Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad

Enkele didactische wenken voor

wiskundeonderwijs in de derde graad

Koen De Naeghel

Onze-Lieve-Vrouwecollege Brugge

woensdag 8 oktober 2014 Eekhoutcentrum, DPB Brugge

Deze nascholing. . .

gaat over didactiek van de wiskunde:

Vanuit eigen ervaring in de derde graad SO delen we een visie op didactiek en

geven we enkele didactische wenken.

NIET: zo moet het

WEL: zo kan het (misschien) ook HOOP: inspiratie

Wie zijn jullie?

Stel jezelf even kort even voor: wie ben je

school

ASO/TKO/KSO/BSO graden/richtingen

opleiding

aantal jaren leservaring zij-instromer

Inhoud

1 Basisbegrippen in verband met functies 2 Homografische functies

3 Inverse functies, van exp. naar logaritmische functies 4 Toepassingen op matrices

5 Verloop van veeltermfuncties met afgeleiden 6 Extremumproblemen

Doelstelling

Uitleggen van leerstofonderdelen

functie matrix afgeleide

logaritme rijen kanswetten

afstand punt vlak integraal asymptoten

Wat: zie leerplan

Wa:t zie wiskundige juistheid Wat: zie conventies

Wat: zie folklore

Hoe: zie ?

Waarom: zie ?

Keuzes maken met in het achterhoofd: Hoe leg ik het zo goed mogelijk uit?

De opbouw van de les

Hoe leg ik het zo goed mogelijk uit?

Vroeger: start met de definitie en eigenschappen

Vroeger: daarna de voorbeelden

Tegenwoordig: start met de voorbeelden

Trend: vanuit een verkenning de definitie, eigenschappen,

Trend: werkwijzen etc. logisch maken

De opbouw van de les

http://vimeo.com/48768091

What is teaching?

(1) Teaching is giving opportunity to the students to discover things by themselves.

(2) First guess, then prove.

Type oefeningen oplossen

Gebruik een recept

Vb. Vraag Bepaal de nulpunten van f (x)

Recept Los op: f (x) = 0

Vb. _{Vraag Vergelijking van raaklijn t in P(a, ·) aan grafiek f .}

Recept De vergelijking is t : y − f (a) = f0_{(a)(x − a)}

Stap 1: bereken f0_(x)

Stap 2: bereken f0_(a)

Stap 3: vul alles in

Formules toepassen

Lettervrees? Zoek alternatieven

Vb. 3log 9 = ?

Regel: a_{log y = x ⇔ y = a}x

Kan ook zo: 3_{log 9 = • want 9 = 3}•

Vb. sin(7x2 _{− 2)}
0 = ?

Regel: (f (g(x)))0 = f0(g(x)) · g0(x) Kan ook zo: (sin_)0 = cos() ·  0

Formules onthouden

Link de leerstof met positieve emoties

Vb. f (x) = ax2 + bx + c

Vorm van de parabool? lachen/wenen

Vb. _{sin(−α) = − sin α} sinus is braaf

cos(−α) = cos α cosinus is stout

Vb. sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sinus is sociaal cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β cosinus is asociaal

Vb. 7−3 ₌ 1

73 in de kelder

Enthousiasmeren

Top drie:

(1) Zorg dat de leerlingen je vertrouwen

(2) Laat leerlingen succeservaringen beleven

(3) Verkoop je vak:

Vertel over wiskunde Vb. Laatst zat ik met acht collega’s aan tafel.

Om het hoofdgerecht te serveren werden de borden van tafel gehaald en nadien terug op tafel geplaatst.

Wat was de kans dat niemand z’n eigen bord terug kreeg? 36, 78 . . . % → 1_e

Enthousiasmeren

Top drie:

(1) Zorg dat de leerlingen je vertrouwen

(2) Laat leerlingen succeservaringen beleven

(3) Verkoop je vak:

Vertel over wiskunde

Vb. 2007 was warmste jaar sinds begin van metingen (1833) Klimaatsverandering volgens de wiskunde?

vergelijk aantal keer warmterecord sinds 1833: verwachtingswaarde

| {z } ↔ effectief aantal| {z }

Enthousiasmeren

Top drie:

(1) Zorg dat de leerlingen je vertrouwen

(2) Laat leerlingen succeservaringen beleven

(3) Verkoop je vak:

Vertel over wiskunde

Vb. De kans om lotto te winnen is 1/C₄₅6 = 1/8 145 060 Zoek een vergelijkbaar kansspel.

Werpen van 2 dobbelstenen, kans beiden zes is . . . Werpen van 3 dobbelstenen, kans allen zes is . . . Werpen van n dobbelstenen, kans allen zes is . . .

Werpen van ? dobbelstenen, kans allen zes is (ongeveer) kans op lotto winnen

Enthousiasmeren

Top drie:

(1) Zorg dat de leerlingen je vertrouwen

(2) Laat leerlingen succeservaringen beleven

(3) Verkoop je vak:

Vertel over wiskunde

Vb. De kans om lotto te winnen is 1/C₄₅6 = 1/8 145 060. Is de kans op winnen dan echt zo klein?

Hoe lang duurt een miljoen seconden . . . 12 dagen

Kans op lotto winnen ∼ één seconde uit . . . 3 maanden

Vb. Hoe lang duurt een miljard seconden . . . 32 jaar

13 miljard euro ∼ elke seconde een euro . . . sinds 1601 besparen

Aan de slag

Vorm groepjes van drie

Kies uit de onderwerpen vanuit de interesse Hoe leg je het uit?

(1) opdracht - werkbundels - discussie kleine groep

(2) verslag uitbrengen - bespreking in de ganse groep Voor de pauze

1 Basisbegrippen in verband met functies

2 Homografische functies

3 Inverse functies, van exp. naar logaritmische functies

Aan de slag

Vorm groepjes van drie

Kies uit de onderwerpen vanuit de interesse Hoe leg je het uit?

(1) opdracht - werkbundels - discussie kleine groep

(2) verslag uitbrengen - bespreking in de ganse groep Na de pauze

4 Toepassingen op matrices

5 Verloop van veeltermfuncties met afgeleiden

6 Extremumproblemen

1 Basisbegrippen in verband met functies

B-58

(1) Wat is een functie?

Wenk 1 Herhaal wat ze al gezien hebben

Wenk 2 Eerst de voorbeelden, daarna algemeen Wenk 3 Maak het visueel

Vb. Met elk getal x associëren we een ander getal y via

y = 2x − 1

Dit is een systeem f waarbij elke input x een output y heeft:

1 Basisbegrippen in verband met functies

B-58

(2) Basisbegrippen in verband met functies?

Wenk 4 Laat de leerlingen zelf ontdekken Wenk 5 Wat is echt belangrijk?

functievoorschift, tabel, grafiek domein

nulwaarden, tekentabel

Wenk 6 Een beeld zegt meer dan duizend woorden:

y x O dom f y = f (x) y x O y = f (x)

2 Homografische functies

B-64

(1) Wat is een homografische functie?

Wenk 1 Vertrek vanuit de vorm van de grafiek

Soms neemt de grafiek van een functie de vorm van een zogenaamde hyperbool aan:

Eerste vorm _of Tweede vorm

Zo’n functies hebben dus allen een ‘gelijke

2 Homografische functies

B-64

(1) Wat is een homografische functie?

Wenk 2 Stel een kernvraag

Wat is het voorschrift f (x) van een homografische functie?

Wenk 3 Laat de leerlingen eerst zelf ontdekken

Vb. f (x) = 1 x , 2x − 1x , 3x + 1 2x − 2, −x + 12 , 6x + 12 2x + 4

Wenk 4 Daarna het antwoord op de kernvraag (definitie)

f (x) = ax + b

2 Homografische functies

B-64

(2) Basisoefeningen in verband met homografische functies?

Wenk 5 Maak modelvoorbeelden samen

Wenk 6 Maak voor elk type een stappenplan

Gegeven: f (x)

Gevraagd: (a) Toon aan homografische functie (b) Bepaal de asymptoten

(c) Schets de grafiek zonder GRM Gegeven: Grafiek

Gevraagd: Bepaal f (x)

3 Inverse functies, van exp. naar log. functies

B-72

(1) Hoe inverse functies aanbrengen?

Wenk 1 Ga op ontdekking met een voorbeeld

Wenk 2 Uitgangspunt: wat kunnen de leerlingen al?

Vb. f (x) = 2x + 1 g(y) = 1_{2 y −} 1₂

x −2 −1 0 1 2

3 Inverse functies, van exp. naar log. functies

B-72

(1) Hoe inverse functies aanbrengen?

Wenk 1 Ga op ontdekking met een voorbeeld

Wenk 2 Uitgangspunt: wat kunnen de leerlingen al?

Vb. f (x) = 2x + 1 g(y) = 1_{2 y −} 1₂ x −2 −1 0 1 2 f (x) −3 −1 1 3 5 y −3 −1 1 3 5 g(y) −2 −1 0 1 2 f (2) = 5 en 2 = g(5) als f (3) = _· dan 3 = g(_·) als f (x) = y dan x = g(y) f (x) = y _{⇔ x = g(}y)

3 Inverse functies, van exp. naar log. functies

B-72

(2) Hoe logaritmische functies aanbrengen?

Wenk 3 Gebruik inverse functies

Vb. f (x) = 2x g(y) = 2 log y

x _{−1 0 1 2 3}

f (x) 1/2 1 2 4 8

y 1/2 1 2 4 8 g(y) −1 0 1 2 3

3 Inverse functies, van exp. naar log. functies

B-72

(2) Hoe logaritmische functies aanbrengen?

Wenk 3 Gebruik inverse functies

Vb. f (x) = 2x g(y) = 2 log y x _{−1 0 1 2 3} f (x) 1/2 1 2 4 8 y 1/2 1 2 4 8 g(y) −1 0 1 2 3 f (x) = y _{⇔ x = g(}y) 2x = y _{⇔ x =} 2 log y

4 Toepassingen op matrices

B-82

(1) Hoe een migratiematrix opstellen?

Wenk 1 Werk volgens een stappenplan

Vb. In een stad wonen 60 000 mensen, op platteland wonen

40 000 mensen.

Vraag Aantal mensen in stad en platteland na 5 jaar?

4 Toepassingen op matrices

B-82

(1) Hoe een migratiematrix opstellen?

Wenk 1 Werk volgens een stappenplan

Vb. In een stad wonen 60 000 mensen, op platteland wonen

40 000 mensen.

Stap 1 Start met een voorbeeld

aantal stad

na één jaar: 0, 95_| · 60 000_{{z }}

aandeel van stad

+ 0, 03 _{· 40 000}

| {z }

aandeel van platteland

4 Toepassingen op matrices

B-82

(1) Hoe een migratiematrix opstellen?

Wenk 1 Werk volgens een stappenplan

Vb. In een stad wonen 60 000 mensen, op platteland wonen

40 000 mensen.

Stap 1 Start met een voorbeeld

aantal stad

na één jaar: 0, 95_| · 60 000_{{z }}

aandeel van stad

+ 0, 03 _{· 40 000}

| {z }

aandeel van platteland

= 58 200

Stap 2 Herken hierin een matrixvermenigvuldiging

aantal stad na één jaar:  0, 95 0, 03 _·  60 000 40 000  = 58 200

Stap 3 Voeg de rijen in matrix P en kolommen in matrix Q

 0, 95 0, 03 0, 05 0, 97  | {z } P ·  60 000 40 000  | {z } Q =  58 200 41 800 

4 Toepassingen op matrices

B-82

(1) Hoe een migratiematrix opstellen?

Wenk 1 Werk volgens een stappenplan

Vb. In een stad wonen 60 000 mensen, op platteland wonen

40 000 mensen.

Achteraf Tabel procentuele aandelen

. stad platteland stad 0, 95 0, 03 matrix P =  0, 95 0, 03 0, 05 0, 97 

5 Verloop van veeltermfuncties met afgeleiden

B-90

(1) Verband tussen een functie en haar eerste afgeleide?

Wenk 1 Ga met de leerlingen op ontdekking

Wenk 2 Uitgangspunt: wat kunnen de leerlingen al?

Functie f (x) = x2 1 2 3 −1 1 2 −1 −2 x y f (x) = x2

Tabel stijgen/dalen van f

x 0 Afgeleide functie f0_{(x) = 2x} 1 2 3 −1 1 2 −1 −2 x y f0(x) = 2x Tekentabel van f0 x 0 f0 _{x) − 0 +}

5 Verloop van veeltermfuncties met afgeleiden

B-90

(2) Hoe pak je een modelvraag aan?

Wenk 4 Maak een recept

Gegeven: f (x)

Gevraagd: Bepaal algebraïsch tabel stijgen/dalen van f

Recept: Maak de tekentabel van f0

Stap 1 f0_{(x) = . . .}

Stap 2 Nulwaarden f0_{: Los op f}0_{(x) = 0}

6 Extremumproblemen

B-94

(1) Hoe breng je de techniek aan?

Wenk 1 Start met een visueel voorbeeld

Wenk 2 Overtuig hen dat er een optimale situatie bestaat!

6 Extremumproblemen

B-94

(2) Hoe maak je de oefeningen?

Wenk 3 Giet de oplossing in een stappenplan

Stap 1 Stel de goede vraag

Voor welke . . . is . . . ._{| {z }}

functie

maximaal/minimaal?

Stap 2 Zoek het functievoorschrift

Dus functie_{| {z }}

f (x)

= inhoud van de doos_{| {z }}

...

Stap 3 Stel de nieuwe vraag

7 Telproblemen zonder herhaling

B-98

Hoe breng je variaties, permutaties en combinaties zonder herhaling aan?

Wenk 1 Motiveer de leerlingen

Wenk 2 Ga met de leerlingen op ontdekking Wenk 3 Neem voorbeelden uit hun leefwereld Wenk 4 Maak het visueel

7 Telproblemen zonder herhaling

B-98

(1) Hoe breng je variaties aan? V_np = n!

(n − p)! Vb. Loopwedstrijd met de klas, hoeveel mog. voor podium?

23 leerlingen _{1ste 2de 3de}

Joke Karen Piet

Leonard Ann Joke

.. . • Joke • Karen .. . ˙˙ ˙ V₂₃3 = 23_{· 22 · 21 = 10626 mogelijkheden} = 23· 22 · 21 · 20 · 19 . . . · 2 · 1 20_{· 19 . . . · 2 · 1} = 23! 20! = 23! (23 _{− 3)!}

7 Telproblemen zonder herhaling

B-98

(2) Hoe breng je permutaties aan? Pn = n!

Vb. Loopwedstrijd met de klas, hoeveel mog. voor tot. uitslag?

23 leerlingen

1ste 2de . . . 23ste

Hans Eva . . . Joke

• Joke • Karen .. . ˙˙ ˙ P23 = 23· 22 · 21 · . . . · 2 · 1 = 23! = 2, 58 . . . · 1022 mogelijkheden = V₂₃23 = 23! (23_{− 23)!} = 23! 0! = 23! daarom stellen we 0! = 1

7 Telproblemen zonder herhaling

B-98

(3) Hoe breng je combinaties aan? C_np = n!

p!(n − p)! Vb. Loopwedstrijd met de klas, de eerste drie leerlingen

vormen een selectieploeg voor het schoolkamioenschap. Hoeveel mog. voor de selectieploeg?

23 leerlingen

˙˙ ˙

C₂₃3

3 leerlingen

1ste 2de 3de

Joke Karen Piet

• Joke • Karen • Piet ˙˙˙ P3 | {z } V₂₃3 dus C₂₃3 _{· P}3 = V233 ⇒ C233 = V₂₃3 P3 = 23! (23_−3)! 3!

Aandacht besteden aan didactiek?

Ja, maar

in evenwicht met de overdracht van kennis,

bewaak de kwaliteit van het wiskundeonderwijs, ASO: in functie van het hoger onderwijs,

recept, stappenplan, ezelsbruggetje,. . .

geen overdaad

in functie van je doelstelllingen

ook testen of ze nog weten wat ze doen

Tot slot

Over theater zegt men:

Of je publiek iets begrijpt van wat je vertelt. . .

. . . hangt af van hoe je het vertelt. Met wiskundeonderwijs is dat net hetzelfde.