Wachttijdproblemen bij de bediening van een groep machines

WACHTTIJDPROBLEMEN

BIJ BEDIENING VAN EEN

GROEP MACHINES

J^

>ïft..:

/o/x

S^/

//

^ . t

>o o N» o OD •-•

jliliiiiiiilli

Ijl II _{IMIHiliiiillllliil} iiiiiiüniliiü'i mill y i il il! iHIl I f illilii HUI I I : i | l ! ! ' [ | ' i l l l l i l i i t l l l l h l l ^iiiiiiii -o UI ^-0> O ( - 1 | _ <

WACHTTIJDPROBLEMEN BIJ BEDIENING VAN EEN GROEP MACHINES

Bibliotheek TU Delft P 1012 5614

WACHTTIJDPROBLEMEN

BIJ B E D I E N I N G

VAN EEN G R O E P

MACHINES

P R O E F S C H R I F T

TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAP AAN DE TECHNISCHE HOGESCHOOL TE DELFT. OP GEZAG VAN DE WAAR-NEMEND RECTOR MAGNIFICUS J. M. TIENSTRA. HOOG-LERAAR IN DE AFDELING DER WEG- EN WATERBOUW-KUNDE. VOOR EEN COMMISSIE UIT DE SENAAT TE VERDEDIGEN OP WOENSDAG 10 JANUARI 1051 DES

NAMIDDAGS TE 4 UUR DOOR

H E N D R I K L A M B E R T U S M U L L E R

WERKTUIGKUNDIG INGENIEUR GEBOREN TE ZEIST

DIT PROEFSCHRIFT IS GOEDGEKEURD DOOR DE

A a n mijn Ouders

I N H ü U D S O P G A V B . HOOFDSTUK I

I n l e i d i n g p a g , 1 HOOFDSTlffv I I

Benaderingsformules voor de gemid-delde wachttijd en het

machineren-dement pag. 3 HOOFDSTUK III

Oplossing van het wachttijdpro-bleem voor geval de bedienings-tijd een exponentiële

verdelings-functie bezit. pag. 26 HOOFDSTUK IV

Invloed van de verdelingsfunctie van de bedieningstijd op het

r.aa-chinerendement . pag, kU

HOOFDSTUK V

Practische toepassingen pag* 53 HOOFDSTUK VI E n i g e b e s c h o u w i n g e n o v e r d e b e -r e k e n i n g v a n ' y e n d e w o -r t e l v a n d e b e n a d e r i n g s v e r g e l i j k i n g ( 1 3 ) v o o r h e t m a c h i n e r e n d e m e n t pag» 6 5 SUMI/IARY p a g . 7 4 SOME RULES FOR PRACTICAL USE p a g . 8 0 FIGUREN: l a p a g . 8 2 I b p a g . 8 3 2 p a g . 8U 3 p a g . 85 4 * p a g . 56 5 p a g . 8 6 6 p a g . 8 6 LITE.iiiTUUR LIJST . , p a g . 8 7

WACHTTIJDPRQBLBI4BN B I J BEDIENING VAN EEN GROEP I-IACHINES. H o o f d s t u k I

I N L E I D I N G .

Een man kan vaak meer dan één productiemachine tegelijk bedienen. Verhoging van het aantal machines per man betekent in het algemeen verlaging van de productie-kosten. Wanneer een man meerdere machines bedient , zal het zo nu en dan voorkomen, dat een machine op reparatie staat te wachten, omdat de man aan een andere machine bezig is.

Deze wachttijd veroorzaakt een vermindering van de productie en dus een verhoging van de kostprijs.

De wachttijden zullen nagenoeg regelmatig op-treden, wanneer de productie^machines onveranderlijke bedieningstijden ( handtijd of insteltijd ) en constante looptijden bezitten. In dat geval wordt de meest econo-mische oplossing gevonden door het zo gunstig mogelijk in elkaar passen van de handtijden en machinetijden van de verschillende machines, waarbij de soms onvermijdelijke wachttijden van man of machine zich direct laten bereke-nen voor elke gekozen oplossing.

Hierbij doen zich geen mathematische moeilijk-heden voor, en we verwijzen voor de behandeling van dit probleem verder naar de literatuurlijst (nrs. 1,2,3 en 4) Bij ancLere machines, die meer automatisch ingericht zijn, bestaat het werk van de man voornamelijk uit het verhel-pen van storingen, het toevoeren van grondstoffen en con-trole op de kwaliteit van het product.

De storingen treden onregelmatig op, terwijl de machines meestal voorzien zijn van beveiligingen,waardoor storingen geen aanleiding geven tot verknoeien van mate-riaal of beschadiging van de machine.

De bedieningstijd per machine is meestal een kleine frac-tie van de totale tijd. Dit betekent dat de man vrij veel machines tegelijk kan bedienen. Dit aantal machines wordt in de eerste plaats door economische overwegingen bepaald, tenzij practische omstandigheden tot afwijking dwingen.

Indien niet een concrete looptijd bekend is, doch sprake is van een wekere kans op storing,moet de waarschijnlijk-heidsrekening te hulp worden geroepen om een zo juist mo-gelijke waarde te geven van de te verwachten productie van de groep machines.

Men heeft daarbij o.m. gebruik gemaakt van de resultaten, die gevonden zijn bij toepassing van de waar-schijnlijkheidsrekening op het automatisch telefoonver-keer. Hierbij wordt de duur van de bediening, welke over-eenkomt met de gespreksduur in het telefoonverkeer,meest-al constant verondersteld.

De oplossing van het wachttijden probleem bij constante bedieningstijd wordt in hoofdstuk II behandeld, waarbij ook verschillende benaderingen uit de literatuur worden besproken.

Een algemene oplossing van het probleem is gege-ven door Prof, R. Kronig in Physica X, (1943) no U en X, no 5. De algemene oplossing is uiteraard tamelijk inge-wikkeld van vorm.

Het blijkt mogelijk door beperkende voorwaarden ten aanzien van de bedieningstijd in te voeren een benade-rings oplossing te verkrijgen die voldoende nauwkeurig is voor de practijk en waarbij de oplossing door slechts twee parameters bepaald is.

De afleiding van deze oplossing wordt in hoofd-stuk III gegeven, terwijl in Hoofdhoofd-stuk IV het verband wordt besproken tussen de verschillende oplossingen onder-ling. In hoofdstuk V worden enige economische beschouwin-gen en practische voorbeelden gegeven, terwijl in VI enige wiskundige beschouwingen volgen.

Hoofdstuk II

BENADSRINGSFO.RI'IULES VOOR DE Gl^KIDDELDS V.'ACHTTIJD EN HET MACHINERENDBMENT.

Onder looptijd wordt verstaan de tijd geduren-de welke een machine produceert tussen twee opeenvolgen-de stilstandtijopeenvolgen-den. Gedurenopeenvolgen-de opeenvolgen-de bedieningstijd is opeenvolgen-de man ononderbroken bezig met één machine.

De wachttijd treedt op als een machine bij een storing niet direct geholpen kan worden; deze wachttijd heeft dus betrekking op de machine.

De storende oorzaken,die de productie onderbre-ken,hebben tweeërlei karakter:

Bij de eerste soort is het stopzetten noodzakelijk om het te verwerken materiaal toe te voegen, net bijbeho-rende instelwerkzaamheden.

Tot de tweede soort behoren ie eigenlijke storingen, zo-als draadbreuk bij spinmachines.

Hoewel storingen van de eerste soort soms vrij regelmatig optreden, wordt verondersteld dat beide soor-ten storingen een toevallig karakter hebben. We gebrui-ken de volgende notatie:

= Tijdinterval van zodanige lengte, dat de jn deze tijd waargenomen gemiddelden de ver-wachte waarden voldoende benaderen.

t z Gemidd. looptijd tussen twee storingen.

^1 '*2 * Constante tijden, nodig voor herstel van een storing.

fj_ , f2 = Aantal storingen met tijden t-j^ resp. t2 in interval T als één man één machine bedient.

'2

.1 f

1"

h

f f

1 » 2 s Aantal storingen met tijden t, resp, t2 in

interval T als één man een groep van twee machines bedient. t, +ott2 t = s gemiddelde bedieningstijd. 1 + ot

IE.

^o

T* s Gemiddelde tijd dat een machine op bedieniiig wacht.

(0),(1),{2)« Aanduiding van de toestanden, waarbij resp. geen, één of. twee machines stilstaan.

T , *?"•.,"C = Tijd gedurende periode T dat resp. alle

ma-chines lopen, één machine stilstaat of twee machines stilstaan.

P ,p.|,P2 z Kans op stilstaan van resp. geen machines één machine, of twee machines.

p(k) s Kans op stilstaan van k machines als een be-paalde machine uitvalt.

-m = Aantal -machines dat door één -man wordt bediend. a = Gemiddeld aantal lopende machines.

b = Gemiddeld aantal machines dat onderhanden is, c = Gemiddeld aantal wachtende machines,

"h - rendement =

_ productie van een machine in groepsverband

productie van deze machine bij afzonderlijke bediening.

/U - productie van een machine bij afzonderlijke bediening productie van deze machine bij ononderbroken lopen.

r = machinerendement s

productie van machine in groepsverband

productie van deze machines bij ononderbroken lopen

dus r = ^ '^ « d e gemiddelde waarde van de tijdsfractie dat een machine loopt, welke in groeps-verband door één man wordt bediend.

De volgende, algemeen gebruikelijke veronder-stellingen worden gemaakt:

1. De kans op onderbreking van een machine is cp ieder ogenblik dat de machine loopt, even groot. 2. De machines zijn volkomen gelijk.

3. Bij storing wordt gerepareerd, zodra de man vrij is.

4. De bedieningstijd is constant.

De berekening van de gemiddelde wachttijd bij constante bedieningstijd in het algemene geval van m ma-chines is niet eenvoudig en er zijn dan ook enige

bena-derings oplossingen gegeven. De exacte oplossing kan direct verkregen worden uit de algemene formule, afgeleid door R, Kronig ( lit, nr. 9)

Om de grondbegrippen en de gedachtegang bij deze soort waarschijnlijkheidsproblemen te demonstreren wordt in het hier volgende op elementaire manier de wachttijd afgeleid voor het geval dat één man twee machines bedient, waarbij de bedieningstijd twee constante waarden t-i en t2 kan bezitten,welke tijden in zekere onderlinge frequentie verhouding optreden.

Het optreden van slechts 2 soorten bedienings-tijden doet zich bij benadering voor als voor het opzet-ten van het te verwerken materiaal op de machine een tijd tl nodig is, terwijl een storing ( door bijv. draadbreuk) een reparatie tijd t2 vereist.

Wanneer dus een zeer lange periode T wordt be-schouwd, dan treden er, wanneer de man slechts één machine zou bedienen, f-, storingen op van een duur t^ sec. en f o storingen met tijdsduur t2 sec.

In het geval, dat de man twee machines moet verzorgen zullen, tengevolge van de dan optredende

wacht-I t

tijden, deze aantallen verminderen tot f-, resp. f o .

Deze aantallen f-, resp. f2 zijn kleiner dan f-^

resp. f2 omdat in het geval dat beide machines door één man worden bediend de machines in dezelfde tijd T minder lopen dan bij enkele bediening en dus minder kans op storing bezitten,

De gemiddelde looptijd krachtens definitie wordt :

T - (f,t, ^ f^t,)

^o = f^ + ^2 ^ ^ Het aantal storingen , dat optreedt als de man beide

machines bedient, wordt nu als volgt gevonden. De tijd Ty,

gedurende welke de toestand (2)bestaat, waarbij één machi-ne onderhanden is, en één machimachi-ne wacht, zal gelijk over beide machines verdeeld zijn,dus iedere machine wacht i ^ sec, in de beschouwde lange periode T.

De tijd, waarin de storingen kunnen optreden bedraagt T - è ^^ en het aantal storingen betrokken op

f t

deze tijd wordt dus voor één machine : f-, 4- fp en omdat

dit een specifieke grootheid is, die alleen bepaald wordt door de eigenschappen van de machine, moet dit quotient gelijk

geldend wordt. Hieruit

zijn aan het overeenkomstige quotient

voor geval elke machine afzonderlijk

volgt: •T-f^ * f2 = (fi + f2)(l - h -^ )

h

*^2

T

bediend

De waarschijnlijkheid van een toestand (2) is '2

gelijk aan de limiet waartoe het quotient -»?— nadert, wanneer T onbeperkt toeneemt. Immers dit quotient geeft de tijdsfractie van de totale tijd aan, dat de beschouwde toestand heerst. We veronderstellen verder T zo groot dat

To , ,

we -wr- door de waarschijnlijkheid P2 van de toestand (2) v/aarbij één machine in reparatie is en één staat te wachten, mogen vervangen.

Blijkbaar geldt dus:

fj 4- f2 = (fi 4- f2)(l - èP2) (2) De toestand (O), waarbij beide machines lopen, heeft een

waarschijnlijkheid P en een tijdsduur ^ in de totale

tijd T. ^ Volgens definitie is P • —m^.

In de tijd T treden 2(fj^ + f^) storingen op met een gezs^ melijke duur

2(f]^tj^ 4. f2*2) . zodat geldt T^ = T - 2(f^tjL 4- f21^ )

waarmee de waarschijnlijkheid P wordt: f' 2 r f t-i + " { • t , T - 2(f,t, + fpt-) , -^ f, '^ P3 » Y^-^ ^-^ - 1 - 2fi. r ^ (3) ^2 ^2 De verhouding -ii— zal gelijk zijn aan — 1 —

1 ^1 omdat het al of niet wachten van de machines de kans op

ieder der soorten storing en dus ook de verhouding van de gemiddelde storings aantallen in de periode T niet zal wijzigen.

V^e voeren deze verhouding in als een gegeven parameter o(: f, f* 1 ^ 1 U i t ( 1 ) , ( 2 ) en ( 3 ) v o l g t nu d i r e c t : T = f-j^ ( 1 + o ( ) t Q 4- t-j^ +«^^2 en f. P^= 1 - 2 Tfi ( 1 - è P 2 ) ( t 3 ^ + « t 2 ) o f ( 1 4-oc)t„ - ( t T 4 . a : t , ) ( l - Pp) p_ = _{( 1 4-c()tQ + t-^ 4 . a t 2} t-, +ott2

We stellen nu : t^^ « ,^ , • , dan is tj^j dus de gemid-delde waarde van de bedieningstijd en vinden dan:

o _ o 2' m I, \

o ra

De kans op storing van één lopende machine in een tijdselement dt is krachtens definitie van de kans

gelijk aan de volgende verhouding:

aantal tijdselementen, waarin storing optreedt totaal aantal tijdsei., waarin machine loopt

- l£ljLl2)fl - dt

- TqiYH^nr^)" ^0

Daar we verondersteld hebben dat er twee soor-ten storingen optreden ieder met een eigen constante be-dieningstijd t-, resp. t2 t moeten we een onderscheid ma-ken tussen twee soorten van toestanden (1), waarbij een machine in reparatie is, en wel :

a toestanden (1,a),waarbij de eerste soort storing met tijd t-, aan één machine optreedt, terwLJl de andere machine loopt en

b toestanden (l,b), waarbij de tweede soort storing optreedt.

De kans op geval a stellen we P , de kans op geval b P, .

We bekijken nu geval a eerst afzonderlijk:

Bij de toestanden (l,a) moeten we nog onderscheid maken al naar de tijd t dat de reparatie aan de gestoorde ma-chine aan de gang is.

De toestand (l,a,t) , waarbij de reparatie aan de ge-stoorde machine op het beschouwde tijdstip Juist een ze-kere tijd t(<t-,) aan de gang is, doet zich gedurende een ogenblik bij iedere reparatie van de soort a voor, De kans hierop is daarom oneindig klein en wordt P (t)dt gesteld. De kans P. op de toestand (l,a)(welke toestand

cl

dus alle toestanden (1, a, t) omvat voor alle mogelijke waarden van t tussen O en t-, ) vinden we door de kansen P (t) dt te sommeren over alle mogelijke waarden van t.

cl

We krijgen dus:

Pa

=f^

Pa <^)d^

O

VJanneer op zeker ogenblik de toestand (1, a, t) heerst, zal na een tijdsverloop dt de toestand (l,a) iets minder waarschijnlijk geworden zijn,omdat er in deze tijd dt een kans op storing bestaat aan de nog lopende machine, Deze kans op storing is gelijk aan de afname van de

waarschijnlijkheid Pg(t) dus aan -dPg(t), Zij kan echter ook gelijkgesteld worden aan het product van de beide kansen p (t) en -y— , daar iedere kans overeenkomt met een noodzakelijke voorwaarde om een verandering van deze toestand (l,a,t) te bewerkstelligen,

Gelijkstelling geeft:

dp^ (t) = - p^ (t) . - ^

Hieruit volgt door integratie :

Pa ^*^ = Pa^°^ • ®

waarbij de integratie constante PglO) is gesteld, omdat Pg(0)dt ook de waarschijnlijkheid voorstelt van de toe-stand (1, a ) op het tijdsinterval dt, waarin Juist de storing met reparatieduur t-j^ is opgetreden,

Met behulp van deze uitdrukking voor p^ (t) wordt:

t

Pa

= y P a (0).e ° dt - p^ (0) t^ (1-e ^ °)

Op dezelfde wijze leidt men af:

-toA„ Pb = Pb^O) t^ (1-e 2 o j

Daar de toestanden (l,a ) en (l,b)samen de toestand (1) vormen, geldt :

Pa • Pb = Pi ^"«

-tiA„ -toA^ Pi » Pa ^^^ ^o ^^-« ) * Pb (0) t^(l-e )

In de lange periode T treden volgens defihitie aan de beide machines samen 2f-, storingen op met reparatie duur t,,

De toestand (l,a,0) heerst daarom gedurende 2fj^ dt tijdseenheden en de kans erop bedraagt dus

vol-gens de gronddefinitie van de waarschijnlijkheid:

2fT dt f,

^ ^

= 2 ^ (1 - èPg) dt

Deze kans is echter ook gelijk aan p^ (O) dt,

Hieruit volgt:

2f,

Pa(0) s - ^ (1 - iP2)

Evenzo leiden

ve

af :

2f

f

Pb ^^^ = - T ^ (1 - |P2) = 2G(ij,i (1 .JPg)

T • ^1 ((i+ <<)tg

*

t^

^'^^zj

wordt

2(1 - hPz)

Pa^°^ ° (U«)tpit;^lat2 ®"

2 0((l-iP )

Pb(0) ^

Met

(14. ot)tQ4-tj^+ö(t2

Substitutie in de uitdrukking voor P-, geeft tenslotte:

2 (1 - èPo) ƒ - t / t „ - t ^ A ^ I

Pi • TTT^Jt^è^f^J^o <!-« °)*«t,(l-e 2 °)j

t , 4-o< t 2

Met jl ^ ^^ = tjjj wordt

Pi M U « ) ( t ^ U „ ) ( ^ o ^ ^ - ^ ^ ° ) + c x t , ( l - e 2 o | . . ( 5 j

De som van de waarschijnlijkheden van de

mo-gelijke toestanden moet = 1 zijn, dus P^^ * ^o * P2 ~ ^

Substitutie van (4) en (5) in deze betrekking geeft :

waaruit volgt: " ^ / ^ ° . . ( l - e " 2 A . P2 "^ : : J...(6) f - t , / t „ -tp/t„ 2(Uo()tp^ - 2tp j l - e -^ ° io<(l-e ^ °) _ _ _ j ^ ^ ^ I 2 ( U « ) t j j j 4. t ^ (e -^ " +o(e ^' " )

Om de gemiddelde w a c h t t i j d T t e berekenen, maken we g e -bruik van de betrekking :

a - b _ c _ m ,„v t" ° t~ - r" - t i t i - T ^^^

o m o m

De Juistheid van deze formule wordt als volgt gezien: Stel dat in een lange tijd T iedere machine - van de groep van m machines, die door een man wordt bediend — N maal wordt bediend, dan kan voor de tota-le loopduur T Q van één machine in de tijd T geschre-ven worden :

T « Nt en op dezelfde wijze

T-, s Nt , waarin T-, is de totale bedienings-tijd per machine,

Tenslotte is:

T^ = N T , waarin T^ de totale wachttijd per machine is,

Optelling geeft:

Tjj 4. T-L 4- T.J. = T = " ( t g + t j ^ + T ) , dus g e l d t : '^o ^o ^ 1 _ ^ 1 T^ . r

o m ' o m o m

Uit de definitie van de gemiddelde waarden a, b en c volgt dat :

a T = raT = verwachte duur van de gezamenlijke looptijden in de lange tijd T

evenzo bT = mT-^ en cT « mT-.

o ^ Tenslotte krijgen we dan : a = m =2. » m - .f , ^

^1

^ ' " t„-^t^i r

o m i 0+^m-o m T ^ * " t 4't 4- T ' waaruit de formule o m (7) v o l g t . ^ c t , S t e l l e n we de verhouding -J^ - fi , dan v o l g t u i t (7) b =/ia = m/Jr (8)

Hierin is r = ^ het z.g, machine rendement, dat is het gedeelte van de totale tijd dat een raachine loopt, wanneer één man de groep van m machines bedient.

Blijkbaar is r = J- = ° » ^—r

of ^ = 1-- 1 -p (9)

Vi/anneer één van de vier grootheden a,b,c of T

bekend is, dan volgen de andere drie onmiddellijk uit de vergelijkingen (7), (8) en (9).

Daar er als ra = 2 is,juist één raachine wacht wanneer de toestand (2) heerst, en deze toestand een gedeelte P2 van de totale tijd voorkomt, zal het gemiddeld aantal wachtende machines dus juist gelijk zijn aan P2, dus c = P2 .

De grootheid c wordt dus door de vergelijking (6) vol-komen bepaald en daarmede zijn ook a,b en T bekend.

Er is één machine onderhanden als de toe-stand (1) of (2) in de groep van 2 machines bestaat, Het gemiddeld aantal onderhanden zijnde machines b is dus gelijk aan de som van de waarschijnlijkheden van de

toestanden (1) en (2) :

b » Pj^ * P2 = 1 - PQ (10)

De grootheid b geeft ook meteen de fractie aan van de totale tijd, dat de man bezet is en b is dus identiek met het z,g, loonrendement,

Uit (6), (7), (8) en (9) volgt , met m = 2 .:

- t l / t - t i / t

. . . . m)

Door t als eenheid van tijd te kiezen vereenvoudigen zich de formules. De algemene oplossing van Kronig, toe-gepast op het geval van twee constante bedieningstijden t-, en t2 , met gemiddelde looptijd t = 1, luidt :

r = ^ * (m-l)t„-l

Hierin is:

*m * "^s . ^ *" , w a a r b i j of de verhouding _ t3+o(t2

is van de frequenties f, en f, van de beide soorten sto-ringen, dus £.

m-1

Verder is J =A3^A2 ""^j^.i ' TT ^k » waarin

k=l - k t i - k t 2 m-2 m-2

K-C^ V 3 • • • V l + ^ l ^^-h^h\'"^m-l*

+ C (1-Ai)(l-A2)A^A5...A^_1 +

* Cl^^-h) ( ^-^2 ) • • • (I-V4 ^ V2 V l *

14

-m-2

+C„,.3(1-Ai) (I-A2 ). ..(1-A„.3 )A„.i+ ra-2

+V2<l-Al){l-A2)---(l-Ara-2^

De coëfficiënten C ° zijn de bekende binomiaalcoëfficien-ten, dus

pm _ m!

n " n! (m-n J! <. . -*1 -^2

Voor ms2 wordt K=l en J=Aj^« ^^ (e *<Ke ) en

wordt de algemene formule (12) voor T identiek met de afgeleide uitdrukking (11) als we t^ = 1 stellen.

We zullen nu eerst enige benaderingen bespre-ken, welke gebaseerd zijn op een gegeven gemiddelde waarde van de bedieningstijd. Daar men aich soms niet erg scheen te bekommeren over de exactheid uit een oog-punt van waarschijnlijkheidsrekening en het soms doet voorkomen of, binnen de gemaakte veronderstellingen (1), (2) en (3) van blz 6 ,de gegeven afleidingen exact zijn, kan een meer uitvoerige analyse misschien wel ver-helderend werken.

De eerste formule, welke we bespreken zullen, is gegeven door D.W. Pinkerton ( American Machinist van Augustus 1932, "when a pieceworker runs several machi-nes " ) .

Pinkerton berekent het machinerendement Tt ,dat

hij definieert als de verhouding van de productie van een machine die loopt in een groep van m gelijke machines bediend door één man en de productie van één zelfde ma-chine bediend door één man afzonderlijk,

Dit rendement TJ is dus verschillend van het rendement r, dat de verhouding geeft van de gemiddelde looptijd van een machine bij groepsbediening, tot de totale tijd,

Blijkbaar is )| = ^pPtfTr ' ""^"^^^^ "^ ' t^ït^PT '

waarin t-j^ , t e n T d e aan het begin van dit hoofdstuk gedefinieerde betekenis hebben,

*1 h

Wanneer we : ^ =y3 stellen wordt ^ »(14-y3 )r= j ^ d + > ) Pinkerton voert als variabele in de verhouding:

tg

r—J—T— , die we hier /* zullen noemen, ^1 * ^o ^

*^^ / " T P ^i"d«" «« 7 = m ( l % )

Pinkerton benadert nu de waarschijnlijkheid dat alle machines lopen, P = 1 - b , door de uit-drukking ƒ "",

Wisumeer iedere machine door een afzonderlijke man werd bediend, dan was de kans op gelijktijdig lopen van alle machines inderdaad // "*, maar nu één man de hele groep moet bedienen is deze kans kleiner,

Mét de benaderingsformule P s^"^ wordt:

1 -/''°

( * n](l _u ) welke formule in een andere notatie door Pinkerton wordt gegeven,

Voor het rendement r vinden we

r Vl = I ^ i ^ • S ^ H lïV'"} '"'

Een veel betere benadering van P krijgen we door p sr" te stellen, waarbij r het machinerendement is van een machine in de door één man bediende groep, teiTvijl door

Pinkerton gebruikte grootheid /< het rendement is van een machine die afzonderlijk wordt bediend,

We krijgen dan in plaats van formule (12) de volgende betrekking :

r c jjp^ (1 - r") of r° 4- m ^ r « 1 (13)

De oplossing van r uit (13) kan niet meer in gesloten vorm gegeven worden, doch r laat zich door interpola-tie snel schatten met voldoende nauwkeurigheid, ( Zie ook hoofdstuk VI ),

Een andere benaderingsformule voor de bereke-ning van r bij gegeven waarde van t-, is gegeven door Dr, J, Zaalberg van Zeist, in een rapport getiteld :

„het machinerendement van het autoraatenpark in de

me-taalwarenfabriek van de N.V, Philips", opgesteld in 1941

door J.A, Borggreve,die destijds nog student ^vas aan de

T.H. Delft.

Bij de afleiding van deze formule worden steeds

de tijdstippen beschouwd,waarop Juist een bepaalde

ma-chine uitvalt door storing.

De stilstandstijd van deze machine is dan

Juist gelijk aan de bedieningstijd t, , als de man vrij

is, dus als alle andere machines lopen.

Staat er op dat tijdstip echter al een raachine

stil,dan zal de stilstandstijd van de betreffende

machi-ne gemiddeld 1^ t-j^ bedragen;staan er al 2 machimachi-nes stil,

dan wordt deze gemiddelde stilstandstijd 2i t^ enz.

Noemen we de kans op stilstaan van k machines, op het

tijdstip dat de beschouwde machine uitvalt, p(k) dan zal

dus de gemiddelde stilstandstijd bedragen :

p(0) . t-L4.p(l). lHi*P(2) . 2jt3_+ 4- p(m-l).(m-i)t3^"

l=.l

p(k)(k4-i)t, 4- p(ü) . it,

giö -^ -^

m-1 k m-k-1

De kans p(k)wordt nu gelijkgesteld aan: C (1-r) r

k

Dit is de kans op k gunstige gevallen uit

(m-l)mogelij-ke gevallen, waarbij de kans voor ieder geval

afzonder-lijk (1-r) bedraagt.Een kans op een „gunstig" geval hier

is de kans op stilstaan van een machine op het

beschouw-de tijdstip en beschouw-deze is het complement van beschouw-de kans op

lopen (r) van een machine.

De gemiddelde stilstandstijd wordt hiermee:

f

m-1 m-1 k m-k-1 m-1

\

it,/ 2l(2k + 1) C (1-r) r 4r f =

•^l k=o k )

- i*. fo 'v-''" 1 (m-1)! m-k-1 ,, ,k ,

• 1/ i^o l^H^-^-k]! ^ <^-^^ +

m - 1 m - 1 „ 1 1 1, r^ 1 1

+

Z_

C r'^-^-^ (1-r)^ + r^-M

K=o k

J

, %

/ , m-1 ra-1 m-1 m-k-1 k Daar / r *• ( 1 - r ) f ' zL ^ ^ ^^-r) = 1 V J k=o k wordt de gemiddelde t i j d : M 14- i o^ (m-1)! _m-k-l,, „,k , i , ^ m - l \ * l [ t ^ ( k - l ) ! ( m - l - k ) { ^ ^^-^> •^+^ )

Substitutie van z • k-1 geeft :

• it, /2(l-r)(m-l) "f ^,fc|l-,. r"-»-^l-r)^Ur»-l}

l z=o • \ t ' J

m-2

Volgens de binomiaal formule is ^ = 1, dus de gemid-z=o

delde stilstandstijd wordt tenslotte:

itj^ [2(l-r)(m-l)4.1+r™"-'j= it^ f r'"""'- -2(m-l)r+2m-l|

De gemiddelde stilstandstijd kan echter ook geschreven worden als:

t

t, 4. T en daar r = . 4,.^ 4. *. wordt dit :

H

*^'

4 ^ -

*o

We krijgen dus de volgende vergelijking :

itj^l r"""^ -2(m-l)r+2m-lj = -^ -t^ Met ^ =/3

wordt dit :

r"" - 2(ra-l)r'^ 4- (2m-l+ 4-)r - 4- = O (14) Deze formule is iets ingewikkelder dan de eerder

-de betrekking (13)

m-1 k m-k-1

Dat de formule p(k) « Gj^ (1-r) r slechts bij benadering Juist is zullen we nog illustreren met het eenvoudige geval, waarbij een man twee machines bedient.

Volgens de bovenstaande formule is hierbij de kans op stilstand van een machine ( die we met B zullen aanduiden ), op het ogenblik van storing aan de andere machine (A), gelijk aan 1-r.

We zullen deze kans nu exact berekenen.

Uit het gegeven feit dat A storing krijgt,, weten we dat A even vóór dit tijdstip liep. We beschouwen daarom al-leen tijden waarop A loopt.

De mogelijke toestanden met bijbehorende kan-sen zijn dan :

1) A loopt B loopt kans P 2) A loopt B in reparatie kans iP^

In een lange periode T bestaan de mogelijke toestanden dus alleen gedurende de tijd (P 4- iPi )T

De gunstige toestand kan alleen ontstaan uit de toestand met kans iP, wanneer bovendien de machine A storing krijgt vddr B klaar komt.

Nu is de kans op blijven lopen van een machi-ne in een tijd t, gelijk aan :

ƒ

•1 - ' A l . . -H/»c. , -^

tl ~"/ "1 X' O >' t /

dt_i_e =l-e , als 1/to • /i

ge-^o ^ O

steld wordt. a

De kans op storing in die tijd is dus e '' , want omdat de reparatieduur t, bedraagt is het niet mogelijk dat in de beschouwde tijd meer dan één storing optreedt.

In de beschouwde tijd T treden dus de „gunsti-ge" toestanden alleen op gedurende de tijd iPj_ e ' .T en de kans op stilstand van B als A juist een storing ondergaat, wordt dus :

'o * 4Pi

Nu volgt uit de formules (4) en (5) door

eliminatie van Pg en door or «O te stellen,dat voor het besproken geval geldt :

/3 Pi = 2P^ (e -1)

Hiermee wordt de kans op stilstand van B :

P„ * Po(e/5-1)

De kans F op lopen van B als A storing krijgt wordt het complement hiervan :

P = i.e -^ +e -2P

Volgens de toegepaste benadering zou de kans P gelijk moeten zijn aan p(k-l)« r.

Uit (9) en (11) volgt echter als o( » o en t^^ * t^ is, dat :

r = / .a (15) De formules voor P en r zijn niet gelijk. Voor kleine

waarden van ^ nadert r tot \ L JL en P tot 1 -y3 , en dus naderen r en P tot dezelfde limiet als y& tot 0 na-dert.

In onderstaande tabel zijn ter vergelijking de benaderende oplossingen voor r opgenomen volgens de formules (12) , (13) , (14) en de exacte formule (15)

MACHINE RENDEMENT r BIJ m s 2

^ ' \

0,1

0,5

1,0

Volgens (12) Pinkerton 0,866 Ü,555 0,375 Volgens 0,905 0,62 Ü,414 20 -(13) Volgens Zaalberg Zeist 0,91 0,65 0,44 (14) V. Exact (15) 0,906 0,623 0,422

De benaderingsformule (13) geeft hier nog iets betere resultaten dan de iets meer gecompliceerde formu-le (14).De formuformu-le (12)van Pinkerton is te onnauwkeurig, zoals blijkens de afleiding wel te verwachten is.

In een artikel over "Machine interference" in Mechanical Engineering van Aug. 1936 maakt Wilmer R. Wright gebruik van de wachttijdformule, welke het eerst afgeleid is door A.K. Erlang voor het automatisch tele-foonverkeer bij het z.g. één-lijnprobleem met constante gespreksduur.

In de formules voor het telefoonverkeer wordt meestal uitgegaan van de verkeersdichtheid of gespreks-dichtheid <f , welke als gegeven wordt beschouwd en uitge-drukt wordt in eenheden die genoemd zijn naar de Deen Erlang. Erlang was een van de belangrijkste pioniers bij theoretische onderzoekingen op dit gebied.

Onder gespreksdichtheid wordt verstaan het aantal gosprekuren per uur dat de beschouwde centrale of telefoonlijn te verwerken krijgt.

In het beschouwde geval van één lijn correspon-deert de lijn met de man die de groep machines bedient, terwijl iedere machine met een abonné overeenkomt.

Een storing aan een machine komt overeen met een oproep van een abonné.

De grootheid f is de fractie van de totale tijd dat de lijn bezet is en deze grootheid komt over-een met - en is in getalwaarde gelijk aan - het loon-rendement b in het machineprobleem, dat immers aangeeft de fractie van de tijd dat de man bezet is.

Hoewel de wachttijdproblemen bij het één-lijn verkeer en de één-mans-bediening mathematisch volkomen gelijk zijn, is er toch een belangrijk verschil in de keuze van de onafhankelijk veranderlijke.

Bij het telefoonpronleem wordt de fractie van de tijd, waarin een bepaalde gespreksbron gemiddeld spreekt, als een gegeven parameter beschouwd. Dit is plausibel, daar men kan veronderstellen dat een abonné een zeker gemiddeld percentage van zijn tijd beschikbaar

zal hebben voor telefoongesprekken. Vandaar dat in het telefoonprobleem de verkeersdichtheid £ als onafhankelijk veranderlijke wordt genomen.

Bij het machine probleem daarentegen is de kans op storing alleen afhankelijk van de effectieve looptijd, zodat, als N storingen optreden met een gemiddeld inter-val t , dus de effectieve looptijd Nt bedraagt, het aan-tal storingen per eenheid van looptijd dus wordt :

N _ 1 N^o " ^o

Dit aantal storingen is een specifieke machinegrootheid, evenals de bedieningstijd t,, het ligt dus voor de hand om t-i/t als onafhankelijk onveranderlijke te kiezen.

Indien het aantal abonné's zo groot veronder-steld wordt dat het aantal sprekende abonné's geen in-vloed heeft op de kans op een nieuwe oproep, volgt de ge-middelde wachttijd T'uit:

— = T T T ^ ) '

waarin t, de. constante gespreksduur voorstelt. ( Voor af-leiding van deze betrekking wordt verwezen naar Fry lit. nr. 10, par. 135 en 136).

Nu is volgens formule (7) :

b j, m

rat,

waaruit volgt : £ • b = ^ ,^ ^ _. Voeren we t^ weer in *1

als eenheid van tijd en stellen —r— = P dan wordt ;

^o

^- 1 . i"/V/ Uit deze formule en

T t

uit TTT— = 2( \Zf) volgt nu door eliminatie van t :

o

De bruikbare wortel uit deze vierkants verge-lijking is :

xx)

T/to = i{\/(l+/-J-niy3)2+2m/-(l4.^-ra^)j (16) De veronderstelling,dat de kans op storing

on-afhankelijk is van het aantal gestoorde machines, maakt de formule (16 )niet bruikbaar voor lage waarden van het aantal machines m.

Immers is ra klein dan neemt de kans op sto-ring van de groep als geheel beduidend af als een of meer machines stilstaan. Deze kans wordt zelfs O als alle machines stilstaan.

Volgens V/right geeft de formule echter reeds boven m"6 resultaten die met de practijk goed overeen-stemmen.

Daar we de exacte oplossing voor een constan-te waarde van t, kunnen berekenen met de formule van Kronig, is het mogelijk om bijv. voor m=6 de fout van formule (16) na te gaan.

In onderstaande tabel zijn de resultaten weer-gegeven.

WACHTTIJD T/t VOOR GEVAL m = 6

t l

0 , 1 0,3 0,5 1,0

berekend met behulp van formule (13) en 0,033 0,548 1,57 4 , 0 formule (14) en

Vto= - i -(14./3)

0,035 0,543 1,38 3.6 (16) 0,054 0^826 1,90 4,65 exact 0,037 0,555 1,50 4 , 0

De formule (16) volgens Wright geeft bij m=6

XX )

vorm Voor, WO rd t.

Deze formule komt bij Wright in iets andere omdat daa r t, als tijdseenheid aangenomen Stellen we echter:

i = X , m = .

_en

/«t„

lüü

dan krijgen we de wachttijd formule in de notatie van

voor alle waarden van/3 een vrij grote fout. Van de be-naderingsforraules geeft formule (13)nog de beste resul-taten.

Tenslotte moeten v^e nog enige aandacht schen-ken aan de methode van Bernstein ( lit. nr, 7 ) ,

Bernstein benadert de oplossing ook met de binomiale verdeling voor de kans P^ van de toestand waarin k machines gestoord zijn,evenals Dr,Zaalberg dat deed,

Deze weinig elegante methode is in enige Jlme-rikaanse boeken ( lit, nrs, 12 en 13) zonder commentaar avergenomen, doch met een hinderlijke vergissing.

Het machine rendement volgens Bernstein wordt in de hier gevolgde notatie :

T =/* - (c+d4.e) (a)

Hierin is: t / = ti*t^

terwijl de z.g. "interference" c berekend wordt met de binomiale kansverdeling, welke in gesloten vorm weer-gegeven kan worden door de uitdrukking :

m m-k k ra

c = 21 / (1-/) C ik(k-l)

k=2 ' m-k

Uit de manier waarop de grootheid c berekend wordt, volgt dat deze grootheid eigenlijk niets anders is dan het gemiddeld aantal wachtende machines, vandaar dat we het symbool c hier weer gebruikt hebben.

De grootheden d en e zijn resp. de fractie van de totale productie-tijd die verloren gaat door in-stel v;erkzaamheden aan de machines ( deze werkzaamheden gebeuren echter niet door de machine-bediende !) en de fractie van deze tijd die verloren gaat door afwezig-heid van fle machine-bediende.

V.anneer we eerst even afzien van de verliepen d en e dan volgt het rendement r uit de vergelijkingen

(7) en (8) welke herleid kunnen worden tot :

- _ 1_ m-c _ w,, C v

-Door de verliezen d en e wordt de beschikbare productie tijd vermindert met een factor (l-d)(l-e),

Hierdoor wordt het machinerendement tenslotte : / (l-d)(l-e)(l-|)

V/anneery« bijna 1 is en ^ , d en e alle ^ 1 zijn, is dit rendement bij benadering gelijk aan :

1 - (| +d+e) .(b) De vergelijking van de formules (a) en

(b) doet de fout blijken. In het door Bernstein behan-delde getallen voorbeeld is m=8 ,yM =0,938, c=0,107 , d=0,058 , e=0,05.

Formule (a) geeft voor het rendement 0,723, terwijl volgens (b) dit rendement 0,817 bedraagt !

.Hoofdstuif III

OPLOSSING VAN HET WACHTTIJDPROBLEEM VOOR GEVAL DE BEDIENINGSTIJD EEN EXPONENTIELE

VERDELINGSFUNCTIE BEZIT.

De te bespreken oplossing veronderstelt een bepaalde verdelingsfunctie van de bedieningstijd en sluit aan bij oplossingen van het wachttijdprobleera in de telefoontechniek, welke ook vaak een exponentiële Yerdelingsfunctie voor de duur van de gesprekken ver-onderstellen.

De hier volgende beschouwingen en formules werden in '44 door mij toegepast op enige gevallen wel-ke voorkwamen in het bedrijf van de N.V, Philips Gloei-lampen fabrieken,

Aan het eind van hoofdstuk V worden nog eni-ge resultaten hiervan eni-geeni-geven,

In 1947 verscheen een serie artikelen in de Zweedse taal in het tijdschrift: Industritidningen Norden van de hand van Conny Palm, waarin deze met behulp van de veronderstelde exponentiële bedieningstijd tot de-zelfde resultaten komt, zonder echter de z.g, controle tijd afzonderlijk te beschouwen.

Alvorens de gemiddelde wachttijd te bereke-nen geven we in punt 1 nog enige algemene opmerkingen over verdelingsfuncties.

1. Beschouwingen over de bedieningstijd.

De bedieningstijd zal maar zelden bij benade-ring als constant beschouwd mogen worden.

De verdelingsfunctie van de bedieningstijd kan door meting in de machinegroep bepaald worden. Deze

functie p(t) bepaalt het gedeelte van het totale aantal gemeten tijden, waarbij de waarde van de bedieningstijd tussen bepaalde waarden t en (t4-At) is gelegen; dit

gedeelte bedraagt dan p ( t ) 4 t . Omgekeerd kunnen we dan veronderstellen dat p ( t ) ^ t de kans vooraf is ( dus de kans a priori) dat de storing een bedieningstijd gele-gen tussen t en (t4-4t) zal vergele-gen.

De formules van prof. Kronig geven de algemene oplossing, v;aarbij de gemiddelde wachttijd berekend kan worden voor iedere gegeven functie p(t).

Wanneer verondersteld wordt dat de kans op het beëindigen van een bedieningsperiode, op ieder ogenblik dat de man bezig is met de betreffende machine, steeds even groot is en evenredig met de lengte van het tijds-element dt, dan zullen deze bedieningstijden de verde-lingsfunctie

• " " = Ï I ^ (17)

bezitten, waarbij t-j^ de gemiddelde waarde van de bedie-ningstijd is. De kans op een bedieningstijcl gelegen tus-sen O en dt is de grootste en bedraagt — dt, deze kans neemt voor de er na volgende tijdselementen voortdurend af en nadert asymptotisch tot nul voor oneindige waarde van t.

De uitdrukking voor p(t) is een bijzonder ge-val van de alf;emene formule:

(ft/t, )f-i -^^Ai ,

Pf(^)= (f-l)! ^ % (12)

welke o v e r g a a t in p ( t ) voor f = 1 .

De algemene v e r d e l i n g s f o r m u l e Pf.(t) kan afg e l e i d worden u i t de volafgende eenvoudifre v e r o n d e r s t e l -l i n g : ^ )

De a f l e i d i n r r wordt ongeveer in deze vorn ge-geven door iirne .iensen i n " The Life and i;orks " of A.K. Mrlang.

Het einde van een aan de gang zijnde bedie-ningsperiode is afhankelijk van het vooraf plaats vin-den van een bepaald aantal gebeurtenissen. De aard van deze gebeurtenissen is gedefinieerd voor elk geval. De kans dat een bepaalde gebeurtenis in een zeker tijdsin-terval plaats zal vinden, is asymptotisch evenredig met de duur van het interval, met een evenredigheidsfactor A,die onafhankelijk is van de tijd en voor alle gebeur-tenissen van een bepaald geval even groot.

Uit deze veronderstelling volgt onmiddellijk dat de waarschijnlijkheid voor het plaats vinden van V gebeurtenissen binnen het tijdsinterval t gegeven wordt door de verdelingswet van Poisson met de gemiddelde waarde T — . Deze wet kan geschreven worden in de vorm:

^1

V -At P ( v ' ) = ^ e

waar p(^) de kans is op het plaats vinden van V gebeur-tenissen in het tijdsinterval t en X t het verwachte aai-tal gebeurtenissen is in dit interval.

Indien het beëindigen van de bedieningsperiode samenvalt met het plaats vinden van de f-de gebeurtenis dan zal de kans P(>t) op het niet beindigen van de be-dieningsperiode, als t tijdseenheden zijn verlopen na het beginnen van deze periode, gelijk zijn aan de kans op het ten hoogste plaats vinden van (f-1) gebeurtenis-sen in het tijdsinterval t.

Hieruit volgt dat :

f-1 -At f=i V

P O t)= Z,P(V)= e 2 _ ^ ^ ,t>0

V=Ü v«ü "•

Dit kan herleid worden tot:

oo

C

f-1 -y

p(>t)=y -ffiryr ^ ^^ ' ^ ^ ^

xt

wat door partiële integratie bewezen kan vrorden, Ook is: ^

1-P(>t)= ƒ Pf(T)dr de kans op het beeindi-o

gen van de reparatie binnen tijd t, als px«(t)de gezochte verdelingsfunctie is. N u i s : •.+. 1-P(>t)= J ^^ _ ^ ) , e dy want 0« / o

y^-1 e -^dy =(f-i:

S t e l l e n we y • XT dan v o l g t u i t de g e l i j k s t e l l i n g van deze b e i d e u i t d r u k k i n g e n voor 1 - P ( > t ) , d a t

Pf(t)dt = j^^Jj^ e "•^^ Xdt ,tj.o

De gemiddelde waarde van deze v e r d e l i n g bedraagt :

f _

/ P(>t)dt = T = t-|_

stellen we X = i— dan wordt deze gemiddelde waarde stn ,

^1 •^ dus deze blijft even groot voor alle waarden van f. De

uitdrukking voor pr.(t)dt gaat dan over in de reeds ge-geven formule (18). Deze verdelingsfunctie behoort tot de door Pearson beschreven systemen en werd door hem als type III aangeduid.

De verdelingsfuncties, welke in de werkelijk-heid voorkomen, vertonen meestal een maximum bij een van nul verschillende doch kleine waarde van de reparatie duur. De lange bedieningstijden zullen zeldzaam zijn, zo ze al voor kunnen komen, daar een lang€i storingsduur wijst op min of meer abnormale omstandigheden. Het kan bijvoorbeeld voorkomen dat na lange tijd bepaalde onder-delen min of meer regelmatig versleten raken en door de machine-bediende zelf (en niet dus door een aparte repa-rateur) vervangen kunnen worden. De grote meerderheid

der storingen,die van kortere duur zijn,kan veroorzaakt worden door bijv. draadbreuken,wanneer de machine draad verwerkt,of door weigeren van de van de vuiler,die het te verwerken materiaal toevoert,

Wanneer de langdurige reparaties nog uit meerdere soor-ten bestaan en de meest voorkomende, kortstondige be-dieningstijden een zekere spreiding vertonen ontstaat een onsymmetrische verdelings curve met een maximum en een langzaam dalend verloop met toenemende waarde van

1 -t/t,

de bedieningstijd. De formule p(t)= r— e geeft 1

hiervan een eerste benadering.

Indien het aantal gebeurtenissen f, dat no-dig is voor beëinno-diging van de reparatie, groter is dan i wordt de kans op een kleine bedieningstijd ook klein en nul voor geval deze tijd oneindig klein zou zijn. Dit is te verwachten omdat de kans op het samenvallen van 2 of meer gebeurtenissen in een korte periode steeds kleiner wordt, naarmate deze periode kleiner wordt. De verdelingsfuncties behorende bij f > 1 slui-ten daarom beter aan bij de werkelijkheid. Toch zullen we de verdelingsfunctie, bij f = 1 voorlopig als grondslag aanvaarden voor verdere beschouwingen omdat daarbij de berekeningen veel overzichtelijker blijven en bovendien zal blijken dat de gedaante van de verde-lingsfunctie van de bedieningstijd meestal slechts zeer weinig invloed uitoefent op de productie of de wachttijden, mits de gemiddelde waarde t, maar overeen-stemt met de gemeten waarde.

2, De gemiddelde wachttijd bij een bedieningstijd met exponentiële verdelingsfunctie.

Volledigheidshalve volgen eerst nog de ver-onderstellingen, die voor de hier volgende afleiding gelden:

1. De ra machines hebben ieder gelijke kans op storing in gelijke tijds intervallen dt, in het begin waarvan de machine nog

is.

3. De bedieningstijd heeft een gemiddelde waarde t,, terwijl de kans op het eindigen van de bedieningstijd in gelijke intervallen dt steeds even groot is, als de reparatie aan het begin van een dergelijk interval reeds aan de gang is.

De reparatietijd en de looptijd volgen dus dezelfde verdelingswet, alleen de gemiddelde waarden verschillen.

Voorlopig nemen we aan dat de man steeds werkt aan stilstaande machines en dus geen tijd besteed aan de controle van de kwaliteit van de producten van een lopende machine. De invloed van deze contróletijd zal later besproken worden.

Gemiddeld zal per looptijd t één storing

op-treden, zodat de verhouding tussen het tijdselement dt waarin de storing optreedt en de gemiddelde looptijd t , waarin deze storing had kunnen plaats vinden,tevens de constant veronderstelde kans op storing aangeeft van een lopende machine.

Deze kans is dus r— . ^o

Op analoge wijze kan worden afgeleid, dat de kans op het eindigen van een reparatie periode, wanneer de man met de machine bezig is, in een tijdselement dt

gelijk is aan — ^ Deze kans is ook , op elk ogenblik

dat de reparatie aan de gang is, steeds even groot. Evenals in hoofdstuk II duiden we met (0) de toestand aan, waarbij alle m machines lopen. De waar-schijnlijkheid van deze toestand P^.

In het algemeen wordt met(k) de toestand aan-geduid, waarbij (m-k) machines nog lopen, 1 machine

ge-repareerd wordt en (k-1) machines staan te vrachten op bediening.

De kans dat in een bepaald tijdseleraent dt de toestand (O) overgaat in de toestand (1), is P^m £— , omdat de kans op storing voor m machines gelijk aan m

beschouwde tijdstip de toestand (o) moet bestaan.

Üe toestand (1) kan overgaan in de toestand (n), doordat de reparatie aan de machine, waarmee de man bezig is, klaar komt.

De kans hierop is F-, r— .

1 z^

Nu zal de toestand (ü) gemiddeld steeds evenveel voorkomen, want we hebben met een stationnaire toestand te maken.

De overgang van de toestand (O) naar (1) moet dus even waarschijnlijk zijn als van (1) naar (ü). Was dit niet het /reval en was bijv, de eerste overgangs-waarschijnlijkheid groter dan de tweede, dan zou op de duur de toestand (O) minder vaak voorkomen en situatie zich gemiddeld wijzigen, dus niet stationnair zijn.

De gelijkheid van de overgangsv/aarschijnlijk-heden ((j)-*(l) en (1)->(U) geeft als betrekking:

P m ^ =P, ^ of o t^ 1 t^

^1

als ^ = :^ _o

Op dezelfde manier kan men ook beredeneren, dat de kan-sen van de overgang van de toestand (1) naar toestand (2), dus kortweg (l)-»(2) en de overgang (2)->(l) ge-lijk moeten zijn.

Immers de toestand (1) moet gemiddeld even-veel voorkomen, wat symbolisch voorgesteld kan worden door:

[(1)^(2)] 4. [(i)->(o)] = |Ï2)-*(iï| + [(n)-(i)l Daar [(o)->(l)] = [(l)-»(u)] volgt hieruit dat de

over-gangskansen [(l)->(2]] en ]|( 2 )-»• (1 )J ook gelijk moeten

ziin. De kans [(l)->'(2)] is evenredig met P-^ en met

trn-l) 1 ^

o

l.e krijgen dus:

^l(-l) t^ = ^2 ^

O 1

Pg « (m-l)/5P3_

In het algemeen volgt uit het stationnair zijn van de toestand (k) in verband met de voorafgaajide betrekkin-gen:

k»0,l,2 ...(m-1) .

We krijgen zo (ra) betrekkingen tussen de kansen ^0' ^1' ^2 ••••^m •

Daar de som van deze kansen 1 moet zijn, zijn de (m4'l) onbekenden op te lossen.

V/e drukken daartoe P, , Po ...P„ uit in P„ :

X' <c m o

P2 = m(m-l)/pQ

Pm • "'/S^Po

P o * W ••••Pm = ^ eeeft

:

:

P^|l4-m/3 4-m(ra-1 )y3^+m(m-1)(m-2 )^^* , , „.4-mlyi^j = 1 \.e s t e l l e n nu t e r a f k o r t i n g \|f»mA 4-m(m-1 )^4"4>. .4'm!A . . ( 1 9 ) en vinden dan: p - 1 p - lüA P - m(m-l)/y

^o- TTy ' ^ 1 - T+V • 2- l ï xf

e n z .

k!ej/b^

In h e t algemeen i s Pi, = rr ksO ^^

Daar in de toestand (k), die een waarschijn-lijkheid Pj^ heeft, (ra-k) machines lopen, zal het gemid-deld aantal lopende machines a volgen uit de volgende som formule: ,

m-1

a= 21 (ra-k)Pk

m4-ra(ra-l)64-ra(m-l)(m-2)/^4,,,4m!/3'°"-^ _

XT

,„„v

a- S /:

fj^ i/=i ^

^ ( l l ^ ) ••• (20)

Het gemiddeld aantal machines, dat in reparatie is,

wordt:

fa'VP2*P3*---*V " ^ H m j l ) ^ ^ ^ - . » * - " ! ^ , ^ ^^^ (21)

Het gemiddeld aantal wachtende machines c volgt uit:

C'Z.

( k - D P - "(a-1 )/^2m(m-l)(m-2)ƒS^•^..i(m-l)mj/a"

De teller van deze breuk kan als volgt herleid worden:

m(m-l )/3^4.2m(m-l )(m-2 )^3+3ra(m-l) (m-2 )(m-3 )^^+. .+(m-l

)m!y3"'-•/ra( m-1 )/ï^+m( m-1) (m-2 );33+... +m

IAH

4-^/m( m-1) (ra-2 )/>?*.., *my3™j 4- . . .4-rays" Met behulp van (19) vinden we h i e r v o o r :

J y - n ^ ' l +[v^-/ra.ya4.m(m-1 )/3^ 4.|vr-|m/Wm(m-1 )y3^4-ra(m-1)(m-2)/i^\k

+ 4-m!y3'" «I

• (m-1 )r-rm( m-1 )/54.m( m-1) (m-2 ) ^ ^ 4 . . . . , 4.m I/S""^] =

=(m-l)f-['|" -mj=(mil- ^)f4m

(m-1- T)nni

Hiermee wordt c = l/vf ^ ^^ ^

Ter v e r i f i c a t i e van de Juistheid van de

formules (20) , (21) en (22) kan gelden dat o p t e l l i n g e r

van de betrekking a4b4c=m geeft,Uit de reeds in hoofd

-stuk I I afgeleide, algemeen geldige betrekking (7) volgt:

a - b _ c

dus f = 1 = Ja^+(m-l)/3-l (23)

Volledigheidshalve zullen we laten zien,dat

-de formules van Kronig ook tot dit resultaat voeren. Kronig stelt de gemiddelde looptijd t = 1, waazxloor d« gemiddelde reparatietijd t-j^ =/3 wordt,

Verder worden de coëfficiënten A. gedefinieerd door de formule:

r

-*^* 1 -t/t,

Aj^-y e p(t)dt Volgens (17) is p{t)= |- e ^

-(k+ i-)t

dus wordt Aj^ = y 1- e ^ dt= j

'Ik'

^ ^

.(24)

en -lj^ = kti

m-2 m-2

De grootheid KsC^ AgA^,, ,AJJ|_TL4.C.|^ (1-A3^)A2A, .,,A^J_J^4.

m-2

+C2 (1-A3^)(1-A2)A^A5...A„_3^+

+cIl3{l-Ai)(l-A2)...(l-A„,3)A„..l+

*C2(^-*1^^^'^2) •••(!-V2)

kan nu uitgedrukt worden in :

J = A,A2A3 ' " ^ - l "^^ behulp van (24) :

m-2 ^ m-2 l-A^^ ^ m-2 l-A^^ l-Ag ^

m-2 l^A,

1-k l-k

-in T ±. ~. m-<6

*" '^ *1 *2 V r -^m-l

= j[c™-2(l*t3^)+cJ-2t3^(U2t;L5*'^2"\-2ti(l+3ti)+,,.+

*^ml3 ti,2ti.3t3_,,.(m-3)t3_j'l4-(ra-2)tJ4.

4-CjJ"2t3_,2t3_,3t3^,,,(m-2)t-^ [l4-(m-l)t3_l1

K=j[c^-^+(C^-24.cJ-^)t3^+2!( 0^-24.05-2 It^ +

* 3 ! (0^*^+0^-2 )tJ+.,,4.(m-3)!(C^:2+C^:2)t5;-3 +

+(m-2)! (C»:^ .

C 2 ) H " ' " ' * ( - 1 ) ' C 2

^r']

NU is k;(c;;:24c-2)=,;|^jm-2);^_^^^^, ^,.[l:lll),\

'i^B)l{^è^

*l}= {SEife =(m-l)(m-2)„,(m.k)

Hiermee wordt:

K=J ri4.(m-l )t3^+(m-l) (m-2 )ti,. ,4 (m-1) (m-2),, .2t5|-2

4-4-(m-1)! t°--^J of

K=J jji- als yj^5mt3_4-m(m-l)t24-,,.mlt°

De gemiddelde wachttijd wordt:

T = i 4-(m-l)t]^-l = Y ^ 4.(m-l)t3_-l

Dit resultaat is identiek met (23),omdat t-j^ hier

ge-lijk aan A is en y , dus gege-lijk aan y ,

-De gemaakte veronderstellingen van constante kans op storing bij een lopende machine en een constante kans op het einde van een bedieningsperiode maken het moge-lijk ook de verdelingswet van de wachttijden na te gaan.

Wanneer we alle looptijden aan elkaar gescha-keld denken, dus de stilstandtijden weglaten, dan zul-len de storingen, die dan de scheiding vormen tussen de opeenvolgende loopperioden, volkomen willekeurig ver-deeld langs de tijdas liggen, met dien verstande dat de gemiddelde afstand tussen twee opeenvolgende storin-gen een zekere waarde t^ heeft,Een dergelijke verdeling van punten op de tijdas is bekend als de verdeling van Poisson, waarbij de kans p(x) op de storingen in tijds-interval 0 (waarbij dus alleen de tijd geteld wordt dat de machine loopt!) gegeven wordt door de formule :

p(x) = -TI- e , waarin E = f^ het verwachte aantal storingen is in de tijd v.

Een zelfde redenering kan worden toegepast op de aaneengeschakelde bedieningsperioden. Bij enkel-voudige bediening van een machine (dus zonder wacht-tijden) wordt iedere looptijd afgewisseld door een bedieningstijd, waarbij iedere toestand ( dus toestand van lopen of stilstaan) zijn eigen verdelingswet volgt,

In geval van meervoudige bediening, dus een man met m machines, worden hier nu nog de wachttijden

tussen geschakeld, d,w,z, dat soms na een loopperiode eerst een wachttijd volgt,

De wachtperiode kan, onafhankelijk van het aantal wachtende machines op moment van storing, nog iedere waarde aannemen en heeft alleen een bepaalde ge-middelde waarde,

Dit houdt in dat de wachttijden van een ma-chine onderling ook een Poissonverdeling bezitten met de gemiddelde waarde T .

Beschouwen we echter alleen de wachttijden, die ontstaan op momenten, waarbij bijv. (f-1) machines reeds wachten, dan zullen deze een verdeling hebben van het type volgens formule (18),

Immers dan moeten eerst f gebeurtenissen (n,l,het gereed komen van f machines) plaats vinden,die gelijke waarschijnlijkheid hebben, voordat het einde van de betreffende wachttijd is bereikt,

3. De productie van de groep machines:

De effectieve productie van ra machines, die door één man bediend worden, is evenredig met het ge -middelde aantal lopende machines a.

V/e stellen de productie van één machine, die zonder onderbreking loopt gelijk aan n productie een-heden per tijdseenheid.

Bij machines, die één productie eenheid ma -ken per omwenteling van de hoofdas,is n gelijk aan het toerental van de machine.

Voorts wordt q gedefinieerd als het gemid-deld aantal storingen per eenheid van hoeveelheid van product.

Het product nq is dan het gemiddeld aantal storingen, dat een machine ondergaat per tijdseenheid, als we alleen de tijd meetellen, waarin de machine loopt. Hieruit volgt:

1

nq- -^

o

De productie van de groep machines is n maal het ge-middeld aantal lopende machines, dus gelijk aan:

qt^ qti

q zal in eerste benadering niet veranderen bij veran-dering van het toerental van de machines. Immers het

aantal onderbrekingen zal alleen ddn meer dan

evenre-dig met n toenemen, wanneer door de verhoogde snelheid een meer dan evenredig verhoogde slijtage optreedt of, in het algemeen,de activiteit van de

onderbrekingsoor-zaken meer dan evenredig toeneemt.

Als q en t, in eerste benadering niet veran-deren, bij verandering van het toerental, dan is de totale productie van een groep machines, die door één man wordt bediend, evenredig met het gemiddeld aantal

in behandeling zijnde machines b , dus evenredig met hot loonrendement.

;}° maximale [productie per man wordt bereikt als b = 1 .uSj, dus wanneer de man volledig bezet is en dii maxitvjin bedraagt dan:

1

q t i

Indien q onafhankelijk is van n, is dit maximum onafhan-kelijk van het toerental en onafhanonafhan-kelijk van de grootte van de groep machines m. Met andere woorden : Onder de gestelde voorwaarden is de maximum productie per man steeds constant. Deze maximale productie kan bereikt worden door de man volledig te belasten en dit kan zowel door de productie snelheid van de machines op te voeren als door het aantal machines ra te vergroten.

Volledigheidshalve geven we hier de forraule voor het loonrendement b, in geval h mannen gemeenschap-pelijk werken aan een groep van m identieke machines met een exponentiële verdeling van de bedieningstijd:

h jj^, ^ k m , ^ k

T h ^h

' ^ Tm-tjJ

(1-1)! * 2 1 (m-k)!(h-l)!

7ê=K

.(25, .•aarin h k " k k=u k=h4.1 "

terwijl het machinerenJement r, volgt uit de beken-de formule:

r - ' h h " m/3 *

Voor h = 1 krijgen we de formule b= TT-y- terug.

Als eenvoudig voorbeeld kan bijv. genomen worden: n-/t h=2 en dit geval kan vergeleken worden met m=2 hsl

Wtrz maciinerendement voor het eerste geval wordt:

14-3/3 +3/243/2 Jp

1 1 /3 r - 1- ..

142/3 4.2/3

Voor /3 =0,5 wordt r, ongeveer 5 f» groter dan r, terwijl

voor fii "0,1 het verschil iets minder dan 1 f' bedraagt.

4. De invloed van de contrSle tijd.

Om deze invloed ia rekening te kunnen brengen is het noodzakelijk verschillende veronderstellingen te maken.

iien kan aannemen dat de man het product en de goede werking van de machine controleert als hij onbe-zet is, dus als de toestand (0) heerst, waarin alle ma-chines lopen. In dat geval wordt de gemiddelde wacht tijd niet beïnvloed door de controle werkzaamheden.

Soms wordt echter een zekere controle tijd dwingend voorgeschreven. Dit gebeurt dan om de kv/ali-teit te handhaven, die in gedrang kan komen doordat de grootte van het loon afhankelijk van het aantal gepro-duceerde eenheden wordt gemaakt,

De man wordt dan verondersteld een zeker ge-deelte van zijn tijd aan controle te besteden, dus is in die ti.id werkzaam aan een lopende machine. Dit is in afwijking van het voorgaande, waarbij de man alleen werkzaam aan stilstaande machines, of vrij was.

Eenvoudigheidshalve veronderstellen we nu,dat het, bij iedere toestand (k) waarbij k machines stil-staan, kan gebeuren dat de man bezig is óf met repara-tie - we noemen dit de toestand (k,a) met kans Pj^ ^ öf met controle aan een lopende machine, kans hierop i^ ^k,b •

Daar de toestanden (k,a) en (k,b) gezamenlijk de toestand (k) vormen geldt:

\ - ''k,a'''^k,b

Verder veronderstellen we dat de man een ze-kere fractie i van de totale tijd besteedt aan bedie-ning van stilstaande machines (dus de controle tijd be-draagt dan een voorgeschreven gedeelte (1-i) van de to-tale tijd) on dat de controle tijd gelijk verdeeld is

over de mogelijke toestanden, zodat geldt :

^k a'^^k ®" ^k b-^'^-^'^k ^°°^ ^-^-^^ mogelijke waar-den van k, behalve voor k=0.

In de toestand (0) zal de man n.l. al zijn tijd aan controle kunnen besteden en dus is P = 0 en

o, a P *P

'^o.b o

De afleiding voor de berekening van de kansen P. wordt nu als volgt gewijzigd :

Wanneer de toestand (1) heerst, kan de over-gang naar de toestand (O) alleen plaats vinden als de machine, waaraan gewerkt wordt, klaar komt.

De kans hierop is P. „ ^^ =iP, 7^ 1, a o, 1 v/,

Door storing aan een lopende machine kan vanuit de toe-stand (o) de toetoe-stand (1) ontstaan, de kans hiervoor is

™Po 7^

°

^o

Gelijkstelling van deze beide kansen geeft : mP ^ = iP, p. of m/3P^ r ip

o t 1 t, / o 1 o 1

In het algemeen leidt de gelijkstelling van de overgangskansen van de toestand (k4.1) naar de toestand (k) en omgekeerd van (k) naar (k4.1) tot de vergelijking:

PkU,at7=('"-^)Pk,a§^(-^*l)^k,bt;

De eerste term van het tweede l:Ld stelt voor de kans op storing als de toestand (k,a) heerst, waarbij (m-k) machines lopen, terwijl de tv;eede term de kans op storing geeft wanneer de man controleert en dus (m-k4-1J machines lopen.

Met behulp van d3 betrekking P, = P, a4.P, ,

kunnen we deze vergelijking ook als volgt schrijven:

De eerste terra in het tweede lid van ( 26 ) stelt nu voor de kans op storing wanneer (m-k) machines

lopen in de toestand P^ , terwijl de term (l-i)P, ^

o

weergeeft de kans op storing van de machine welke Juist gecontroleerd wordt.

Deze term zullen we verwaarlozen. De gemaakte fout is kleiner naarmate i dichter tot 1 nadert, d.w.z. de controle tijd relatief klein is,

Hoewel we steeds aangenomen hebben dat de storingskans voor iedere lopende machine steeds even groot is, zal het in de practijk minder waarschijnlijk zijn, dat een juist gereed gekomen raachine direct weer storing geeft. Dit pleit ook voor het weglaten van de term (l-i)Pj^ r— in de vergelijking (26). De man zal immers meestal de goede werking van een raachine contro-leren als deze juist aan de gang is gebracht.

(26) wordt dus vereenvoudigd tot :

i Pj^^, = (ra-k) P^

(27) k=0,l,2 (m-1)

Door in (27) 4- te vervangen door een nieuw symbool /S' krijgen we de vorm van het stel vergelijkin-gen (19) weer terug en verandert er verder aan de af-leiding niets meer.

We duiden nu met a' aan het gemiddeld aantal werkende machines onder de hier gegeven voorwaarden en krijgen dan, analoog aan (20) :

a' = r!/ll^y( ^» )? . waarin y'( /i' ) de waarde van fr voorstelt, die verkregen wordt door in plaats van A de

grootheid y3' =A te substitueren.

Wanneer we '^ '—^— = b' stellen wordt de

to-1+V'( /3») tale productie :

na. = a' ^ = a. 4 - = ^ . 4^'= i - ^ (27) 1

Uit deze uitdrukking blijkt - zoals te verwach-ten is - dat door de controle tijd de productie iets af-neemt, want hoewel b' iets groter is dan b ( b neemt toe bij toename van/3 ), overweegt toch de verminderde invloed van de factor i, welke kleiner dan 1 is.

We kunnen nu verder de accenten weglaten en

ne-men voor de berekening van a en b de in verhouding j

ver-ti

grote waarde van /3 = ^ , terwijl bij de berekening van de totale productie pe? man dan bovendien nog met de fac-tor i vermenigvuldigd moet worden,

Hoofdstuk IV

IIIVLÜBD yAN ÜK V:-,fiDELINGSFUHGTII'] VAN DE BEDIENINGS-TIJD OP HJT FiACHIHERËNDEf^glNT.

In het voorgaande zijn formules gegeven voor de gemiddelde v/achttijd en het machinerendement r voor enige gevallen waarbij de verdelingsfunctie van de bedienings-tijd verschillend^ vormen had,

Aan de hand van enige voorbeelden zullen we nu de orde van grootte nagaan van de verschillen in machine-rendement voor deze gevallen, waarbij de gemiddelde waar-de van waar-de bedieningstijd, uitgedrukt in waar-de gemidwaar-delwaar-de looptijd als tijdseenheid, dezelfde is voor de beschouwde gevallen. Kortheidshalve zullen we het geval, waarbij we de exponentiële verdelingsformule (17) voor de bedie-ningstijd geldt, aanduiden als het exponentiële geval.

We vergelijken nu eerst het geval van constante bedieningstijd met het exponentiële geval,

Het machinerendement r bij constante bedie-ningstijd kan berekend worden uit de vergelijking ( 9 ) , waarbij de gemiddelde wachttijd T v o l g t uit de formule van Kronig (12 ):

V t = ^ + (m-l)/i-l

Uit de in hoofdstuk II gegeven uitdrukkingen voor J en K kan de volgende betrekking, welke zich over-zichtelijk laat berekenen worden afgeleid :

K , pm-2 1 , pm-2 •'"-^l 1 . . .m-2 ^-^1 ^-^2 1 , , * ^2 -T^ • -T^ • -^ * * ,m-2 1-^1 I-A2 l-An,-3 J^ , 1

^'"-3

h ' h '"

V 3 * V 2

4- G

m-2 ^ 1

1:;^. ^-^a-2 _±_

m-2 ^1 • A2 ••• A„.2 • A„_i

44

-Bij de berekening kan iedere term uit de voor-gaande berekend worden door vermenigvuldiging met enige factoren, welke direct uit de hier gegeven formule vol-gen. De berekening van de getallen voorbeelden is uitge-voerd met een rekenlineaal en een tabel vain e - machten.

Ter vergelijking is het rendement r voor enige gevallen ook berekend met de benaderingsformule (13) r^+m/Srsl.

Deze formule kan afgeleid worden zonder enige veronderstelling te doen omtrent de verdelingsfunctie van de bedieningstijd. Zij drukt alleen uit dat de som van de kansen op niet-werken van de man (r ) en op wer-ken (b=m/3r) gelijk moet zijn aan 1,

Indien in (13) de term m ^ r benaderd wordt

1 '^

door ra/3 j Y ^ , waarbij dus de wachttijd T' in de

uitdruk-king voor r= 1i/fl i 7< wordt verwaarloosd, wordt de o

betrekking r'^^ v A ; - 1 verkregen, waaruit als

benade-ring voor het machinerendement wordt gevonden : 1

r=(l-ï^)"^ (29)

Deze forraule is bruikbaar als m ^ £ l .

Het machinerendement in het ex]X)nentiële ge-val , dat we ter onderscheiding met r aanduiden, is berekend met de formules (8) en (21), welke samen her-leid kunnen worden tot :

-s= m^TTrT <^°'

In de hier volgende tabel zijn de resultatein- van de be-rekening samengevat :

MCHINEaENDEMENT. m/S 3 1 , 8 1 . 5 1 1 1 1 1 1 1 0,& 0 , ^ 0 , 6 0 , 5 0 , 5 0 , 5 0 , 3 0 , 2

1 ^

1 0 6 15 1 0 0 50 3 0 20 1 0 5 2 1 0 6 2 3 0 6 5 3 2

P>

0 , 3 0 , 3 0 , 1 0 , 0 1 0,02 i 0,05 0 , 1 0 , 2 0 , 5 0,08 0 , 1 0 , 3 1

m

₁ 0 , 1 0 , 1 0 , 1 1 EXPONEN-TIELE GEVAL 0 , 3 3 2 5 0 , 5 1 5 0 , 6 4 2 0 , 9 2 4 0 , 8 9 5 0 , 8 8 3 0 , 8 4 1 0 , 7 8 5 0 , 7 1 5 0 , 6 0 0 0 , 8 4 8 0 , 8 5 8 0 , 7 3 1 0 , 9 8 0 , 8 8 8 0 , 8 7 2 0 , 8 9 3 1 0 , 9 0 2 GONST, BEDIE-NINGS T I J D . 0 , 3 3 3 0 , 5 3 9 0 , 6 6 0 0 , 8 7 3 0 , 8 2 1 0 , 7 5 0 0 , 6 2 3 0 , 8 7 6 0 , 6 2 2 0 , 7 4 6 0 , 9 0 3 0 , 8 8 8 0 , 9 0 0 4 0 , 9 0 5 BENADERD 1 MET ( 1 3 i r'"4.m;Jr=l 0 , 3 3 3 0 , 5 4 1 0 , 6 6 6 3 0 , 9 6 7 0 , 9 4 4 0 , 9 1 8 0 , 8 9 3 0 , 8 3 4 0 , 7 5 5 0 , 6 1 8 0 , 8 8 4 0 , 8 8 3 0 , 7 4 5 0 , 9 7 8 0 , 9 0 4 5 0 , 8 8 9 0 , 9 0 1 6 0 , 9 0 5 BENADERD I1ET ( 2 9 ) -0 , 9 5 5 0 , 9 2 4 0 , 8 9 2 0 , 8 5 9 0 , 7 8 7 0 , 6 9 9 0 , 5 7 8 0 , 8 7 4 0 , 8 7 7 0 , 7 3 5 I 0 , 9 7 8 0 , 9 0 2 0 , 8 8 6 0 , 8 9 3

1 0,904

46

-Uit de tabel blijkt dat als het loonrendement b dicht tot 1 nadert, de verdeling van de bedieningstijd geen invloed meer uitoefent. Dit volgt ook uit de betrek-king r« — welke nadert tot — als b-».l,

De machinerendementen zijn in het exponentiële geval iets lager, tot maximaal ongeveer 5 ^5, dan bij het geval van de constante bedieningstijd.

Het verschil tussen de waarden van r volgens de vergelijkingen (13) en (29) is van dezelfde orde van grootte als het verschil veroorzaakt door verandering van constante bedieningstijd in exponentieel verdeelde bedie-ningstijd.

De waarde van r volgens (29) ligt dichter bij de uitkomst van de exponentiële verdeling,terwijl de ver-gelijking (13 ) een rendement geeft dat het geval van con-stante bedieningstijd meer benadert.

De exacte berekening van het exponentiële geval maakt de hiermee berekende r - waarde niet meer betrouw-baar, omdat deze exactheid alleen geldt bij de exponen-tiële verdeling van de bedieningstijd, aan welke voor-waarde in werkelijkheid nooit geheel en soms zelfs niet bij benadering wordt voldaan.

Wanneer voldoende gegevens over de vorm van de verdelings curve van de bedieningstijd ontbreken is het verantwoord om met de benaderingsformules (13) of (29) te rekenen. De waarde van r is uit (29) gemakkelijk te vinden met behulp van een logarithmetafel,

Ook de oplossing voor het geval, waarbij meer dan één arbeider de groep machines bedient, kan bij bena-dering gevonden vrorden zonder een veronderstelde exponen-tiële verdeling van de bedieningstijd.

De redenering, welke leidde tot de formule (13) als benadering van het machinerendement voor het geval één man m machines bedient, kan worden uitgebreid voor geval h arbeiders m machines gezamenlijk bedienen.De uit-komsten blijken ook in het algemene geval maar weinig af te wijken van de resultaten die gelden voor het exponen-tiele geval.