Wykresy w ramach płaskich

M =16kNm P=6kN1 q =4kN/m 1 4 3 1,5 4 4 M =16kNm P=9kN P=6kN1 q =4kN/m 1 4 3 1,5 4 4 A D B C H B V B M B VA V D

Wykresy sił wewn

ę

trznych w ramach statycznie wyznaczalnych

Przykład 1. Narysuj wykresy sił wewn

ę

trznych N, T, M dla poni

ż

szego układu. Policz ewentualne ekstrema.

Oznaczenie podpór i reakcji:

Wyznaczenie reakcji z równań równowagi:

kN

V

V

M

A A L C

16

,

5

4

5

,

2

5

4

16

0

5

,

2

5

4

16

4

+

+

⋅

⋅

=

→

=

+

⋅

⋅

=

⋅

−

=

∑

kN

V

V

M

D D G C

21

,

5

3

4

6

5

,

4

9

0

4

6

5

,

4

9

3

−

⋅

−

⋅

=

→

=

⋅

+

⋅

=

⋅

=

∑

kN

H

H

R

_X

=

−

_B

+

6

=

0

→

_B

=

6

∑

kN

V

V

R

_Y

=

16

,

5

+

21

,

5

−

4

⋅

9

,

5

−

9

+

_B

=

0

→

_B

=

−

16

,

5

−

21

,

5

+

4

⋅

9

,

5

+

9

=

9

∑

kNm

M

M

M

B B P C

6

4

9

3

37

,

5

2

5

,

4

4

0

3

9

4

6

2

5

,

4

4

2 2

=

⋅

−

⋅

+

⋅

=

→

=

+

⋅

+

⋅

−

⋅

−

=

∑

Sprawdzenie poprawności obliczenia reakcji:

=

+

⋅

+

⋅

−

−

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

+

=

∑

M =16kNm P=9kN P=6kN1 q =4kN/m 1 4 3 1,5 4 4 A D B C H = 6kN_B V =9kNB M =37,5kNm_B V =16,5kNA V =21,5kND M =16kNm P=9kN P=6kN1 q =4kN/m 1 2 3 46 5 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15

Umieszczenie wartości reakcji na układzie:

Oznaczenie punktów, w których należy policzyć wykresy - początek i koniec układu, przed podporą i za podporą, przed węzłem, przed obciążeniem i za obciążeniem.

Rysowanie wykresów sił wewnętrznych:

Siła normalna w danym punkcie to suma rzutów wszystkich sił po jednej stronie przekroju na kierunek równoległy do

osi pręta.

Dla lepszej widoczności, niebieskim kolorem zaznaczono układ, czarnym wykresy.

Siła normalna jest dodatnia, jeżeli powoduje rozciąganie elementu, ujemna, gdy ściskanie.

Siła tnąca w danym punkcie to suma rzutów wszystkich sił po jednej stronie przekroju na kierunek prostopadły do osi

pręta.

Siła tnąca jest dodatnia, jeżeli powoduje obrót pręta zgodnie z ruchem wskazówek zegara, ujemna, gdy wywołuje obrót pręta przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

9 9 6 6 6 6 12,5 12,5 + +

-N

[kN]

-+ -+ + -+ ₊ + -4 12,5 3,5 6 6 12,5 12,5 9 9 9 3 6 6 6

T

[kN]

e1 e2 x x 1 2 M =16kNm P=9kN P=6kN1 q =4kN/m 1 4 3 1,5 4 4 A D B C H = 6kN_B M =37,5kNm_B V =16,5kNA V =21,5kND x x 1 2 Wykres sił normalnych:

Wykres sił tnących:

q =4kN/m A V =16,5kNA 1 (x -1) 1 1 1,5 B H = 6kN_B V =9kNB M =37,5kNm x2 13,5 24 24 4,5 9 10,125 13,5 37,5 2 16 17,53 + + + +

-M

[kNm]

13,5kNm 4,5kNm 9kNm 24kNm 24kNm Ekstremum 1:

Dla ułatwienia obliczeń ekstremum liczone jest z lewej strony przekroju α-α: - równanie na siłę tnącą w przekroju α-α:

m

x

x

x

T

4

,

125

4

5

,

16

0

4

5

,

16

]

[

1

=

−

1

=

→

1

=

=

- równanie na moment w przekroju α-α (moment rozciągający spód piszemy ze znakiem "+"):

2

4

)

1

(

5

,

16

]

[

1 1 1 1

x

x

x

x

M

=

⋅

−

−

⋅

- moment ekstremalny:

kNm

m

x

M

_ekstr

17

,

53

2

125

,

4

125

,

4

4

)

1

125

,

4

(

5

,

16

]

125

,

4

[

₁ .

=

=

⋅

−

−

⋅

⋅

=

Ekstremum 2:

Dla ułatwienia obliczeń ekstremum liczone jest z prawej strony przekroju β-β:

- równanie na siłę tnącą w przekroju β-β:

m

x

x

x

T

2

,

25

4

9

0

4

9

]

[

₂

=

−

+

₂

=

→

₂

=

=

- równanie na moment w przekroju β-β (moment rozciągający spód piszemy ze znakiem "+"):

5

,

37

4

6

2

4

)

5

,

1

(

9

]

[

2 2 2 2

=

⋅

−

−

⋅

−

⋅

+

x

x

x

x

M

- moment ekstremalny:

kNm

m

x

M

_ekstr

6

4

37

,

5

10

,

125

2

25

,

2

25

,

2

4

)

5

,

1

25

,

2

(

9

]

25

,

2

[

₂ .

=

=

⋅

−

−

⋅

⋅

−

⋅

+

=

Wykres momentów zginających:

Sprawdzenie równowagi momentów w węzłach:

∑

M =−9−4,5+13,5=0

P=18kN₂ P=24kN1 M =28kNm q =6kN/m 1,5 1 2 1,5 1,5 4 2 2 P=18kN2 P=24kN1 M =28kNm q =6kN/m 1,5 1 2 1,5 1,5 4 2 2 A B C H _A V A M A V B

Przykład 2. Narysuj wykresy sił wewn

ę

trznych N, T, M dla poni

ż

szego układu. Policz ewentualne ekstrema.

Oznaczenie podpór i reakcji:

Wyznaczenie reakcji z równań równowagi:

kN

V

V

M

B B P C

5

6

18

2

24

0

1

18

2

24

6

+

⋅

−

⋅

=

→

=

⋅

−

=

⋅

−

=

∑

kN

H

H

R

_X

=

−

_A

−

24

+

6

⋅

6

=

0

→

_A

=

36

−

24

=

12

∑

kN

V

V

R

_Y

=

_A

−

18

−

5

=

0

→

_A

=

18

+

5

=

23

∑

kNm

M

M

M

A A L C

=

6

⋅

6

⋅

1

−

12

⋅

4

+

28

−

=

0

→

=

36

−

12

⋅

4

+

28

=

16

∑

Sprawdzenie poprawności obliczenia reakcji:

0

16

6

23

8

12

)

3

2

(

6

6

28

5

18

2

24

⋅

+

⋅

+

+

⋅

⋅

+

−

⋅

−

⋅

−

=

−

=

∑

M

B

P=18kN2 P=24kN1 M =28kNm q =6kN/m 1,5 1 2 1,5 1,5 4 2 2 A B C H = 12kNA V =23kNA M =16kNmA V =5kNB P=18kN2 P=24kN1 M =28kNm q =6kN/m 1,5 1 2 1,5 4 2 2 1 2 3 10 4 5 7 6 11 14 8 9 12 13 P=24kN1 V B V sin =5 0,8=4kNB V cos =5 0,6=3kNB P cos =24 0,6=14,4kN1 P sin =24 0,8=19,2kN1 Umieszczenie wartości reakcji na układzie:

Oznaczenie punktów, w których należy policzyć wykresy:

Rysowanie wykresów sił wewnętrznych:

Rozłożenie sił na pręcie ukośnym na składowe w celu policzenia sił tnących i normalnych:

6 , 0 5 3 cosα= = 8 , 0 5 4 sinα= =

-23 23 24 24 18,4 18,4 4 4

N

[kN]

12 + + + + + -12 12 23 23 5 5 16,2 16,2 3

T

[kN]

e1 -2 P=18kN2 P=24kN1 M =28kNm q =6kN/m 1,5 1 2 1,5 1,5 4 2 2 H = 12kN_A M =16kNm_A V =5kNB 2

Wykres sił normalnych:

Wykres sił tnących:

Wyznaczenie ekstremum:

Z uwagi na symetryczny kształt wykresu sił tnących na pręcie pionowym, na podstawie rysunku widać, że ekstremum znajduje się w połowie wysokości dolnej części słupa:

H = 12kN_A V =23kNA M =16kNmA 2 q =6kN/m + + + -12 28 ₂₈ 23 33 33 7,5 16 28 16

M

[kNm]

12kNm 16kNm 28kNm 33kNm 33kNm Ekstremum:

Dla ułatwienia obliczeń moment ekstremalny liczony jest od dołu przekroju α-α: - moment ekstremalny:

kNm

m

x

M

ekstr

28

2

2

2

6

2

12

16

]

2

[

.

=

=

+

⋅

−

⋅

⋅

=

Wykres momentów zginających:

Sprawdzenie równowagi momentów w węzłach:

∑

M =28−12−16=0