Rozkłady prawdopodobieństwa.
Rozkłady dyskretne i ciągłe.
W przypadku rozkładu dyskretnego określamy wartości
prawdopodobieństwa dla przeliczalnej (skończonej lub nieskończonej) liczby wartości zmiennej losowej.
Np.
n
x
x
x
1,
2,...
– wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej)
(
),...
(
),
(
x
1P
x
2P
x
nP
– prawdopodobieństwa, z którymi zmienna losowaprzyjmuje kolejne wartości.
Z definicji prawdopodobieństwa wynika, że
1
)
(
1=
∑
= n i ix
P
Wartość średnia (oczekiwana) zmiennej losowej
i n i i
x
x
P
⋅
=
∑
=1)
(
µ
Mediana zmiennej losowej
2 1 2 / 1 2 / 1
)
(
)
(
x
<
µ
=
P
x
≥
µ
=
P
Moda (wartość modalna) zmiennej losowej
)
(
)
(
µ
max≥
P
x
≠
µ
maxP
Wariancja zmiennej losowej
2 2 2 2
)
(
)
(
)
(
µ
µ
σ
=
∑
P
x
i⋅
x
i−
=
∑
P
x
i⋅
x
i−
Dyspersja zmiennej losowej
∑
⋅
−
=
2)
(
)
(
µ
σ
P
x
ix
iW przypadku rozkładu ciągłego zbiór wartości zmiennej losowej pokrywa się ze zbiorem liczb rzeczywistych.
Zamiast rozkładu prawdopodobieństwa wprowadza się rozkład gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej.
1
)
(
}
{
)
(
=
⋅
∈
∫
∞ = −∞ = x xdx
x
p
R
x
x
p
x
x
p
x
x
x
x
P
dx
x
p
b
x
a
P
b x a xδ
δ
≅
⋅
+
<
<
⋅
=
<
<
∫
= =)
(
)
(
)
(
)
(
0 0∫
⋅
⋅
=
p
(
x
)
x
dx
µ
2 2 2 2)
(
)
(
)
(
µ
µ
σ
=
∫
p
x
⋅
x
−
⋅
dx
=
∫
p
x
⋅
x
⋅
dx
−
Rozkład równomierny dyskretny 6 1
)
},
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
{
=
=
∈
P(x
p
x
i5
,
3
6
21
)
6
5
4
3
2
1
(
)
(
6 1=
=
+
+
+
+
+
=
⋅
=
∑
=p
x
x
P
i i iµ
4
2 / 1=
µ
...
7078
,
1
)
6
(
916
,
2
6
5
,
17
)
5
,
3
(
6
1
)
(
6 1 2 6 1 2 2=
=
=
−
⋅
=
−
⋅
=
∑
∑
= =σ
µ
σ
i i i ix
x
p
...
7078
,
1
)
6
(
916
,
2
5
,
3
2=
=
=
σ
σ
µ
Rozkład równomierny ciągły
∈
−
∉
=
b
a
x
a
b
b
a
x
x
p
,
,
1
,
,
0
)
(
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 412
)
(
12
2
12
)
(
3
)
(
4
4
)
(
3
)
)(
(
1
4
)
(
3
1
3
1
1
2
)
(
2
)
(
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2a
b
a
ab
b
b
a
a
ab
b
b
a
a
ab
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
x
a
b
dx
x
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
x
dx
a
b
x
b a b a b a b a−
=
+
−
=
+
−
+
+
=
+
−
+
+
−
⋅
−
=
+
−
−
⋅
−
=
−
⋅
−
=
−
⋅
−
=
+
=
−
−
=
−
=
⋅
−
=
∫
∫
µ
µ
σ
µ
6
0
=
=
b
a
...
7320
,
1
3
3
2
3
12
)
(
3
2
2 2=
=
−
=
=
−
=
=
+
=
a
b
a
b
b
a
σ
σ
µ
Rozkład trójkątny
(
∈
−
−
∈
+
−
∉
=
2 2 2 2,
0
,
2
1
2
0
,
,
2
1
2
,
,
0
)
(
a a a ax
x
a
a
x
x
a
a
x
x
p
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Ze względu na symetrięµ
=
0
∫
∫
∫
+
=
=
− 2 / 0 2 2 2 / 0 2 2 0 2 / 2 1 2)
(
2
)
(
)
(
a a adx
x
x
p
dx
x
x
p
dx
x
x
p
σ
6
2
24
2 2a
a
=
=
σ
σ
dlaa
=
6
...
2247
,
1
5
,
1
2=
=
σ
σ
Rozkład dwumianowy
Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi p, a porażki q = 1 – p.
Liczba sukcesów x w serii n prób jest liczbą losową o rozkładzie dwumianowym. x n x x n x
p
p
x
n
x
n
q
p
x
n
p
n
x
P
−−
−−
=
=
(
1
)
)!
(
!
!
)
,
;
(
Na podstawie tożsamości∑
= −
=
+
n x x n x nq
p
x
n
q
p
0)
(
można natychmiast wykazać, że wartości prawdopodobieństwa są unormowane, to znaczy
1
)
,
;
(
0=
∑
= n xp
n
x
P
np
p
p
x
n
x
n
x
n x x n x=
−
−
=
∑
= − 0)
1
(
)!
(
!
!
µ
)
1
(
)
1
(
)!
(
!
!
)
(
0 2 2p
np
p
p
x
n
x
n
x
n x x n x=
−
−
−
−
=
∑
= −µ
σ
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 p = 0,5; n = 10 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 p = 0,1; n = 50
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona jest granicznym przypadkiem rozkładu dwumianowego przy spełnieniu warunków
∞
→
n
,p
→
0
,µ
=
np
=
const
µµ
µ
− ∞ →→≡
=
e
x
x
P
p
n
x
P
x P D n p(
;
,
)
(
;
)
!
lim
0Wartość średnia wynosi oczywiście
µ
µ
−µ=
∞ =∑
e
x
x
x x 0!
Wariancja rozkładu Poissona jest równa średniejµ
µ
µ
σ
=
∞−
−µ=
=∑
e
x
x
x x 0 2 2!
)
(
Rozkład Poissona 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0 10 20 30 40 50 µ = 5Rozkład Poissona 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0 10 20 30 40 50 µ = 25
Rozkład Poisson’a otrzymujemy bezpośrednio w przypadku tzw. ciągłej rejestracji zdarzeń, jeżeli spełniony jest postulat Poisson’a. Postulat Poisson’a stwierdza, że prawdopodobieństwo pojawienia się kolejnego zdarzenia w przedziale czasu
(
t
,
t
+
dt
)
nie zależy od liczby zdarzeńzarejestrowanych w odstępie
( t
0
,
)
i wynosiµ
⋅
dt
, gdzieµ
jest średniąliczbą zdarzeń na jednostkę czasu.
Niech
P
r(t
)
jest prawdopodobieństwem zarejestrowaniar
zdarzeń wczasie
t
, aµ
jest średnią liczbą zdarzeń jak wyżej. Wtedy)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 0 1 1dt
t
P
dt
t
P
dt
P
t
P
dt
P
t
P
dt
t
P
r r r r r⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
=
+
− −µ
µ
(
P
t
P
t
)
dt
t
P
dt
t
P
r(
+
)
−
r(
)
=
r−1(
)
⋅
µ
−
r(
)
⋅
µ
⋅
stąd)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1t
P
t
P
dt
t
dP
dt
t
P
dt
t
P
r r r r r −⋅
+
⋅
−
=
=
−
+
µ
µ
gdzie z definicji0
1=
− rP
dlar
=
0
. Otrzymujemy zatem)
(
)
(
0 0t
P
dt
t
dP
=
−
⋅
µ
co po rozwiązaniu daje te
t
P
0(
)
=
−µ⋅ Następnie te
t
P
dt
t
dP
=
−
⋅
+
⋅
−µ⋅µ
µ
(
)
)
(
1 1 a po scałkowaniu te
t
t
P
1(
)
=
µ
⋅
⋅
−µ⋅ .Metodą indukcji można udowodnić, że
( )
t n ne
n
t
t
P
=
µ
⋅
⋅
−µ⋅!
)
(
Czyli rozkład identyczny z rozkładem Poisson’a dla średniej liczby zdarzeń (sukcesów)
µ
⋅
t
.Rozkład normalny (Gaussa)
−
−
=
22
1
exp
2
1
)
,
;
(
σ
µ
π
σ
σ
µ
x
x
p
NStandardowy rozkład Gaussa
−
=
22
1
exp
2
1
)
(
z
z
p
Nπ
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5∫
∆ + ∆ −
−
−
=
∆
<
−
x x Ndx
x
x
x
P
µ µσ
µ
π
σ
σ
µ
µ
22
1
exp
2
1
)
,
;
(
Δ
z
P
N(|
z
| < Δ
z
) 1 -
P
Δ
Nz
(|
)
z
| <
0,5 0,382925 0,617075 1,0 0,682689 0,317311 1,5 0,866386 0,133614 2,0 0,954500 0,045500 2,5 0,987581 0,012419 3,0 0,997300 0,002700 3,5 0,999535 0,000465 4,0 0,999937 0,000063Rozkład Lorentza (Cauchy’ego) 2 2
)
2
/
(
)
(
2
/
1
)
,
;
(
Γ
+
−
Γ
=
Γ
µ
π
µ
x
x
p
LWariancja rozkładu Lorentza nie istnieje.
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
354
,
2
,
0
Γ
=
=
µ
Rozkład wykładniczy
Funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa jest określona dla nieujemnego rzeczywistego argumentu:
x
e
x
e
p
(
)
=
λ
−λ dlax
≥
0
,λ
>
0
gdzieλ
jest parametrem rozkładu.Wartość średnia tego rozkładu wynosi
λ
λ
λ
λ
λ
λ
µ
λ1
1
λ1
λ1
0 0 0=
+
=
+
−
=
=
∞ − ∞ − ∞ −∫
x x xe
x
e
x
dx
xe
a wariancja 2 0 2 21
1
λ
λ
λ
σ
λ=
−
=
∫
∞ −dx
e
x
xPrzykład dla zmiennej dyskretnej (rozkład geometryczny)
n – liczba rzutów kostką do wyrzucenia sześciu oczek
szukamy
P
g(n
)
prawdopodobieństwa wyrzucenia sześciu oczek w n-tymrzucie
n
=
1
,
2
,
3
,...
6
1
)
1
(
=
gP
,6
1
6
5
)
2
(
=
⋅
gP
,6
1
6
5
)
3
(
2⋅
=
gP
, ...6
1
6
5
)
(
1⋅
=
− n gn
P
albo 5 6 ln ) 1 (6
1
)
(
=
− n− gn
e
P
przy czym
5
6
ln
nie różni się wiele od6
1
(różnica jest mniejsza od 10%).Wyrzucenie sześciu (lub jakiejkolwiek innej ustalonej liczby) oczek jest najbardziej prawdopodobne w pierwszym rzucie.
Rozkład geometryczny dla rzutów kostką
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0 5 10 15 20
Przykład dla zmiennej ciągłej
W przypadku zdarzeń podlegających rozkładowi Poisson’a
prawdopodobieństwo nie zarejestrowania żadnego zdarzenia w czasie
t
wynosit
e
t
P
0(
)
=
−µ⋅natomiast prawdopodobieństwo zarejestrowania jednego zdarzenia w czasie
dt
bezpośrednio potem wynosidt
⋅
µ
Zatem prawdopodobieństwo tego, że zdarzenie zostanie zarejestrowane po czasie
t
(od momentu rozpoczęcia obserwacji lub od poprzedniegozdarzenia, lub od dowolnie ustalonej chwili) wynosi
dt
e
dt
t
p
(
)
⋅
=
µ
⋅
−µ⋅tRozkład gęstości prawdopodobieństwa odstępów między kolejnymi zdarzeniami podlegającymi rozkładowi Poisson’a jest wykładniczy
t
e
t
p
(
)
=
µ
⋅
−µ⋅ ,dla którego charakterystyczne jest to, że najbardziej prawdopodobne jest pojawienie się kolejnego zdarzenia bezpośrednio po poprzednim. Rozkład wykładniczy t
