Znajdowanie najkrotszych drog najnizszych drzew.NET

Pełen tekst

(1)

(2) ZNAJDOWANIE NAJKRÓTSZYCH DRÓG oraz NAJNIŻSZYCH i NAJKRÓTSZYCH DRZEW WSTĘP DO OBLICZEŃ NA GRAFACH Maciej M. Sysło. Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl. informatyka +. 2.

(3) Algorytm, algorytmika Algorytm – opis rozwiązania krok po kroku postawionego problemu lub sposobu osiągnięcia jakiegoś celu Pierwszy algorytm – algorytm Euklidesa 300 p.n.e algorytm od Muhammad ibn Musa al-Chorezmi IX w. Algorytmika – dziedzina zajmująca się algorytmami i ich własnościami. informatyka +. 3.

(4) Algorytmy a informatyka Informatyka – jedna z definicji: dziedzina wiedzy i działalności zajmująca się algorytmami Donald E. Knuth: Mówi się często, że człowiek dotąd nie zrozumie czegoś, zanim nie nauczy tego – kogoś innego. W rzeczywistości, człowiek nie zrozumie czegoś (algorytmu) naprawdę, zanim nie zdoła nauczyć tego – komputera.. Ralf Gomory (IBM): Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań (szybszymi algorytmami). informatyka +. 4.

(5) Grafy i algorytmy Plan: • Przykłady pojawiania się grafów – – – – – –. siatki wielościanów mosty królewieckie – figury jednobieżne malowanie map drzewa w informatyce sieci dróg cykle Hamilton. • Przykłady trudnych problemów – szukanie trasy objazdu. • Problemy, które mają efektywne algorytmy – – – –. szukanie najniższych drzew – krótkich kodów komputerowe reprezentacje grafów problemy najkrótszych dróg problem najkrótszego drzewa. informatyka +. 5.

(6) Grafy – przykłady występowania – wielościany Leonhard Euler (1707-1783) – Ojciec Teorii Grafów:  Podał zależność między liczbą wierzchołków. krawędzi i ścian w Sześcian wielościanach. Spłaszczony sześcian Wierzchołki Krawędzie Ściany. Wzór Eulera: Liczba wierzchołków + liczba ścian = 2 + liczba krawędzi n+f=2+m. dla sześcianu: 8 + 6 = 2 + 12. informatyka +. 6.

(7) Grafy – przykłady występowania – grafy Eulera, 1 Leonhard Euler (1707-1783) – Ojciec Teorii Grafów:  1736: Problem mostów Królewieckich. Czy istnieje droga, która zawiera każdy most (każdą krawędź) dokładnie raz? Do każdego wierzchołka, z wyjątkiem dwóch, tyle samo razy musimy wyjść, ile razy wchodzimy. informatyka +. 7.

(8) Grafy – przykłady występowania – grafy Eulera, 2 Leonhard Euler (1707-1783) – Ojciec Teorii Grafów:  1736: Problem mostów Królewieckich  Figury unikursalne, jednobieżne. informatyka +. 8.

(9) Kolorowanie map Problem czterech kolorów (1852): Czy każdą mapę można pomalować 4 kolorami?. Mapa województw. Graf województw. Pomalowany graf. 1976: K. Appel. W. Haken i J. Koch (programista) Pierwszy dowód – z wykorzystaniem komputera. informatyka +. 9.

(10) Drzewa w informatyce. Drzewa – grafy spójne bez cykli. Drzewo algorytmu. Drzewa obliczeń. Zastosowanie: ONP Odwrotna Notacja Polska Jan Łukasiewicz (1920). (6 + 3)*(5 – 3*4). informatyka +. (x2+ y2)/(a – b). 10.

(11) Drzewa w algorytmice – wyłanianie zwycięzcy. Porównania – mecze. Ośmiu zawodników: 7 meczy n zawodników: n – 1 meczy. Tomek. Tomek. Bartek. Bartek. Bartek. Romek. Witek. Bolek. Witek. Tomek. Tomek. Zenek. informatyka +. Tolek. Tolek. Felek. 11.

(12) A jak znaleźć drugiego najlepszego zawodnika w turnieju? Tomek. Ale Bartek nie grał z drugą połową!. Czy jest nim Bartek? Bo przegrał z Tomkiem?. Tomek ???. Bartek. Bartek. Bartek. Romek. Witek. Bolek. Witek. ??? Tomek. Tomek. Zenek. informatyka +. Tylko dwa dodatkowe mecze!. Tolek. Tolek. Felek. 12.

(13) Sieci dróg samochodowych, kolejowych, lotniczych …. informatyka +. 13.

(14) Grafy Hamiltona William R. Hamilton (1805-1865):  1859: cykl Hamiltona – przechodzi przez każdy wierzchołek dokładnie raz. Dwunastościan foremny. Siatka (graf) dwunastościanu. informatyka +. Cykl Hamiltona. 14.

(15) Zastosowanie – najkrótsza trasa premiera, 1 Problem: Znajdź najkrótszą trasę dla Premiera przez wszystkie miasta wojewódzkie.. Rozwiązanie: Premier zaczyna w Stolicy a inne miasta może odwiedzać w dowolnej kolejności. Tych możliwości jest: 15*14*13*12*11*…*2*1 = 15! (15 silnia) W 1990 roku było: 48*47*46*…*2*1 = 48! (48 silnia). informatyka +. 15.

(16) Zastosowanie – najkrótsza trasa premiera, 2 Wartości funkcji n! Rosną BARDZO SZYBKO Prezydent Stanów Zjednoczonych ma problem ze znalezieniem najkrótszej trasy objazdu Stanów. Na superkomputerze o mocy 1 PFlops – ile trwa obliczanie n! 15! = 1307674368000/1015 sek. = ok. 0.01 sek. 48! = 1,2413915592536072670862289047373*1061/1015 = 3*1038 lat 25! = 15511210043330985984000000/1015 sek. = 15511210043 sek. = = 179528 dni = 491 lat. informatyka +. 16.

(17) Zastosowanie – najkrótsza trasa premiera, 3. Trudno sprawdzić, jak dobre jest to rozwiązanie w stosunku do najlepszego, bo go nie znamy. Zły wybór. Algorytmy przybliżone szukania rozwiązań: 1. Metoda zachłanna – najbliższy sąsiad – mogą być bardzo złe 2. Meta-heurystyki: • algorytmy genetyczne – krzyżowanie i mutowanie rozwiązań • algorytmy mrówkowe – modelowanie feromonów. informatyka +. 17.

(18) Krótkie kody – kompresja Kody: a: b: d: k: r:. ASCII 01100001 01100010 01101100 01101011 01110010. Huffman 0 1110 110 1111 10. abrakadabra 01110100111101100111010 88 znaków. 24 znaki 18.

(19) Krótkie kody – kompresja Drzewo Huffmana Litery i ich częstości. Kody. Krótsze dla często występujących liter. Algorytm Huffmana: Powtarzaj, aż zostanie jedna liczba:  Wybierz dwie najmniejsze częstości i dodaj ich sumę do ciągu. M.M. Sysło. 19.

(20) Reprezentacje grafów w komputerze. M.M. Sysło. 20.

(21) Najkrótsze drogi. M.M. Sysło. 21.

(22) Najkrótsze drzewa. M.M. Sysło. 22.

(23) Konkluzja Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań (szybszymi algorytmami) [Ralf Gomory, IBM]. 23.

(24) Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka + Wykład+Warsztaty (Wszechnica Poranna): • Wprowadzenie do algorytmiki i programowania – wyszukiwanie i porządkowanie informacji • Proste rachunki wykonywane za pomocą komputera. • Techniki algorytmiczne – przybliżone (heurystyczne) i dokładne. Wykłady (Wszechnica Popołudniowa): • Czy wszystko można policzyć na komputerze? • Porządek wśród informacji kluczem do szybkiego wyszukiwania. • Dlaczego możemy się czuć bezpieczni w sieci, czyli o szyfrowaniu informacji. • Znajdowanie najkrótszych dróg, najniższych drzew, najlepszych małżeństw. informatyka +. 24.

(25) Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka + Kursy (24 godz.) – Wszechnica na Kołach: • Algorytmy poszukiwania i porządkowania. Elementy języka programowania • Różnorodne algorytmy obliczeń i ich komputerowe realizacje • Grafy, algorytmy grafowe i ich komputerowe realizacje Kursy (24 godz.) – Kuźnia Informatycznych Talentów – KIT dla Orłów: • Przegląd podstawowych algorytmów • Struktury danych i ich wykorzystanie • Zaawansowane algorytmy Tendencje – Wykłady • Algorytmy w Internecie, K. Diks • Czy P = NP, czyli jak wygrać milion dolarów w Sudoku, J. Grytczuk • Między przeszłością a przyszłość informatyki, M.M Sysło. informatyka +. 25.

(26)

(27)