Postępy Astronomii nr 3/1969

POSTĘPY

A S T R O N O M I I

C Z A S O P I S M O

P O Ś W I Ę C O N E U P O W S Z E C H N I A N I U

W I E D Z Y A S T R O N O M I C Z N E J

PTA

TOM XVII — ZESZYT 3

1969

P O L S K I E T O W A R Z Y S T W O A S T R O N O M I C Z N E

POSTĘPY

ASTRONOMII

K W A R T A L N I K

TOM XVII — ZESZYT 3

1969

K O L E G I U M R E D A K C Y J N E

R e d a k to r n ac ze ln y : S te fa n P io tro w sk i, W a rsz a w a

C zło n k o w ie: Jó z ef W itk o w sk i, P o zn ań W ło d zim ierz Zonn, W a rsza w a

S e k r e ta rz R e d ak c ji: Je rz y S to d ó łk ie w icz , W a rsz a w a

A dres R ed ak cji: O b serw ato riu m A stronom iczne UW W arszaw a, Al. U jazdow skie 4

W Y D A W A N E Z Z A S I Ł K U P O L S K I E J A K A D E M I I N A U K

P r i n t e d i n P o l a n d

P aństw ow e W ydaw nictw o N aukow e O ddział w Łodzi 1969 W y d a n i e 1. N a k ł a d 4 5 6 4- 124 e g i . A r k . w y d . 9 . 0 0 A r k . d r u k . 8 . 5 0 P a p i e r d r u k s a l . k l . U l . 8 0 g . 7 0 x 100. O d d a n o d o d r u k u 19. V I I I . 1909 D r u k u k o ń c z o n o w s i e r p n i u 1969 r . Z a m . 2 2 3 B - 8 C e n a i \ 1 0 , — Z a k ła d G r a f i c z n y P W N Ł ó d ź , ul. G d a ń s k a 162

PULSARY

S T A N I S Ł A W G R Z Ę D Z I E L S K I

nyjibCAPW

C . T ) K e H a e j i b C K M

C o f l e p j K a H M e

CTaTba coflep»MT o03op flaiiHbix o Ha6jiK)fleHMflx u TeopemuecKMe hh-

TepnpeTauMM nyjibcapoB, onyBjiMKOBaHHbisi b TeueHMM nepBoro ro ^a nocjie

OTKpblTMH 9TM X O Ó b e K T O B .

PULSARS S u m m a r y

The article reviews the observational data on pulsars and their theoretical interpretation as published during the first year after the announcement of the discovery.

1. WSTĘP

W lutym bieżącego roku minęło dwanaście miesięcy od opublikowania pierwszej wzmianki o odkryciu pulsara CP 1919 (He w i s h , B e l l , P i 1 k i n g- t o n , S c o t t , C o l l i n s 1968). Artykuł ukazał się w czasopiśmie „N aturę” , które stało się głównym forum dyskusji o tym fenomenie. W ciągu pierwszych sześciu miesięcy ukazało się w „N aturę” * 51 prac, zarówno teoretycznych jak i obserwacyjnych, w których doniesiono o odkryciu 9 pulsarów. Po roku

*W jesieni 1968 r. wydawnictwo Macmillan and Co Ltd w Londynie wydało tom reprintów wszystkich prac o pulsarach, jakie ukazały się w „N aturę” do końca sierp­ nia 1968 r. Ten niezmiernie interesujący i użyteczny tom zn alazł s ię w Obserwatorium Astronomicznym UW dzięki uprzejmości British Council w Warszawie.

180

S. Grzędzielski

liczba znanych obiektów s ię g a 25, a ilość prac publikowanych w „N atu rę ” wynosi średnio 8 na m iesiąc. Napływowi danych obserwacyjnych towarzyszy pokaz pomysłowości teoretyków, a brak hamulców w wysuwaniu dziwacznych na pozór hipotez interpretujących należy poczytać za zaletę w przypadku tak

nieortodoksyjnych obiektów.

Jak często bywa z wielkimi premierami, odkrycie pulsarów było niezamierzo­ ne. Nie s ą to jednak obiekty wyjątkowo słabe w dziedzinie radiowej i można by s ię dziwić, czemu nie zostały odkryte w cześniej. Główną przyczyną było, że mimo stosunkowo silnej emisji w maksimum ich średnia em isja j e s t poniżej progu wyczuwalności wielkich przeglądów nieba wykonywanych do tej pory w dziedzinie radiowej. Intensywność w maksimum również zmienia s ię w spo­ sób przypadkowy o kilka rzędów wielkości, tak że typowy pulsar j e s t z punktu widzenia radiowego źródłem sporadycznym.Odkrycie pulsarów stało s i ę więc możliwe z chwilą, gdy uruchomiono dostatecznie duży radioteleskop n asta­ wiony na badanie silnie i szybko f!uktuujących sygnałów.

W 1964 r. odkryto zjawisko radiowej scyntylacji międzyplanetarnej, poja­ w iającej s ię wtedy, gdy radioźródło o bardzo małych rozmiarach kątowych (np. kwazar) widziane je s t poprzez warstwę gazu międzyplanetarnego o dużych fluktuacjach g ę sto śc i. Fluktuacje odbieranego sygnału m ają sk alę c zaso w ą rzędu sekundy i s ą wynikiem dyfrakcji fal radiowych na niejednorodnościach ośrodka. Badanie radiowego obrazu interferencyjnego (szybkich zmian sygna­ łu) je s t interesujące z dwu względów: pozwala na wyznaczanie charaktery­ stycznych rozmiarów fluktuacji w plazmie międzyplanetarnej i na szacowanie rozmiarów kątowych radioźródeł. Im w iększy bowiem rozmiar emitującego źródła, tym mniej wyraźny je s t obraz interferencyjny.

W 1967 r. ukończono w Cambridge w Anglii specjalny radioteleskop prze­ znaczony do badań scyntylacji. Był to prostokątny układ 2048 dipoli, zajm ują­ cy 4 i pół akra powierzchni i pracujący na \ = 3.7 m (81.5 MHz). Ruch w rekta- scen cji sprowadza s ię do wykorzystania ruchu dziennego a sterowanie w dekli­ nacji przez odpowiednie przestrajanie fazy. Urządzenie rejestrujące było specjalnie dostosowane do odbioru sygnałów silnie fluktuujących, tak że warunki potrzebne dla odkrycia pulsarów były idealnie spełnione. W ciągu je sie ni 1967 r. kilkakrotnie zarejestrowano silny, fluktuujący sygnał brany początkowo za ja k ą ś pasożytniczą interferencję. 28 listopada po raz pierwszy zanotowano wyraźne pulsy o zmiennej amplitudzie, ale pojawiające s ię z nie­ zmierną regularnością. Nieco p ó źn ie jsza analiza wykazała, że c z a s trwania pulsu radiowego wynosi tylko 20 milisekund, co oznacza, że rozmiar emitują­ cego obiektu (= długość trwania pulsu mnożona przez prędkość światła) od­ powiada co najwyżej obiektowi o rozmiarach planetarnych. Regularność poja­ wiania się pulsów (względne zmiany okresu rzędu 10"7) sugerowała z początku istnienie cywilizacji odpowiedzialnej za wysyłanie tych sygnałów. Dokładne po­ miary zmian c z ę st o ś c i pojawiania s ię pulsów wykluczyły jednak możliwość

P uls ary

₁₈₁

ruchu orbitalnego źródła, co podważyło hipotezę cyw ilizacji związanej z jakimś pozasłonecznym układem planetarnym.

Współrzędne pierwszego odkrytego pulsara są: a = 19h 19 m37.s0+0.s2, 6 = +21°47,02,/± 10” . Odkrywcy zaproponowali więc oznaczenie CP 1919 od Cambridge Pulsar i rektascensji w godzinach i minutach. Później pojawiły się oznaczenia z literami początkowymi HP (Harvard Pulsar) itp., lub po prostu PSR (Pulsar).

2. DANE OBSERWACYJNE

Najbardziej charakterystyczną cechą pulsara je st stałość jego okresu, tzn. odstępu czasu między dwoma kolejnymi maksimami emisji. Na przykład zapis sekwencji pulsów dla CP 0808 obserwowanych w paśmie 81.5 MHz o szerokości 1 MHz (rys. 1) wykazuje wyraźnie w ielką regularność odstępów czasu między kolejnymi maksimami. F aza zachowuje się z bardzo wysoką dokładnością w okresie rzędu miesięcy i pulsary mogą być uważane za nie­ zmiernie dokładne zegary. W trzy miesiące po zaanonsowaniu odkrycia pierw­ szego pulsara znane były cztery obiekty tego rodzaju, dla których udało się też wyznaczyć okresy. Dla tych czterech pierwszych obiektów okresy za­ warte były między 1/4 a 4/3 sekundy a względna dokładność wyznaczenia okresu sięgała 10'*. Stan znajomości okresów z maja 1968 r. podany jest poniżej:

Obiekt Okres Jne dl 6P /P ■ 10

CP 0834 1?2737642±3 12.80 5.0±0.8 C P 0950 0?25306504+5 2.98 0.3+0.1 C P 1133 1?18791106±15 4.87 4.1+0.5 CP 1919 1?33730109±1 12.5.5 1.1+0.5 ^ sekunda 1 sek

Rys. 1. Sekwencja pulsów dla CP 0808

Błędy wyznaczenia okresów podane s ą w jednostkach ostatniego miejsca. Wielkość fn edl będzie dyskutowana poniżej. Wartość okresu zależy od przyjęte­ go położenia źródła, bowiem istotne tu są poprawki do momentów maksimów

182 S. G r z ę d z i e l s k i

wynikające z ruchu orbitalnego Ziemi. Uwzględnione to zo sta ło w w artościach podanych powyżej.

Dzięki olbrzymiej lic z b ie epok, już po kilku m ie sią c a c h (w s ty c z n iu 1969 r.) uzyskano ew idencje d o tyczące powolnych (wiekowych?) zmian periodu ( D a ­ v i e s , H u n t , S m i t h 1969). Względne zmiany okresu 6 P / P podane s ą w o s ta tn ie j kolumnie podanego powyżej z e s ta w ie n ia .

P o s z u k iw a n ia d a ls z y c h obiektów z a pom ocą aparatury o krótszej s ta łe j c zaso w ej doprowadziło niebawem do odkrycia pulsarow o okresach znacznie k rótszych od 1 s e k . P o d e jrz e n ia , że p u lsary m ogą być gwiazdami neutro­ nowymi powstałymi w wyniku fenomenu supernowej (jądro pre-supernowej) k azały szukać obiektów p u lsu jący ch w mgławicy Krab, pow szechnie uważa- nej za p o z o s ta ło ś ć po supernowej z 1054 r. Odkryto tam dwa takie obiekty (o znaczone NP 0527 i NP 0532) i o k res p u ls a ra NP 0532 j e s t w chwili o bec­ nej najkrótszym znanym okresem: 0 .0 3 3 0 9 112±0.00003 s . ( C o r n e l i a , C r a f t jr., L o v e l a c e , S u t t o n 1969). Wydaje się w ięc, że p ulsary mogą mieć okresy le ż ą c e w dosyć szerokim p rz e d z ia le , od k ilk u d z ie s ię c iu milisekund do ok. dwu se k .

i t

*

H ys. 2. Sekw encja pulsów obserw ow anych dla C P 1919 w dniu 8 m a rc a 1968. Widać k o re la c ję am plitud

Sekwencje pulsów danego p u ls a ra w y k azu ją w ie lk ą niereg u larn o ść. C z a s a ­ mi przez kilka minut kolejne p u ls a r y m a ją podobne amplitudy (rys. 2), czasam i s e k w e n c ja kolejnych pulsów wykazuje amplitudę z m ie n ia ją c ą s i ę w sposób losowy (rys. 3). Na przykład dla p u ls a ra C P 1919 zmiany amplitudy pulsów uśrednionych po kolejnych d z ie s ię c iu okresach w y g lą d a ją jak na ry s. 4. K s z ta łt kolejnych pulsów z a le ż y te ż od c z ę s t o ś c i o b se rw a c ji. Na'wet dla o bserw acji dokonywanych na bardzo b lisk ich c z ę s to ś c ia c h , np. 80.5 i 81.5 MHz k s z t a ł t p o szcz e g ó ln y c h pulsów może być różny (rys. 5). O bserw ując p u ls a r rów nocześnie na kilku kanałach, w różnych c z ę s t o ś c i a c h dosyć od sieb ie odległych, otrzym uje s ię c z ę s to np. wyraźne p u lsy w jednym lub kilku kanałach

Pulsary

183

Rys* 3* Sekwencja pulsów dla CP 0950, Losowe zmiany amplitudy

Q)

b)

Rys. 4. a) Zmiany w czasie uśrednionych po dziesięciu okresach amplitud pulsów dla CP 1919 b) Dobowe zmiany amplitud pulsów . Na obu rysunkach jednostką na osi

rzędnych je s t W m"J H z '1 10"J6 l i n i i i i i i i i i i i i t l 1.1 l ' T i_{^ j|}

815 MH.

' ' ' 1 ' \ ' ' ' i ' I V 1 1 t 1 i i i i i r i i i i i r i i i i > i >.i i i ' i 8Qf> Mffo . . . , , 1 1 . . . . 1 .

R ys. 5. Równoczesna rejestracja sekwencji pulsów dla CP 1919 na częstościach 80.5 i 81.5 MHz

184 S. Grzędzielski

--- 2,5 A1Hz --- ►

Rys. 6. Kolejne uśrednione pulsy w paśmie 408 MHz o szerokości 2.5 MHz dla CP 03 28. Uśrednianie pulsów dokonywane było w odstępach 50-sekundowych i zupełny zanik pulsów w innych. Po kilku minutach pulsy mogą się pojawić w tych kanałach, w których przed chw ilą nie były obserwowane, a zato częściowo lub zupełnie zaniknąć w pozostałych. Zmiany te również m ają charakter zmian przypadkowych. Je że li obserwować pulsar w stosunkowo wąskim paśmie częstości, ale z d u żą zdolnością rozdzielczą w częstości, to widać, że pulsy wędrują w sposób mniej lub bardziej losowy w obserwowa­ nym paśmie (rys. 6).

Struktura indywidualnego pulsu jest bardzo skomplikowana i zmienia się z pulsu na puls. Ilość' szczegółów jest funkcją stałej czasowej aparatury

Pulsary

185 rejestrującej. Na przykład kolejne pulsy dla CP 1919 obserwowanego ze stałą czasową 1 ms wyglądają jak na rys. 7. Zmniejszenie stałej czasowej do 100 (is pozwala na dostrzeżenie bardziej subtelnej struktury pulsów, jak to widać na przykładzie CP 0950 (rys. 8).

Rys. 7. Struktura kolejnych pulsów dla CP 1919 otrzymana ze s ta łą czasow ą 1 m ili­ sekunda na częstości 408 MHz

Już w dwa miesiące po opublikowaniu odkrycia pierwszego pulsara udało się zmierzyć polaryzację em isji radiowej pulsara CP 1919. Zapis sygnałów uzyskanych na 408 MHz w dwu kanałach połączonych odpowiednio z dwoma wzajemnie prostopadłymi dipolami ( L y n e , S m i t h 1968) wykazuje znaczną polaryzację zm ieniającą się szybko z pulsu na puls. Polaryzacja sygnału indywidualnego pulsu wykazuje również strukturę subtelną, prawdopodobnie

186

S. Grz ę d z i e l s k i

A m se k

R ys. 8 . S u b teln a stru k tu ra p u lsu d la C P 0950 otrzym ana ze s t a l ą c z a s o w ą 0.1 m ili­ sek u n d y na c z ę s t o ś c i 430 MHz

R y s. 9. R ó żn ice w s tru k tu rz e su b te ln e j d la prom ieniow ania sp o lary zo w an eg o praw o- s krę tnie (ry s. górny) i le w o sk rę tn ie (ry s . dolny). P u ls y z a re je s tro w a n e z o s ta ły dla

Pul s ar y 187

o g ran iczo n ą s t a ł ą c z a s o w ą ap aratu ry . Zmiany p o la ry z a c ji w ew nątrz p ulsu w idoczne s ą w yraźnie w przypadku np. C P 0950 (rys. 9), a zm iany polary zac ji z p u lsu na p u ls p rzed staw io n e s ą na ry s . 10, uzyskanym d la C P 1919. P o la ry z a ­ c ja w tym przypadku w ydaje s ię być prak ty czn ie całk o w ita i rów nież zm ienna w sposób losow y.

LyvV'

A'yyU’ ’

* V v

^WA^VW\sv^*v #MVtV

W w *

-*^Vvr

A/*V WlMy

100 m se/r

R ys. 10. Zm iany p o la ry z a c ji n a 408 MHz d la p u ls a ra C P 1919. Z a p is j e s t wynikiem sy g n ałó w o d b ie ra n y c h w dwu k a n a ła c h w zajem n ie p ro s to p a d le sk iero w an y ch

K s z ta łt widma obiektu radiow ego o p isu je s ię zazw y czaj za pom ocą potęgo­ wej z a le ż n o ś c i od c z ę s to ś c i v (g ę sto ść stru m ien ia energii S ~ v " a ). Z p o łą c z e ­ nia o b se rw a c ji na 81, 1410, 2295 i 2695 MHz w yznaczono ś re d n ią w artość a = 1.5 d la CP 0950 i C P 1133; strom ość widma j e s t w ięk sza d la C P 0834 i a > 3 d la C P 1919 d la c z ę s to ś c i pow yżej 1000 MHz.

188 S. Grzędzie Is ki

Rys. 11. Dyspersja w momentach dojścia sygnałów w funkcji częstosci obserwacji dla czterech pulsarów. Obserwacje dokonane były na częstościach 151, 240, 408

i 922 MHz

Obserwowany moment p ojaw ienia się pulsu zale ży od c z ę s to ś c i, na której dokonywane s ą obserwacje. P u ls na n iższy c h c zęsto ściach je s t opóźniony w stosunku do p u lsu na częstościach w yższych. Nasuw a s ię interpretacja tego zjaw isk a poprzez efekt dyspersji fal radiowych w zjonizowanym gazie międzygwiazdowym na drodze od pulsara do Z iem i. Prędkość propagacji fal elektromagnetycznych w plazm ie je st bowiem z a le żn a od długości fa li. P rze­ sunięcie dt momentu p ojaw ienia s ię pulsu zw iązane ze zm ian ą d v c zęsto śc i obserwacji wyraża s ię wtedy wzorem:

dt ^

(

1

)

d\> c v 3

r

gdzie Z je s t o d le g ło ś c ią do pulsara a Vp oznacza częstość p lazm ow ą z w ią z a n ą z ilo ś c ią n e elektronów w jednym cm3 za pom ocą zw iązku: n g = 1 .2 4 • 104 vp .

Pulsary 189

Powyższe związki pozw alają powiązać gęstość elektronów w gazie między- gwiazdowym z przesunięciem momentów pojawiania się pulsów na dwu częstościach. Z równania (1) wynika od razu, że różnica t, — t2 momentów pulsów na dwu częstościach powinna być proporcjonalna do l/ v , — l/y,2, je śli istotnie dyspersja fal radiowych w plazmie międzygwiazdowej odpowiada za opo'źnienie. iNa rys. 11 naniesione s ą dla czterech pulsarów odpowiednie opóźnienia momentów pulsów w funkcji różnic odwrotności kwadratów często­

ści. Obserwacje były wykonywane na częstościach 151,240,408 i 922 MHz. Jak widać, dla każdego pulsara punkty układają się na prostej, co jest argumentem przemawiającym za słusznością omawianej interpretacji. Nachylenie każdej z prostych jest miarą wielkości fv 2p dl, a zatem miarą całkowitej ilości elektro­

nów w jednostkowej kolumnie od pulsara do obserwatora. Je że li przyjąć, że zna­ na jest średnia gęstość elektronów w gazie międzygwiazdowym (szacuje się j ą na ok. 0.1 elektro n/cm3), to z nachylenia prostych wyliczyć można odległość pulsara. W poniższym zestawieniu podane s ą w ten sposób wyliczone od­ ległości 10 pulsarów, dla których zmierzono momenty opóźnienia z wystarcza­ ją c ą dokładnością:

Pulsar Odległość w hipotezie, że ng = 0.1 e l/cm J

CP 0328 267 pc CP 0808 58 CP 0834 128 . CP 0950 29 CP 1133 49 HP 1506 196 PSR 1749-28 509 CP 1919 125 AP 2015 142 PSR 2045-16 114

Rozumowanie powyższe można, oczywiście, odwrócić. Jeże li znana jest skądinąd odległość pulsara, np. dzięki identyfikacji z obiektem optycznym, to można stąd wyznaczyć średnią gęstość gazu elektronowego w materii międzygwiazdowej.

Dzięki temu, że pulsary są silnie spolaryzowane istnieje możność po­ miarów skręcenia Faradaya płaszczyzny polaryzacji. Jeżeli pole magnetyczne

posiada składow ą Hn wzdłuż promienia widzenia, to całkowita rotacja

płaszczyzny polaryzacji wynosi 0 = 7.3 10l° • v '2 • dl, je żeli v jest

w MHz, Hn w gaussach a / w parsekach. Pomiar rotacji Faradaya daje więc wartość neHn dl. Z kolei pomiar opóźnienia sygnałów w funkcji częstości obserwacji daje Jne dl. Stosunek tych dwu liczb daje więc natychmiast średnią

190 S. Grządzielski

wartość (ważoną gęstością elektronów) składowej pola magnetycznego równo­ ległej do promienia widzenia. Wydaje się to być niezmiernie obiecująca metoda

wyznaczania natężenia pola magnetycznego w Galaktyce. Pomiary rotacji Faradaya wykonane przez S m i t h a (1968) dla CP 1919 o współrzędnych galaktycznych l = 55°, b = +3°, dały na H\\ wartość znacznie m niejszą od spodziewanej, a mianowicie ^ 2 • 10"7 gaussów.

3. IDENTYFIKACJA Z OBIEKTAMI OPTYCZNYMI

Problem ten został podjęty bezpośrednio po ukazaniu się pierwszej wzmianki o pulsarze CP 1919. Identyfikacja z najsłabszymi obiektami na 48” kliszach Atlasu Palomarskiego wymaga znania pozycji obiektu radiowego z dokładnością do 10 sek. łuku. Pierwsze próby identyfikacji nie były uwień­ czone powodzeniem. W okresie wiosny 1968 r. niezbyt dokładnie znane poło­ żenie CP 1919 sugerowało możliwość identyfikacji z obiektem optycznym 17.5 wielkości i w kilku obserwatoriach podjęto próby poszukiwań fluktuacji optycznych, zarówno w świetle samej gwiazdy, jak i w świeceniu sąsiadują­ cego z n ią tła nieba. Wyniki pomiarów nie s ą jednak wiarygodne i obecnie uważa się, że zaobserwowaną rzekomo periodyczność zmian jasności optycz­ nej (o okresie dwukrotnie dhiższym od radiowego okresu pulsara) należy poło­ żyć na karb błędów obserwacji.

ms

Rys. 12. Krzywa zmian blasku optycznego pulsara NP 0532 identyfikowanego z pozo­ sta ło śc ią po supernowej AD 1054. Obserwacje C o c k e et al«

W chwili obecnej istnieje jedna pewna identyfikacja pulsara z obiektem optycznym. Chodzi tu o pulsar NP 0532 (jeden z dwu zaobserwowanych w mgła­ wicy Krab). Obserwacje optyczne ( C o c k e et al. 1969) wykonane były za pomocą 36" teleskopu Obserwatorium Stewarda w połączeniu z

fotomnożni-Pulsary 191

Rys. 13. Położenie pulsara NP 0532 w stosunku do izofot optycznych mgławicy Krab. Pulsarem jest prawdopodobnie lewy składnik centralnie le żąc e j gwiazdy (optycznie)

podwójnej. Prostokąt oznacza obszar, w którym leży pulsar radiowy

kiem 1P21. Ponieważ pulsar NP 0532 ma okres 0.033095 sek., obserwacje optyczne były dokonane w ten sposób, że sygnał z fotomnożnika szedł na oscyloskop, z tym że maszyna cyfrowa na bieżąćo podawała na ekran oscylo­ skopu obserwacje zredukowane na jeden okres. Przesuwając diafragmę foto­ metru poprzez centralny obszar mgławicy Krab autorzy stw ierdzili, że na ekranie pojawia się. puls optyczny (rys. 12), pochodzący od punktu 5 + 5 sek. łuku na pn i 4 + 5 sek. łuku na wschód od południowego składnika central­ nej podwójnej gwiazdy w mgławicy Krab. Separacja obu składników wynosi 4 sek. łuku i składnik północny znajduje się b liże j najbardziej prawdopodob­

nego położenia pulsującego obiektu optycznego. Oba składniki m ają jasność w izualną ok. +16 mag, jednakże tylko południowy uważany jest za fizycznie związany z mgławicą. C o c k e et al. utożsam iają zatem południowy składnik z obiektem pulsującym optycznie. Średnica diafragmy użytej do szukania pulsującego obiektu optycznego wynosiła 22 sek. łuku. Względne położenie pulsującego obiektu optycznego i pulsara radiowego pokazane jest na rys. 13, na tle izofot mgławicy Krab.

Nałożenie 300 pulsów optycznych uzyskanych za pomocą diafragmy

5-sekundowej daje obraz jak na rys. 14. Oprócz głównego pulsu o szerokości 1.4 ms widoczny jest również puls wtórny opóźniony o 14.0 ms i o szerokości 3 ms. Jasność V głównego pulsu rozmyta po całym okresie wynosi +18.2.

192 S. G r z ę d z i e l s k i

_l___________________________I___________________________I—

0 15,62 31,25

ms

Rys. 14. N ałożenie trzystu pulsów optycznych uzyskanych przez obserwacje wykona­ ne 2-metrowym teleskopem McDonalda. Pomiar został wykonany z diafragmą 5-sekundo- wą. Oprócz głównego pulsu o szerokości 1.4 msek. widoczny je s t również puls wtórny

opóźniony o 14 msek.

Dla obu pulsów razem otrzymuje się V - +17.7. Szczytowa jasność głównego pulsu wynosi V = +15.1. Dla głównego pulsu U—B = -0.8. B—V = +0.8. Po poprawieniu na absorpcję, między gwiazdową otrzymuje się odpowiednio -1.3 i +0.1. Sugeruje to obiekt bardzo niebieski o dużej nadwyżce ultrafioletowej. Je że li założyć, że kolory pulsu wtórnego s ą takie same jak dla głównego, to całkowita energia dochodząca w widmie optycznym w jednej sekundzie do obserwatora ziemskiego wynosi 8.10"12 erg/cm2. Odpowiednia wielkość dla widma radiowego pulsara wynosi 6.10"14 erg/cm2, a strumień promieniowa­ nia X od mgławicy Krab wynosi 10'7 erg/cm2/s . Oceny te uzyskane zostały przy założeniu, że odległość do mgławicy Krab wynosi 2 kpc. Je że li zało­ żyć dalej, że emisja w pulsach jest izotropowa, to moc optyczna pulsara wynosi 3.1033 erg/s, czyli 0.75 mocy optycznej Słońca. Wyniki pomiarów C o c k e et al. potwierdzone zostały przez pomiary N a t h e r et al (1969) za pomocą 8 2 " teleskopu obserwatorium McDonalda. Krzywa blasku wyka­ zuje również plus wtórny. Po poprawieniu na absorpcję międzygwiazdową

U—B = -0.66, B —V - +0.15 dla głównego pulsu, a średnia jasność obserwo­

wana wynosi V = 17.4. Odpowiada to jasności absolutnej My - +1.8. Powtarza­ jąc pomiar następnej nocy, N a t h e r et. al. udało się wykryć zmiany periodu pulsara. Period zdaje się wydłużać o 39.2 ns na dobę.

Ze względu na brak identyfikacji innych pulsarów z obiektami optyczny­ mi ocena odległości jest bardzo niepewna. Utrudnia to przejście od

obserwo-Pulsary

193

wanej mocy radiowej do rzeczyw istej mocy emitowanej przez pulsary w d z ie ­ dzinie radiow ej. J e ż e li przyjąć w ocenach o d leg ło ści n g rzędu 0.1 e l/c m J, to rzeczyw iste moce radiowe pulsarow w ydają się. zaw ierać w przedziale

10” - 1030 e rg/s. S ą to w ielkości porównywalne, lub nieco (w sk ali rządów w ielkości) m niejsze od mocy radiow ej szacow anej dla N P 0532.

4. IN T E R P R E T A C JA T E O R E T Y C Z N A OBSERW OW ANYCH WŁASNOŚCI PULSAROW

Trudno w chw ili obecnej mówić o interpretacji teoretycznej we właściwym tego słowa znaczeniu. P u ls a r je st fenomenem zbyt skomplikowanym, by można było dokonać konfrontacji ilo śc io w e j teorii z obserwacjam i. Proponowane teorie pulsarow s ą na razie tylko sugestiam i, w jakim kierunku należy szukać rozw iązań. Sugestie te n a jc z ę ś c ie j w zajem nie się w y k luczają i m a ją charakter czysto jakościow y. Być może, że ich główna wartość polega na fermencie intelektualnym i że wywołany pulsaram i fajerwerk pomysłów przyniesie roz­ w ią za n ia innych problemów astrofizycznych.

P obie żny przegląd danych obserwacyjnych w ybija na p lan pierwszy dwie cechy pulsarow: 1) szybko i chaotycznie fluktuujący sygnał: 2) bardzo krótki okres o znikom ych (aczkolw iek mierzalnych) w zględnych zm ianach. Zdanie sprawy z tych dwu faktów je s t punktem w y jśc ia każdej z interpretacji teore­ tycznych.

W łasność 1) ozn acza, że pulsar musi być obiektem bardzo małym, o roz­ miarach nie w iększych n iż charakterystyczna sk a la czasow a zmian mnożona przez prędkość św iatła. Ś c iś le j m ów iąc, ocena ta odnosi s ię do św iecącej (em itującej) c zę śc i pulsara. J e ż e li za charakterystyczną skalę c zas o w ą przyjmiemy szerokość p u lsu , to d la C P 1919 (szerokość pulsu rzędu 50 ms) otrzymujemy rozmiar 15 000 km, a d la N P 0532 puls o szerokości 1.4 ms daje rozmiar rzędu 400 km. Zm ierzona struktura subtelna pulsu wykazuje też jednak gwałtowne zm iany w sk a li czasow ej p oniżej 100 p s, co sugeruje rozmiary c zę śc i św iecących p o n iże j 30 km. W k onk lu zji w idać, że pulsar może być obiektem o co najw yże j rozmiarach planetarnych (np. b ia ły karzeł), albo nawet znacznie m niejszym (np. gw iazda neutronowa).

W łasność 2) ozn acza, że pulsary s ą bardzo dobrymi zegarami. W astro­ fizyce dobry zegar w iąże s ię zawsze z d u ż ą m asą, w y k on ującą bądź obieg dookoła innej dużej masy, bądź w irującą, bądź też w ykonującą drgania, np. radialne. Możliwe s ą też kom binacje tych ruchów. W każdym z tych przy- p.adków możemy w prosty sposób ocenić m asę obiektów wykonujących ruch.

N ajkrótszy okres obiegu otrzymuje się dla układu typu „ c o n ta c t” . Je ż e li oba obiekty m a ją jednakowe masy (M) i jednakowe promienie (/?), to okres obiegu P , wynosi:

194 S. Grzędzielski

P l - 4 tt- « * /2 G '1' 2 M-l/1 .

(2)

gdzie G oznacza sta łą grawitacji.

Jeżeli obiekt wiruje, to maksymalna prędkość odpowiadająca granicy stabil­ ności rotacyjnej wynosi (G M /R)1! 2 i okres ruchu wirowego:

P , - 2 ir • R l,i G ~l/2 M 'l/2 • (3)

Ocenimy teraz okres radialnego drgania gwiazdy w tonie podstawowym. Je że li o oznacza charakterystyczną prędkość dźwięku, to okres tonu pod­ stawowego będzie w przybliżeniu P 3 “ 2R /a . Z warunku równowagi hydro­ statycznej mamy o2 dp/dr “ ~G M r p /R 2: ze związku tego wynika (jeśli intere­ suje nas grube oszacowanie), że a = (G M /R

)1/ 2

i otrzymujemy:

Z R * '

2

G' 1' 2 M

-x'2 .

(4)

Ze wzorów (2—4) widać, że wszystkie trzy okresy są tego samego rzędu i zale żą od średniej gęstości p = 3M/4 ttR* obiektu. Aby otrzymać okres rzędu 1 s, średnia gęstość musi być rzędu 10* g/cm 5. Okres rzędu 30 ms wymaga gęstości rzędu 10“ g/cm 3. Oznacza to, że zjawisko pulsara musi

być ściśle związane z konfiguracjami zdegenerowanymi, jak biały karzeł i gwiazda neutronowa. Rozmiary białych karłów są rzędu tysięcy km a roz­ miary gwiazd neutronowych rzędu dziesiątków lub setek km. Obiekty te speł­ n iają więc również po części warunki żądane przez własność 1).

Omówimy obecnie hipotezy teoretyczne wysuwane dla wytłumaczenia

zjawiska pulsara. Będziemy zawsze zakładać, że mamy do czynienia z obiekta­ mi gęstymi w sensie powyżej przytoczonych oszacowań.

I. MODEL DWU O B IEG A JĄ C Y C H SIĘ SKŁADNIKÓW

Jedną z pierwszych propozycji teoretycznych był model soczewki grawita­ cyjnej zaproponowany przez S a s l a w et al. (1968). Model zakłada, że grawi­ tacyjne ugięcie światła w polu drugiego składnika jest równoważne pewnemu zogniskowaniu promieniowania wzdłuż lin ii łączącej środki obu składników. Je że li obserwator znajduje się dokładnie w płaszczyźnie orbity, to zaobserwu­ je pozorne zwiększenie jasności systemu w momencie, gdy linia łącząca składniki pokrywa się z promieniem widzenia. Model ten nie pozwala na uzyskanie dużych pulsów i gwałtownych fluktuacji wewnątrz pulsu (struktura subtelna), jak również nie zdaje sprawy z własności polaryzacyjnych. Inną trudnością, być może zasadniczą, jest emisja energii w postaci fal grawita­ cyjnych. D la dwu okrążających się gwiazd neutronowych emisja ta skracałaby okres rotacji o 7.10"5 jego wartości na dobę, czego się nie obserwuje.

Pulsary

195 Proponowane były modyfikacje powyższego mechanizmu, mające zapewnić duże pulsy o losowej strukturze: mianowicie grawitacyjnie miałoby być ogni­ skowane światło nie tylko drugiego składnika jako cało ści, ale również światło silnych rozbłysków pojawiających się mniej lub więcej losowo na jego po­ wierzchni i emitujących promieniowanie spolaryzowane. Trudność z e m isją fal grawitacyjnych próbowano ominąć zakładając, że drugi składnik je s t nie­ zbyt masywny ( B u r b i d g e , S t r i t t m a t t e r 1968). Aby jednak siły przy­ pływowe go nie rozerwały musi być niezmiernie mały (promień rzędu 10 met­ rów!), je ż e li zbudowany j e s t ze zwykłego ciała stałego, lub — je ś li jego g ę sto ść je s t rzędu 108g /c m 3 — musi mieć masę m n iejszą od 10‘ 2 mas Słońca. Trudno oczekiwać istotnych efektów ogniskowania przy małych masach, a po­ nadto obiekt o masie 10 2 masy Słońca nie może przeewoluować do konfigura­ cji wysoce zdegenerowanej. Ze względu na te trudności model dwu obiegają­ cych się składników ogniskujących grawitacyjnie promieniowanie wydaje s ię mało prawdopodobny. Niewykluczone jednak, że może istnieć mechanizm emisji nie związany bezpośrednio z faktem podwójności, przy czym ruch Drbitalny dostarczałby tylko niezbędnej modulacji sygnału.

Pewien typ takiego mechanizmu obserwuje s ię w naszym układzie plane-

:amym: stwierdzono mianowicie, że nietermiczne promieniowanie radiowe

Jowisza j e s t modulowane przez ruch orbitalny satelity Io. Modulacja je s t ńeznaczna; gdyby jednak podobny efekt zachodził na dużą skalę w pulsa- •ach, można by uwolnić sam mechanizm fizyczny emisji od wymogu ś c i s łe j jeriodyczności, która byłaby nałożona przez czynnik zewnętrzny w stosunku Jo procesów odpowiedzialnych za promieniowanie radiowe.

II. MODEL O SC Y L U JĄ C Y (P U LSU JĄ C Y )

Model pulsara w p ostaci radialnych o scy lacji konfiguracji gwiezdnej

został wysunięty przez odkrywców zjaw iska (He w i s h et a l. 1968) już w pierwszym komunikacie donoszącym o odkryciu. Interpretacja ta napotyka na trudności z wytłumaczeniem obserwowanych okresów. Okres tonu pod­ stawowego drgań radialnych dla białych karłów je s t dosyć długi, rzędu sekund. Dokładna wartość okresu tonu podstawowego zależy od przyjętego równania stanu dla zdegenerowanego gazu elektronowego. Wydaje się jednak, że nie można uzyskać dla białych karłów okresów tonu podstawowego krótszych od jednej sekundy. Dla wytłumaczenia okresu drgań pulsarów o okresach rzędu kilkudziesięciu czy kilkuset milisekund należy więc założyć, że biały karzeł pulsuje w którymś z tonów wyższych (harmoniki), i to o rzędzie dosyć wysokim (ok. 10). Założenie takie j e s t raczej dowolne i mało prawdopodobne.

Ton podstawowy dla gwiazd neutronowych p o siad a z kolei okres zbyt krótki (rzędu niewielu milisekund) w porównaniu z obserwowanymi okresami pulsarów. Okresy odpowiedniej długości mogłyby posiadać gwiazdy

neutro-196

S. G r z ę d z i e l s k i

nowe o n i s k i c h m a s a c h ( T h o r n e , I p s e r 1968); i s t n i e n i e t a k i c h g w ia z d n e u tro n o w y c h w ydaje s i ę w ą tp l iw e , b ow iem c a ł k o w i t a e n e r g i a ta k i c h k o n fig u ­ r a c ji j e s t d o d a t n i a . P o w i n n y w ię c być w iekow o n i e s t a b i l n e .

Można próbować omin ąć tru d n o ś c i z o k r e s a m i drgań p r z y jm u ją c , że o s c y l a ­ cjom p o d le g a nie c a ł a k o n f ig u r a c j a , a ty lk o je j c z ę ś ć n i e z d e g e n e r o w a n a (a tm o s f e r a ). R a ch u n k i ta k i e p r z e p ro w a d z o n e z o s t a ł y d l a b i a ł y c h karłów p r z e z B l a c k a (1969) w z a ł o ż e n i u p u l s a c j i a d i a b a t y c z n y c h . Można w ted y u z y s k a ć k r ó tk ie o k r e s y rz ę d u k i l k u d z i e s i ę c i u m i l i s e k u n d d la b i a ł y c h karłó w o m a s a c h r z ę d u m a sy S ło ń c a . Model ta k i n a p o t y k a n a t r u d n o ś c i e n e r g e t y c z n e ; i l o ś ć e n e r g i i m e c h a n i c z n e j z m a g a z y n o w a n a w a t m o s f e r z e b i a ł e g o k a r ła w y d aje s i ę z b y t m a ła d l a z a p e w n i e n i a n i e z m i e r n ie w y s o k i e j s t a ł o ś c i o k r e s u .

O p ró c z d rg ań r a d i a l n y c h k o n f i g u ra c j a g w i e z d n a m oże w yk o n y w ać inne d r g a n ia , np. n i e r a d i a l n e s p r z ę ż o n e z r o t a c j ą l u b t o r s y j n e . N a tę o s t a t n i ą m o /.liw o ść z w r ó c i ł uw agę R u d e r m a n (1968). J a k wiadomo bowiem m a te r ia z d e g e n e r o w a n a może w p e w n y c h w a r u n k a c h z n a j d o w a ć s i ę w f a z i e k r y s t a ­ l i c z n e j , a z a te m m o ż liw e s ą d r g a n ia w ynik łe z r e a k c j i o ś r o d k a n a t o r s y j n ą d e f o r m a c ję . R u d e r m a n p r z y p u s z c z a , ż e d r ganiom te g o r o d z a j u może po d ­ l e g a ć z e w n ę t r z n a , k r y s t a l i c z n a c z ę ś ć b i a ł e g o k a r ł a , p ł y w a j ą c a na nie kry- s t a l i c z n y m j ą d r z e . O trzym uje s i ę w ted y o k r e s y d rg ań r z ę d u 100 m i l i s e k u n d . D rg a n ia ta k ie s ą je d n a k b a rd z o sz y b k o tłu m io n e p r z e z p łynne ją d ro na s k u t e k l e p k o ś c i . We w s z y s t k i c h m o d e la c h o p a r ty c h na o s c y l a c j a c h g w ia z d y sła b y m p u n k ­ tem j e s t brak p o w i ą z a n i a c h a r a k t e r y s t y k o b s e r w o w a n e g o p u l s u z d rg a n ia m i k o n f ig u r a c j i. W o g ó ln o ś c i p r z y p u s z c z a s i ę , że w a t m o s f e r z e g w ia z d y p r z e ­ s u w a s i ę fa la b i e g n ą c a g e n e r o w a n a p r z e z p u l s a c j e w a r s tw g ł ę b s z y c h . Wraz z e s p a d k ie m g ę s t o ś c i w a t m o s f e r z e , gd y f a l a p r z e s u w a s i ę ku g ó r z e , r o ś n ie a m p litu d a fali i w w a r s tw a c h d o s t a t e c z n i e w y s o k ic h e n e r g i a d rg a ń n a j e d n o ­ s t k ę m a sy może j u ż l e ż e ć w o b s z a r z e r e l a t y w i s t y c z n y m . J e ż e l i w p la z m ie i s t n i e j e p o le m a g n e ty c z n e , to m o ż liw e j e s t w ted y p o ja w i e n ie s i ę l i c z n y c h n i e s t a b i l n o ś c i , w w yniku któ ry ch g e n e r o w a n a j e s t e m i s j a e l e k t r o m a g n e t y c z n a o w ł a s n o ś c i a c h p o la ry z a c y j n y c h o k r e ś l o n y c h p rz e z g e o m e tr ię p o la . Mogą b y ć w z b u d z a n e r e l a t y w i s t y c z n e d r g a n i a p la z m o w e n atu ry k o h e r e n tn e j. S p ó j­ n o ś ć fazy w ią z k i e m ito w a n e j o z n a c z a , że d o d a j ą s i ę a m p litu d y , a n ie i n t e n ­ s y w n o ś c i d r g a ń . U m o ż liw ia to u z y s k a n i e w y s o k ic h j a s n o ś c i p o w i e r z c h n i o ­ wych i o d p o w ie d n io w y s o k ic h t e m p e r a t u r p r o m i e n i o w a n i a (np. r z ę d u 10” °K). W o p u b lik o w a n y c h p r a c a c h o p a rty c h n a m o d e lu d rg a ń s z c z e g ó ł y ty c h p r o c e s ó w w o góle nie s ą d y s k u to w a n e i e m i s j a d y s k u t o w a n a j e s t w s p o s ó b c z y s t o j a k o ś c i o w y .

S ła b e p u nkty tych te o r i i m oż na j e d n a k w y ł u s k a ć b e z a n a l i z y i l o ś c i o w e j . O b s e r w a c j e w y k a z u ją , ż e ja k k o l w i e k in d y w id u a ln e p u l s y n i e z m i e r n ie s i ę od s i e b i e r ó ż n i ą co do s tr u k tu r y s u b t e l n e j i w ł a s n o ś c i p o la r y z a c y j n y c h , to je d n a k p u l s a r w n a s t ę p n y c h e p o k a c h „ p a m i ę t a ” k s z t a ł t p u l s u z e p o k

po-Pulsary 197 przednich. P rzejaw ia się w dobrym zachow aniu w łasności polaryzacyjnych w sekwencjach pulsów i w m ożności określenia „śre dnieg o ” k szta łtu pulsu d la danego obiektu, który to „ ś r e d n i” k szta łt dobrze zachowuje się w czasie. N ależy więc przy p uścić, że struktura pól magnetycznych w różnych epokach je s t taka sama, mimo że pola te u le g a ją w każdym cyklu niezmiernie gw ał­ townej przem ianie wynikłej z propagacji relatyw istycznego frontu uderzenio­ wego. Sytuacja taka wydaje s ię fizy czn ie nieprawdopodobna.

III. MO DHL ROTUJĄCY

Model rotującego pulsara porównuje s ię do latarni morskiej: na pow ierzchni gw iazdy istnie je obszar w ysyłający bardzo intensyw ną i dobrze skolim ow aną w iązkę. Obserwator leży prawdopodobnie w p o b liżu p łaszczy zny rotacji obiek­ tu. Model taki w naturalny sposób zdaje sprawę z obserwowanych okresów. Je ż e li pulsar je s t ro tu ją c ą g w ia zd ą neutronową, to okres ruchu wirowego będzie nie m niejszy od okresu wyznaczonego przez zw iązek (2). P oza tym może być dowolny. Nie je s t więc rz e c z ą dziw ną, że okresy pulsarów r ó ż n ią się o czynnik rzędu 100; jest to po prostu odbiciem różnych momentów pędu gw iazd neutronowych. Model taki zdaje również sprawę, przynajm niej jak o śc io ­ wo, ze struktury subtelnej pulsu, z zachow ania w łasności polaryzacyjnych z pulsu na p uls i w ogóle ze w szelkich faktów św iadczących o tym, że mimo losow o nakładających się zm ian pulsar „ p a m ię ta ” swój sposób em isji w epo­ kach poprzednich. Wszystkie te fakty d a d z ą s ię wytłum aczyć trw a ło śc ią struk­ tury em itującego obszaru na pow ierzchni gw iazdy, na którą n a k ła d a ją się fenomeny przejściow e, np. drgania nieradialne sprzężone z okresem rotacji.

N a jtru d n ie jszą spraw ą je s t podanie mechanizmu em isji: dlaczego po­ chodzi ona tylko z jednego lub w iększej lic zb y wyraźnie ograniczonych obszarów i dlaczego je st bardzo siln ie skolim owana?

H ipoteza c ie sząc a się najw iększym w zięciem po roku od odkrycia p ul­ sarów podana została przez G o l d a (1968, 1969). P rzypuszcza on, że w irują­ ca gw iazda neutronowa posiada silne pole magnetyczne o natęże niu rzędu do 10* gaussów . G w iazda otoczona je s t więc magnetosferą, której wewnętrz­ ne c z ę ś c i zmuszone s ą do wirowania wraz z g w ia zd ą przez naprężenia pola magnetycznego. Na pow ierzchni gwiazdy istn ie je obszar zwany przez autora ,,s o re ” (rana), z którego w ydostają s ię szybkie c ząstk i do magnetosfery. P oniew aż k rą żą one wokół lin ii s ił pola magnetycznego, więc ograniczone są do tych c zę ś c i magnetosfery, które m agnetycznie pow iązane s ą z ich źródłem na pow ierzchni. E m isja energii w postaci prom ieniowania magne­ tycznego ma s ię w ią z a ć z tymi obszaram i magnetosfery, które w iru ją z pręd­

kościam i relatyw istycznym i. Może to być promieniowanie synchrotronowe

c ząste k poruszających się ju ż w tych o dleg ło ściach z prędkościam i relatyw i­ stycznym i. Wiadomo, że prom ieniowanie takie je s t spolaryzowane i siln ie

skoli-198 S. Grzędziel ski

raowane, co tłumaczyłoby efelct ,,sn o p u ś w ia tła z la ta m i m orskiej” . C ząstki n a js z y b s z e mogłyby d ać św ie c e n ie synchrotronowe w dziedzinie optycznej, jak to s ię dzieje w przypadku masy gazowej mgławicy Krab. Oprócz stra t n a em isję promieniowania e n erg ia ro ta c ji gwiazdy może być tracona na skutek odrywania s i ę od gwiazdy fragmentów m agnetosfery, wirujących z p r ę d k o ś c ią b l i s k ą prędkości ś w ia tła . Odrywające s i ę fragmenty stanow iłyby plazmoidy utworzone z gazu re laty w isty czn eg o i mogłyby być źródłem c z ą s te k relatyw i­ s ty czn y ch w G alaktyce.

Po d an e z o s ta ły również pewne wariacje na tem at hipotezy G o I d a. Mia­ now icie, rotująca m agnetosfera może stanow ić źródło fal elek tro m ag n ety cz­ nych o c z ę s t o ś c i podstawowej równej c z ę s t o ś c i ruchu wirowego, ale o c z ę ­ s to ś c ia c h w yższych określonych p rzez rozkład pól magnetycznych w magneto- sferze (em isja przez rotujący magnes). Promieniowanie to może wtedy o p u ścić pobliże gwiazdy, je ś li c z ę s t o ś ć jego j e s t w y ższa od c z ę s t o ś c i plazmowej gazu o ta c z a ją c e g o gwiazdę neutronow ą ( G u n n , O s t r i k e r 1969). Hipo­ te z a G o 1 da może też być poddana te sto w i obserwacyjnemu: ponieważ emito­ wane pole elektrom agnetyczne p o s ia d a t ę sa m ą fazę w kolejnych p u ls a c h ,

powinna w ystąpić koherencja fazy w odbieranych sy g n ałach o dpow iadają­

cych różnym epokom, ale tej samej fazie (w s e n s i e ułamka okresu) ( G o o d 1969).

5. WPŁYW OŚRODKA MIĘDZYGWIAZDOWEGO NA CHARAKTER PULSU

Obserwowany k s z t a ł t pulsu może też być wynikiem s c y n ty la c ji w ośrodku międzygwiazdowym. Problem ten był o b szern ie dyskutowany p rzez S c h e u e r a (1968) w z ało żen iu , że s c y n ty la c ja obserw ow ana pochodzi od dwu cienkich ekranów. S cyntylacja na wysokich c z ę s t o ś c i a c h może pow staw ać w typowym ośrodku międzygwiazdowym. Nie można jednak w ten sposób tłumaczyć sc y n ty ­ la c ji obserwowanej na nisk ich c z ę s t o ś c i a c h . Wymaga ona p rz y ję c ia drugiego ekranu leż ą c eg o w odległości nie w ię k sz e j niż 0.1 p s od p u ls a ra . Być może, że j e s t to odbiciem gwałtownych ruchów g a z u zachodzących w otoczeniu rozrywanej p rzez s i ł ę o d środkow ą m agnetosfery G o l d a.

P o w y ż s z y p rzeg ląd p rz e d s ta w ia tylko sk ró t te le g ra ficz n y obserw acji i pomysłów d o tyczących pulsarów . R z e c z j e s t wciąż całkow icie otwarta, mimo że model G o l d a p r z e d s ta w ia p o te n c ja ln ie możność wytłum aczenia w s z y stk ie g o . J e ż e li nawet p u ls a r j e s t w iru ją c ą g w ia z d ą neutronową, to in te rp re ta cja cech em isji wymaga przed y sk u to w an ia mechanizmów o d b ie g a ją ­ cych radykalnie od tego, co zwykło s i ę w d o tychczasow ej a s tro fizy ce s p o ty k ać.

Puls ary

199

L I T E R A T U RA

D.C. B l a c k , Nature, 221, 157, 1969.

G.R. B u r b id ge, P.A. S tr i t.tm a t te r jw., 218, 413, 1968.

W.J. C o c k e , M.J. D i s n e y , D.J. T a y l o r , jw ., 221, 525, 1969,

J.M. C o r n e l i a , H.D. C r a f t jr., R.V.E, L o v e l a c e , J.M. S u t t o n , jw., 221, 453,

1969.

J.G. D a v i e s , G.C. Hunt , F.G. Sm i t h, jw ., 221, 27, 1969.

T. G ol d jw., 221, 25, 19 69.

T. G ol d, jw ., 218, 734, 1968.

M.L. Good, jw., 221, 250, 1969.

J.E . Gu nn, J.P . O s t ri ke r, jw., 221, 455, 1969.

A. H e w i s h , S.J. B e l l , J.D .H . P i l k i n g t o n , P .F . S c o t t , R.A. C o l l i n s , jw.,

217, 709, 1968.

A.G. L y n e , F.G. Smi t h, jw., 218, 124, 1968.

R.E. N a th er, B. W a r ner , M. M a c f ar l an e, jw., 221, 527, 1968.

M.A. R u d e r m a n , jw., 218, 1128, 1968.

W.C. S a s l a w , J. F a u l k n e r , P.A. S t ri t tm a 11 er, jw., 217, 1222, 1968.

P.A.G. S c h e u e r , jw., 218, 920, 1968.

K.S. T h o r n e , J.R . Ip s er, A p.J.L et., 152, 171, 1968.

Kilka najnowszych informacji o pulsarach (z okresu do lipca 1969 r.) znajdzie

Czytelnik w dziale ,,Notatki” .

MODELE ATMOSFER GWIAZD WCZESNYCH TYPÓW WIDMOWYCH Część II

S Ł A W O M I R R U C I Ń S K I

MO/IEJ1M ATMOOSEP 3BE3# PAHHHX CflEKTPAJIbHblX TMIIOB

l a c T II

C. Pyut H H b C K M

Cofl ep*.aHwe

B cTaTbe npeflCTaBJieibi coBpeMeHHbie Meroflbi nocTpoeHna Hecepbix

MOflejieii aTMoccpep 3Be3fl paHHux cneicrpajibHbix thiiob 0Tpnuai0mne cy-

mecTB O B a m ie M e cT H oro tepMOAM HaMimecKoro p a B H O B e c H a ( MoaejiH non- LTE) . OnMcaH MeTOfl (J>OTpne qwcjiOBoro peuieHMH ypaBHeHMH TpaHcc^epa,

0

C

06

eHH

0

BblTOflHblM B CJiyHae CJIO>KHOrO BMfla (JiyHKUMM MCTOMHMKa (Hanp. BKJitoqaiomeM HeKorepeHTHoe pacceMBamie).

MODEL ATMOSPHERES O F THE EA RLY SPECTRAL T YPE STARS Part II

S u m m a r y

The contemporary methods of constructing the non-gray model atmospheres of early-type stars without assuming the local thermodynamic equilibrium (non-LTE models) is described. Feautrier’s method for the numerical solution of the transfer equation in case of a complicated source function (for example with the non-coherent scattering included) is given.

202

S. R u c i ń s k i

1. WSTĘP

W c z ę ś c i I artykułu ( R u c i ń s k i 1969) opisane zo sta ły metody używane obecnie pow szech n ie w d zied zin ie konstruow ania modeli atm osfer gwiazd w czesnych typów (ograniczenie s i ę do tych w łaśnie gwiazd, wynika z dobrej stosunkow o znajom ości dla nich w s p ó łczy n n ik a absorpcji), przy założeniu s t a ł o ś c i strum ienia energii płynącej przez atm osferę i d la równowagi hydro­ s ta ty c z n e j tej atmosfery. Oba z a ło ż e n ia s ą s łu s z n e dla bardzo szerokiej k la s y gwiazd.

T r z e c ie z uczynionych w c z ę ś c i I artykułu założeń — utrzymywanie s ię lo k aln ej równowagi termodynamicznej (LRT) w każdym punkcie atm osfery — j e s t n a js ła b ie j u zasadnione i w ła śc iw ie n ależało b y je traktować jako swego rodzaju ułatw ienie rachunkowe. W r z e c z y w is to ś c i bowiem o b s a d z e n ia poziomów e n erg ety czn y ch atomów i stanów jo n iz a c ji m ogą stosunkowo siln ie odchylać się od tego, co p rz e w id u ją formuły B oltzm ana i Sahy i o p is tych o b sad zeń p rzez je d e n param etr (temperaturę) nie j e s t wówczas możliwy.

Problem konstruow ania modelu atmosfery w przypadku odrzucenia L R T p rzerad za s i ę z z a g a d n ie n ia dwuwymiarowej dyfuzji kwantów promieniowa­ nia we współrzędnych: głębokość o p ty c z n a (t) , c z ę s to ś ć ( v ) , w z a g a d n ie ­ nie trójwymiarowe, w którym dodatkowym wymiarem j e s t ob sa d z e n ie p o s z c z e g ó l­

nych poziomów energetycznych atomów. Jak można s i ę sp o d ziew ać pro­

p orcjonalnie r o s n ą też trudności obliczen io w e.

P o d względem warunków o k re ś la ją c y ch o b s a d z e n ia stanów atomowych, p r z e c ię tn ą g w iazdę p o d z ie lić można na dwa o b sz a ry . W głębszym z nich o b s a d z e n ia kontrolowane s ą całkow icie poprzez procesy zderzeniowe i za­ chodzi w ów czas L R T ; funkcje rozkładów po e n erg iach c z ą s t e k m aterialnych i fotonów s ą identyczne jak w przypadku ś c i s ł e j równowagi termodynamicznej. T e n region j e s t wnętrzem gwiazdy i w każdym punkcie o b s a d z e n ia stanów atomowych określone s ą lokalnymi warunkami. Nad obszarem tym le ż y region, w którym w o k re śle n iu o b s a d z e ń dom inują pro cesy prom ieniste nad z d e rz e ­ niowymi. R ozbić go można na dwa podobszary: otoczkę i atm osferę. W o to c z c e , w s k a li d łu g o śc i średniej drogi swobodnej kwantów, warunki fizy czn e powin­ ny b y ć jednakowe a głębokości optyczne na tyle duże, aby nie zach o d z iła b e z p o ś re d n ia u c ie c z k a kwantów. Wówczas mówimy o s y tu a c ji lokalnie n ie ­ p rz e z ro c z y s te j (locally opaque s itu a tio n — LOS) ( G e b b i e , T h o m a s 1968). J e ż e l i LOS j e s t sp e łn io n a d la w s z y s tk ic h p r z e jś ć prom ienistych (d e ta lic z n e b ilan so w an ie), w ó w czas o b s a d z e n ia stanów kontrolowane s ą przez pro cesy zderzeniow e i zachodzi L R T . A w ięc tu również mamy opis lo kalny i ze­ w n ętrzn ą g ran icę tego o b sz a ru , z n a jd u ją c ą s ię w g łę b s z y c h w arstw ach atmo­ sferycznych, traktow ać można jako granicę „ w n ę tr z a lokalnej równowagi te rm odynam icznej” w ykorzystyw aną n ie k ie d y dla sform ułowania warunku brzegowego w całkow aniach równań budowy wewnętrznej gwiazd.

Modele atmosfer gwiazd wczesnych typów widmowych 203

Ostatnia, najwyżej położona warstwa, atmosfera z chromosferą nie spełnia warunków LOS dla wszystkich przejść promienistych i wymaga specjalnego traktowania.

2. STAN ENERGETYCZNY ATOMÓW

W obszarze atmosferycznym można się spodziewać większych odchyleń w obsadzeniu stanów energetycznych w stosunku do LRT dla poziomów niż­ szych (o mniejszych głównych liczbach kwantowych). Poziomy wyższe często wymieniają energię z kontinuum ruchów termicznych poprzez kaskadowanie i silniejsze procesy zderzeniowe i w lepszym przybliżeniu spełniają LRT. Dlatego wygodnie jest przedstawiać obsadzenie i-tego stanu energetycznego formułą zbliżoną do wzoru Boltzmana:

" i

*!«<

« n esp<~ v ‘ n '

(1)

gdzie współczynnik b. określa stopień spełnienia LRT dla tego stanu. W przy­

padku ścisłej LRT mamy b. = 1. Funkcja podziału ma przy takim zapisie

postać:

U(T)= Zb. g.

exp(-X.

/kT).

(2)

Ze względu na zmianę obsadzeń poszczególnych stanów zmienia się odpowiednio współczynnik absorpcji, który można teraz przedstawić w formie:

&v = + 5 £v (

62

;)» (3)

gdzie k* odnosi się do przypadku ścisłego spełniania LRT, a 6k^ jest funk­ cją b. ze wszystkich stanów, które mogą być istotne w określeniu absorpcji dla częstości v (oznaczonych skrótowo S i). Dla przejść związano-swobodnych i swobodno-swobodnych neutralnego wodoru dodatkowy wyraz we współczyn­ niku absorpcji na jeden atom ma postać (Mi h a ł a s 1967a):

U \ l ) • V i -n, l

gdzie gjj są czynnikami Gaunta dla przejść związano-swobodnych a ra, jest liczb ą kwantową najniższego poziomu, z którego mogą zachodzić przejścia

204 S, R u c i ń s k i

do kontinuum w c z ę s t o ś c i v. Współczynniki absorpcji dla modeli nie-L R T m u s z ą być o b liczan e ze wzoru (4) przy znajom ości p oszczególnych bit któ­

rych jed n ak a priori nie znamy i które m u s z ą być wyznaczone p o d c z a s kon­ struow ania modelu jako dodatkowe niewiadome.

3. RÓWNANIA RÓWNOWAGI STATYSTYCZNEJ

Do o k re śle n ia współczynników bj najwygodniej posługiwać s ię współczyn­

nikami o kreślającym i tempa zmiany o b sa d z e ń ze s ta n u i do stanu j na skutek

procesów zderzeniowych (Qy) i prom ienistych (Rij). Poniew aż rozpatrujemy

s y tu a c ję równowagi s t a ty s ty c z n e j, możemy n a p isa ć dla każdego i-tego po­ ziomu równanie p o sta c i:

. Z . C u + C u + 2 Rij + Ri h - 0, (5)

1 * 1 i * i

gdzie oznaczeniem ik wyodrębnione zo sta ły p r z e j ś c i a „poziom i-ty — kontinuum” .

Dotychczasowe próby b ard ziej szczeg ó ło w eg o potraktow ania odstępstw od L R T (np. M i h a l a s 1967a, 1967b) o p ie r a ją s i ę na założeniu d e ta lic z ­ nego b ilan so w an ia s i ę procesów prom ienistych (zachodzi LOS), ale tylko w przypadku p r z e jś ć pomiędzy poziomami dyskretnymi, tzn. E 0. O z n acza to, in aczej mówiąc, że fotony znacznie ła tw ie j dyfundują poprzez atm osferę w c z ę s to ś c ia c h widma ciągłego niż w lin ia c h , co j e s t — jak s ię wydaje — dobrym przybliżeniem do głębokości optycznych w widmie ciągłym (ok. 5000 \ )

w iększych od ok. 0,005. Takie za ło ż e n ie p o zw ala skonstruow ać wewnętrznie n ie sp rz e c zn e modele struktury atm osferycznej aż do małych g łęb o k o ści, na których tworzy się w ięk szo ść silnych lin ii. Aby modele miały zasto so w ać nie w o b liczan iu śc isły c h w ła sn o śc i widma liniowego, konieczne j e s t wzię­ cie pod uwagą faktu, że Ri j * 0 w w arstw ach powierzchniowych. Wydaje się

jed n ak , że komplikacja modeli n ie-L R T o s ią g n ę ła ju ż stopień w y sta rc z a jąc y , aby omówić obecne postępow anie. Metodyka nie powinna ulec w p rz y s z ło ś c i d ra sty c z n e j zmianie; można też p r z y p u s z c z ać , że modele zak ła d a jąc e d e ta ­ lic z n e bilansow anie s ię dyskretnych p r z e j ś ć promienistych d a j ą niezłe rozeznanie w problemach, które napotkać można by w bardziej kompletnym p o d e jśc iu .

Współczynniki C i;-, o k re ś la ją c e w (5) tempo zderzeniowej zmiany o b s a ­ d z e n ia stanu i na rzecz s tan u s ą funkcjami lo kalnych warunków fiz y c z ­ nych, tzn. c iś n ie n ia elektronowego i temperatury ele ktronow ej. Bez względu na to, czy mamy p r z e j ś c i a do innego s tan u dyskretnego czy do kontinuum można je z a p is a ć jako:

Modele a tm o s f e r g w ia z d w c z e s n y c h ty pów wid m owych

205

C i i = N * { b i - l ) Q i j (Ne , T ) ,

(

6

)

g d z i e N * j e s t i l o ś c i ą atomów n a j e d n o s t k ę o b j ę t o ś c i w s t a n i e i-tym d l a L R T , z a ś Q ■ ■ j e s t tempem z d e r z e n i o w e j zm ian y s t a n u i - t e g o n a ; - ty lic z o n y m n a j e d e n a to m . Q m o g ą b y c p o m ie r z o n e e k s p e r y m e n t a l n i e ( d la wodoru z n a n e s ą o b e c n ie ty lk o Q ,* i Q l2), lu b o c e n io n e t e o r e t y c z n i e m e to d am i m e c h a n ik i k w a n to w e j. D l a L R T z a c h o d z i o c z y w i ś c i e : N{* Q i f = N f Q jt . {7) D la n i e - L R T mamy d l a s t a n u i- te g o z m i a n ę o b s a d z e n i a n a s k u t e k w s z y s t ­ kic h p r o c e s ó w z d e r z e n i o w y c h : \ 2 Ci i + c ik - - 1) s Q i t - % { b . - l ) Q . . + ( b . - l ) Q i * i lk ' L— i * i 1 i * i 1 */ * ik (8) W p r z e c i w i e ń s t w i e do l o k a l n e g o w pływ u z d e r z e ń n a o b s a d z e n i e poziom ów , p r z e j ś c i a p r o m ie n is te w y m a g a j ą z n a j o m o ś c i str u k tu r y a t m o s f e r y , z a l e ż ą b o ­ wiem o d p o l a p r o m ie n io w a n ia w danym p u n k c i e , które j e s t o k r e ś l o n e p r z e z b u d o w ę c a ł e j a t m o s f e r y . I ta k , przy id e n t y c z n y c h o z n a c z e n i a c h j a k w c z ę ś c i I a r ty k u łu , R ik m a p o s t a ć ( M i h a l a s 1967a): OO R ik = 4 tt N* ( / v - # v )ocv ( l - e x p ( - h\> / k T ) ) d x h v

,

(

9

)

g d z i e ocv j e s t p r z e k ro je m czynnym atom u w s t a n i e i-tym n a a b s o r p c j ę p ro ­ m i e n i s t ą , a v 0 j e s t c z ę s t o ś c i ą g r a n i c z n ą — p r o m ie n io w a n ie o w i ę k s z e j c z ę s t o ­ ś c i p r z e p r o w a d z a atom y ze s t a n u i - t e g o do kontinuum . K o m b in u ją c r ó w n a n ia (8) i (9) i p r z e d s t a w i a j ą c je w p o s t a c i (5) otrzy m u jem y i rów na ń n a w y z n a c z e ­ n ie k o l e j n y c h w s p ó łc z y n n ik ó w b 4. KONSTRUOWANIE MODELI N a j b a r d z i e j b e z p o ś r e d n i m , n i e j a k o n a r z u c a j ą c y m s i ę p o d e j ś c i e m j e s t m e to d a k o le jn y c h i t e r a c j i , w k tó re j s e k w e n c j a m o d e li b u d o w a n a j e s t p o c z y ­ n a j ą c o d m o d e lu L R T = 1). T e n p i e r w s z y model o b lic z o n y tak j a k to o p i ­ s a n o w c z ę ś c i I a r ty k u ł u a ż do u z y s k a n i a d o b r e j s t a ł o ś c i s t r u m i e n i a d a je p r z e b i e g z m ie n n y c h (Ne , T), o k r e ś l a j ą c y c h w s p ó ł c z y n n i k i C i;- a z n a jo m o ś ć

206 S. Ruciński

pola promieniowania dla tego modelu pozwala wyznaczyć Z równań (5)

obliczanych jest teraz i współczynników bi i poprawiany jest współczyn­ nik absorpcji Av dla każdego z tych poziomów według formuły (3). Teraz następuje znowu etap obliczania modelu w równowadze promienistej i oblicza­ nia nowych proces powtarza się aż do uzyskania stałości nie tylko stru­ mienia, ale przede wszystkim bit czyli aż do momentu uzyskania modelu wewnętrznie niesprzecznego. Tego rodzaju podejście, proste ideowo okazuje się jednak niesłychanie czasochłonne nawet dla najszybszych istniejących maszyn liczących. Na dodatek dla wyższych temperatur, w których współ­ czynniki b i znacznie odchylają się od jedności, ilość koniecznych itera­ cji rośnie tak bardzo, że metoda staje się praktycznie nieopłacalna.

Znacznie wygodniejsze jest tu zupełnie inne podejście: ponieważ współ­ czynniki b i wchodzą dó współczynnika absorpcji (równania typu (3)), który występuje w równaniu transferu (niejawnie poprzez głębokość optyczną Ty — równanie (1), część I artykułu), a jednocześnie wyrażają się poprzez rów­ nania równowagi statystycznej (5), wygodnie jest skombinować równanie transferu z równaniami równowagi statystycznej eliminując bt . Oczywiście w równaniu transferu ulega znacznej komplikacji jego prawa strona, a mówiąc ściślej część, którą zwiemy funkcją źródłową. Oprócz zmiany współczyn­ ników przy członach opisujących emisję termiczną i rozpraszanie bez zmiany częstości (koherentne) w równaniu (2) części I artykułu pojawia się wyraz proporcjonalny do:

2? ot v / v

dv

4"J

~ H 7 ~ ’

(10)

v 0

wprowadzony tutaj przez współczynnik R równań równowagi statystycznej

a opisujący proces niekoherentnego rozpraszania promieniowania z całego zakresu (v0, °°) do częstości v . Niekoherentne rozpraszanie w kontinuum bardzo komplikuje problem i czyni metody opisane w rozdziale 2 części I całkowicie nieużytecznymi do rozwiązywania transferu. Niezwykle przydatna okazała się tutaj metoda zaproponowana przez Feautriera (Mi h a l a s 1967b); wraca się w niej niejako do dawniejszych metod posługiwania się explicite natężeniem promieniowania jako funkcją głębokości optycznej, kąta wyjścia i częstości: /v = /v (t, h ), zamiast użycia jego momentów / v i Fv zależ­

nych tylko od głębokości.

5. METODA FEAUTRIERA Niech równanie transferu ma postać:

d / v (t, n )

M " f v W ' K (T , M ) " Sv W > ( I D

Modele atm osfer gwiazd w czesn y ch typów widmowych 207

gdzie dt - -- djy oraz gdzie funkcja źródłowa włącza rozpraszanie

nie-<fv

koherentne i jest ogólnie postaci:

.

f tiv /v

Sv ( t ) = p v 4t t --- + y v ą , + P v /v . ( 1 2 )

J h\>

Traktując indeks v , oznaczający niejawny charakter występowania czę­ stości w przypadku koherentnego rozpraszania, jako trzecią zmienną nie­ zależną, od której może teraz zależeć natężenie, piszemy / = I (t, h, v).

Można teraz zdefiniować wartości sumy i różnicy natężeń na danej głębo­ kości i w danej częstości promieniowania biegnącego ,,w górę” i ,,w dół” atmosfery, tzn. dla dodatniej i ujemnej wartości pewnego wybranego cos -ft = = M (0 <; n < 1):

P (t, u , v ) = 1 / 2 [/ (t, |i , v ) + / (t, - h , v ) ] ,

(13)

R ( t , h , w) = 1/2 [/ ( t , h , v ) -

I

( t , - n , V)] .

Pisząc równanie transferu (11) dla dodatniej i ujemnej wartości n i raz dodając je stronami, i raz odejmując — otrzymujemy:

p ^ = < p P - S \ PR , (14)

m d i '

które dają podstawowe równanie metody: 1 dP

Cp d~ <f P - s\ (15)

na wielkości P. Równanie to przepisujemy w postaci równania różnicowego przy żądaniu, aby wszystkie funkcje problemu były dobrze aproksymowalne przez wielomiany drugiego stopnia pomiędzy dwiema sąsiednimi warstwami w t — w praktyce przy doborze dostatecznie gęstego podziału skali głębokości

optycznych (kilkadziesiąt punktów) warunek ten jest bardzo dobrze spełniony. Jednocześnie całki wchodzące do funkcji źródłowej zastępujemy przez od­ powiednie formuły kwadraturowe postaci:

208 S. Ruciński a v f (v) d\> K 4 ttC = £ _ bk f ^ ’ J h v vo (17)

gdzie v, jest p ew n ą dużą częstością, zastępującą teoretycznie n iesk oń czo­ ną granicą całki.

Punkty podziału skali głębokości oraz punkty w ęzłów kwadratur tworzą trójwymiarową siatkę.;

Ti » 1 = 1 , 2 , /V,

Ma / = 1 , 2 , . . . , W ,

; k = 1 ,2 ,..., K,

w której , , o c z k a c h ” należy w y zn a c zy ć wartości funkcji P. R ó w nan ie (15) napisane różnicowo przechodzi teraz w zw ią z e k łączący funkcje P z sąsied­ nich warstw: li/ (T i + 1 “ Ti-l) P

( t . + I . M / , Vft)

- P (tj, M>, Vfc)

( t , + 1 - T i ) [ < p ( T i + l ,

\>h)

+ <p(Tf, V*)]

P (ti, \ij, \>k) ~ P ( t M ; , Vft) ( T i _ T i- 1) t < p (x .,

v k)

+ (f> (Tf_ j , Vfc)] = cp ( x , vk) P ( t M / , v 4) - - y (t. , v fc) fi (t. , v4 ) “ (18)

P (V W*) /J

1 aj ' P

(V My., vt )

W X

- P (

t

. ,

v

) 2 2

a b - P

(

t

.

, m v , ) . 1 k j’-l k'-l 1 ' i k

W k ażdym punkcie t

£

mamy więc A / x K równań typu (1 8 ) na funkcje P. Wygodnie użyc tu notacji wektorowej i m acierzow ej; równania (18) prze­ chodzą w ó w c z a s w równanie:

“ P i - 1 + Pi Pi +1 (?i> (19)

Modele atmosfer gwiazd wczesnych typów widmowych

209

gdzie P i Q s ą wektorami o L = MxK elementach, a A, B i C s ą macierzami kwadratowymi L x L , przy czym A i C s ą diagonalne. Jeżeli dla wygody wpro­ wadzić wskaźnik l zdefiniowany jako:

l = j + M ( k — 1), ( 20)

wówczas poszczególne /-te elementy wektorów będą:

(P i)t = P ( T i t u y, v t ) , (21)

{Qi) i = y (t£ , v t ) • B (tż , vt ) . (22)

Natomiast elementy macierzy są:

(Ai\l = 4 h ? / { ( t £ + 1 - t ^ j ) (T f- Ti_ ! ) [<p(T£, v fc) + cp(rf_ lt

vk)]\,

(23) (C £) H = 4w/ /{ (t £+x - T j . i ) ( t <+1 - t £) [ < p ( T i + 1 , v fc) + (pOr*. v*)]}, (24)

( B i ) u

= (/!<)„ + (Ci)u + Cf(Ti>Vfe) - p(Tf, v*) a j - p (Ti( v fc) aj b k, ■ (25)

(Bi\m = • P <Ti. « / - P<T<. V*) <V 5 fcfc' , (26)

gdzie m = j ' + M (h' -1), a jest symbolem Kronekera. (27)

W każdym i-tym punkcie skali głębokości jest L równań na l elementów wektora P , który jest funkcją warunków w tym punkcie (macierze i wektor Q) i zależy od wektorów P w warstwach (ł-l)-szej oraz (t + l)-szej. Feautrier rozwiązuje ten układ narzucając dwa warunki brzegowe: jeden na zewnętrz­ nym, drugi na wewnętrznym ograniczeniu atmosfery.

Na powierzchni natężenie promieniowania wchodzącego do atmosfery

powinno znikać, tzn. w pierwszym punkcie siatki głębokości T j, mamy:

/ (t1p - M/ , v * ) '= * 0 . (28)

Równanie transferu przepisane z oznaczeniami (13) w sposób analogicz­ ny do (14) przechodzi wówczas na powierzchni (dla T j) w związek:

(29)

O T

lub różnicowo: