Brownowski” moment siły wkład do efektywnego tensor napięć

W k ła d B ro w n o w s k i d o l e p k o ś c i w e w n ę tr z n e j [ ]

1 ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 8 0

B B ijrr rd ijkkij

k T d H H i H iL

ω

η π ω µ

= Ω Ω Ω + ⋅ ⋅ =

∫ L D L

,2()() ,, ()() ,, ()() ,,

ˆ ˆ ( ) ( 1) ( ) ˆ ˆ ( ) ( ) s p a c e -f ix e d z ' a x is ˆ ( ) ( ) b o d y -f ix e d z a x is

jj mkmk jj mkmk z jj zmkmk

L D j j D L D m D L D k D

Ω = + Ω Ω = Ω Ω = − Ω

() ,

ˆ ( ), 0 ,1 ,2 .. ., , , 1, .. .. .

D j m k j j j Ω = = − − +

F u n k c je W ig n e ra – z u p e łn y ,o rt o g o n a ln y u k ła d d la ˆ ( ) f Ω

Wybieramy układ związany z cząstką, w którymjest diagonalnerr

D

ˆ ˆ ( ) ( )

rrrrr xxyyzz rrjjj MKKMK j liniowa kombinacja funkcji D mK

D L D L D L f ψ ψ

⋅ ⋅ = + + ⋅ ⋅ Ω = Ω

L D L L D L

Zagadnienie własne:

( ),

rdrdrd ijkkijilmlmjjlmlmj

H iL b µ ε µ ε µ = = +

te n s o r s y m e tr y c z n y b e z ś la d o w y j= 2

D D D D D × = + + c z y n n ik b = 1

2 ( )

rdrd xxzyxyzx rdrdrdrd yzxzzzxzyxyxyy

H H

µ µ µ µ µ µ

= − = − + − + p e rm u ta c je ( x ,y ,z )

F o rm a liz m m a c ie rz y o b ro tu , R a lli s o n (1 9 7 8 )

r R r =

iL R R ε ϕ ∂ ∂ = = ∂ ∂

rdrd kijklpsmnlsn

R R R µ µ =

[ ]

5 1 222 112 212 2 33

1 0 6 2 , 6 2 , 3 ( ), = 2

B iB ii xxyyzz xxyyzz xyz

A k T i f f D A A H H H c D c D c D f D A A f D D A H

ω

η ω

= + = + ∆ + = + + + + = − ∆ − = ∆ = +

∑

3 ( ), = 2 3 ( ), = 2 ( ) /3 ( ) 2 , , p er m ( , , )

yzx zxy xyz xyzxyxzyz xxxyyzzyz

f D D A H f D D A H D D D D D D D D D D D D D c H H H c c x y z

= + = + = + + ∆ = + + − − − = − + + →

K o ń c o w y w y n ik :

C ią g d a ls z y n a s tą p i: W y k o rz y s ta n ie w y p ro w a d z o n y c h w z o ró w d la b ia łe k - o b lic z e n ia n u m e ry c z n e - p o ró w n a n ie z w y n ik a m i e k s p e ry m e n ta ln y m i