R O C Z N I K I F I L O Z O F I C Z N E To m XXXV1I - XXXVI I 1, zeszyt 3 - 1989-1990
M A R E K S Z Y D Ł O W S K I
TRAK TAT O GEOM ETRACH N A ROZGRZANEJ PŁYCIE C ZY L I K OSM OLO GIA S A L A M A N D E R
WSTgP
Według jednego z mitów średniow iecznych salamandry ż y ją w wiecznym ogniu . Załóżmy, że p osia d a ją one in t e lig e n c ję z d o l ną do poznawania o ta c za ją ceg o j e św ia ta . Jaki to św iat? Spró bujmy go odtw orzyć. W św ie c ie tym fundamentalną r o l ę odgrywa ją procesy c ie p ln e i winny one mocno ingerować w całościowym o p is ie św iata salamander. Racjonalna postawa badacza kosmosu salamander każe mu w k o n stru k cji obiektywnego opisu stosować metody matematyki i f i z y k i . Możemy so b ie więc w yobrazić, że równanie przewodnictwa c ie p ln e g o o p is u je zasadnicze procesy fiz y c z n e św iata salamander; inne procesy pominiemy - nazwiemy to zasadą w yłączności procesów c ie p ln y c h . Naszą ambicją je s t zbudowanie nauki o g lo b a ln e j stru k tu rze św iata salamander - dokładniej je g o modelu. Pewnych wzorców t a k ie j k o n stru k cji dostarcza nam fiz y k a . W każdym takim modelu możemy wyróżnić trz y elem enty: 1 - zesp ó ł p o jęć teo rety czn y ch , n a rzę d zi s łu żących do opisu zjaw isk a, 2 - d z ie d zin ę r z e c z y w is to ś c i do k tó r e j model s ię odnosi, 3 - regu ły przyporządkowujące pojęciom teoretycznym przedm ioty z d zied zin y /np. procedury pomiarowe/. P o ję c ia , którym i będziemy s i ę posługiwać przy o p is ie świata salamander, są w pewnym sen sie podobne do tych , k tó re sami stosujemy do opisu ota c za ją ceg o nas św ia ta . Rozgrzana p ły ta - p rze s trze ń życiowa salamander - j e s t dwuwymiarową powierzch n ią , na k tó r e j temperaturo zmienia s ię od punktu do punktu: T - T / x , y / ; zakładamy, że g ęs to ś ć powierzchniowa e n e r g ii c ie p ln e j j e s t s ta ła i równa p. Dodajmy je s z c z e , że salamandry żyją c dysponują je d y n ie metodą pomiaru o d le g ło ś c i za pomocą taśm m iern iczych , których własności r o z s z e r z a ln o ś c i są o k r e ś lo ne p rzez współczynnik h.
1. ARENA ŻYCIOWA SALAMANDER - SPOJRZENIE Z ZEWNĄTRZ Wyobraźmy so b ie na początek śv>iat na ro zgrza n ej p ły c ie bez powiązania z pomiarem, oglądamy z zew nątrz. Będzie nim
, O
nieskonczona płaszczyzna RŁ z zadanym na n ie j skalarnym polem temperaturowym T = T /x,y/ oraz s t a łą g ę s to ś c ią powierzchnio wą źró d eł p. Możemy zd efin iow ać nowe pole wektorowe
| = - k grad T /x,y/ , gradientu tem peratury, g d z ie k je s t współczynnikiem związanym z danym ośrodkięm przewodzącym, zwanym^stałą przewodnictwa ciep ln ego t j . ( p- - - k -S T . j » # Pole <| j e s t polem źródłowym, t j . je g o dywergencja je s t równa g ę s to ś c i powierzchniowej e n e r g ii c ie p ln e j p = • Stąd k o rzy sta ją c z d e f i n i c j i pola otrzymamy:
d iv | = p <~>d i v /- k grad T/ = p - k d i r /grad T/ = p
- k
A
T = p /-i //\ = ~q"~2. ~ operatorem zwanym laplasjanem
d ir $ - je®'*1 operatorem zwanym dywergencją,
g d z ie :
a x W są składowymi pola wzdłuż osi
x i y .
Równanie /1/ je s t równaniem przewodnictwa. Podstawowy problem t e o r i i przewodnictwa polega na tym, aby przy zadanym ro zk ła d z ie g ę s to ś c i źró d eł o k r e ś lić rozkład temperatury T /x,y/.
Dla przykładu załóżmy sfery czn ą sym etrię p łaszczyzn y, t j . że T = T /r /i innymi słowy, że temperatura j e s t funkcją o d le g ło ś c i od pewnego wyróżnionego punktu r = O, g d zie T = TQ Wtedy równanie /1/ przyjm ie postać:
k 3 r S T
m
Można to sprawdzić, o b lic z a ją c z d e f i n i c j i wektora gradientu:
- k grad T /x,y/ =-k ( f )
-,p 2---5"1
g d z ie : r = i|x + y . Wówczas otrzymamy: k grad T /x,y/ = k
T R A K T A T O G E O M E TR A CH N A R O ZG R ZA N E J PŁYC IE 71
d iv f/ r/ | = d iv f t /r/x,y/ — - + ^ J—1 , oo d a je :
r
L
d iv f/ r/ | = 1 ( r + - f ) - 1 /r f / O m
Podstawiając do t e j tożsam ości f = - k i przyrównując do p otrzymamy równanie /2/.
Rozwiążmy równanie /2/ w in teresu jącym nas przypadku: T = T /r/ oraz T /O/ » Tq .
Całkując otrzymamy
r .-J 2eL + c
S r 2k
T/t/ =- ^ + C In 1 + C
Ponieważ w r = 0 T = TQ, s ta ła C musi byó równa zeru oraz C = T . O sta teczn ie:
0 2
T/r / = - 2 £ _ + T /3/
4k °
2. MODEL GEOMETRYCZNY PRZESTRZENI FIZYCZNEJ SALAMANDER Geometrzy na ro zg rza n ej p ły c ie mogą wykonywaó pomiary od le g ł o ś c i za pomocą taśm m iern iczy ch . Pomiar polega na tym, że doprowadzają p rę t m iern iczy do stanu równowagi c ie p ln e j z p ła s z czyzną ro zg rza n ej p ły ty i s tw ie r d z a ją k o in cyd en cję. Ponieważ twory na p ły c ie nie dysponują inną metodą pomiaru, ten sposób pomiaru będzie wyznaczał stru k tu rę ic h p r z e s tr z e n i f iz y c z n e j. Swoje badania będą o p iera ć na podstawowej form ie kwadratowej
O . /
ds - o d le g ło ś c i pomiędzy dwoma nieskoń czen ie b lis k im i punkta mi P /x,y/ , Q /x + dx, y + dy/, fundamentalnym niezm ienni ku ic h p r z e s t r z e n i. U w zględniając w łasności fiz y c z n e prętów m ierniczych /skrócenie lub r o z s z e r z a n ie / , możemy go zapisaó w p o s ta c i:
ds2 „
/1 + hT/2
/ A /
Gdyby p ręty m iern icze n ie wykazywały zmian d łu g o ś ci pod wpływem tem peratury, otrzymalibyśmy ds2 => dx2 + dy2, t j . tak jak w przypadku euklidesowym. Ponieważ element o d łu gości ds
zmienia s ię o czynnik — 1- otrzymujemy związek /4/.
1 + hT /Rys. 1/.
Rys. 1. Płaszczyzna ro zg rza n ej p ły ty oglądana z zewnątrz. Dowolną p rz e s trz e ń o metryce /4/ będziemy nazywać modelem geo metrycznym p r z e s tr z e n i fiz y c z n e j salamander.
Za pomocą prętów m iern iczych geometrzy będą u stala ć naj k ró tsze o d le g ło ś c i pomiędzy punktami - tzw . geod ezyjn e. Pod stawową w ie lk o ś c ią ch arakteryzu jącą geom etrię wewnętrzną świa ta salamander je s t tzw . krzywizna Riemanna. 0 i l e współczyn-
2 2
n ik i przy dx , dy o k re ś la ją c e w szystk ie wewnętrzne własności p r z e s tr z e n i z a le ż ą od układu współrzędnych, o t y l e i s t n i e j e dokładnie jedna w ielk o ść powiązana z tym i współczynnikami oraz ic h pochodnymi n ie za le ż n a od układu współrzędnych, cha rak teryzu jąca geom etrię wewnętrzną, j e s t n ią krzywizna R ie manna. W przypadku m etryki p o sia d a ją c ej ogólną postać:
ds2 = f /x,y/ /dx2 + dy2/ krzywizna Riemanna j e s t równa:
1
f
3
( ±
(
T-¿f
1 3* V-P a y
J
3 x V-f S * /]
Wielkość K posiada prostą in t e r p r e ta c ję geom etryczną. Wyobraźmy so b ie pewien fragment powierzchni S. Określmy p rz e n ie s ie n ie rów noległe wektora stycznego do pow ierzchni wzdłuż geod etyki w ten sposób, że punkt za czep ien ia porusza s ię
T R A K T A T O G E O M E TR A CH N A R O ZG R ZA N E J PŁYC IE 73
wzdłuż g e o d e ty k i, a sam wektor przem ieszcza s ię w sposób c ią g ły , tak że k ą t, ja k i tworzy on z geodetyką i je g o dłu gość p o zo s ta ją bez zmian. / % s . 2/.
Rys. 2. Konstrukcja p r z e n ie s ie n ia rów n oległego na S.
W ten sposób postępu jąc możemy dokonać przem ieszczenia wektora wzdłuż gran icy nieskończenie małego równoległoboku ogran icza jącego pow ierzchnie ds, aproksymując dowolną krzywą og ran icza jącą pow ierzchnię ds geodezyjnym i. Otrzymany przem ieszczen ie wzdłuż g ra n icy dowolnego n ieskończenie małego brzegu obszaru dS. wtedy stosunek ró ż n ic y kątów, ja k ie tw o rzy ł ten wektor p ierw otn ie i po przem ieszczeniu /kąt obrotu A ^ / do w ielk o śc i obszaru dS, gdy dS —> 0, j e s t s t a łą w ie lk o ś c ią d e fin io w a ną jako krzywizna K /P/. J e ś li powyższą konstrukcję p rzep ro wadzić na p ła s zc zy ź n ie uzyskamy kąt obrotu A ^ = 0, na s fe r z e
4 <^>0, na pow ierzchni sio d ło w ej A(J> < 0 . Oznacza t o , że płaszczyzna posiada zerową krzyw izn ę, s fe r a - dodatnią, na tomiast powierzchnia typu s io d ła - ujemną /Rys. 3/.
k - o
Określmy te r a z krzywiznę K dla m etryki /4/ ze związku /5/, pod staw iając w cześn iej:
ds2 3 W4 /dx2 + dy2/; W2 = /1 + hT/-1 /(,/
otrzymamy:
K . . A l n »4 , . | 1 A > . 12 /e„ a , /2j
Dla małych gradientów temperatury wyrażenie to przechodzi w:
K ---— A » m
W5
Wyrażając krzywiznę za pomocą temperatury otrzymamy: K = /1 + hi/ h A T - h2 /grad T/2
Po wstawieniu / I / otrzymujemy:
K 3 - /1 + hT/ --- ^ f (¡>J2 /8/
Z z a le żn o ś c i /8/ wynika, że w przypadku dowolnego dwu wymiarowego rozkładu temperatury T = T/x,y/ krzywizna K przest
rz e n i z a le ży od g ę s to ś c i powierzchniowej e n e r g ii c ie p ln e j p i szybkości zmian temperatury wzdłuż r .
Dla przypadku s fe r y c z n ie symetrycznego rozkładu tempera tury danego p rzez /4/ otrzymamy:
K = - /^ + hT0/ /9/
Z /9/ wynika, że p rzes trzeń fiz y c z n a salamander j e s t p r z e s t rze n ią o s t a łe j krzyw iźn ie z a le ż n e j od s ta ły c h h, p, k oraz TQ. J e ś li temperatura T wolno zmienia s ię z o d le g ło ś c ią f j —Tj^nożerny zaniedbać i otrzymamy:
K = /1 + hT/ ęE
-I te r a z krzywizna p r z e s tr z e n i z a le ż y od punktu. P r z e s t rzeń n ie posiada s t a łe j krzyw izny.
0 tym że dla s fe r y c z n ie symetrycznego rozkładu tempera tury geom etria wewnętrzna pow ierzchni z metryką /4/ j e s t geo m etrią p r z e s tr z e n i o s t a łe j k rzy w iźn ie, możemy s ię przekonać również w następujący sposób. Zanurzamy w p ła s k ie j trójw ym
ia-p o p p
rowej p r z e s tr z e n i s fe r ę o równaniu x + y + z = ¿// . Odle g ło ś ć ds2 pomiędzy dwoma nieskończenie b lis k im i punktami t e j
T R A K T A T O G E O M E TR A CH N A RO ZG R ZA N EJ PŁYC IE 75
p rz e s trz e n i je s t określona p rzez formę:
ds2 = d i 2 + dy2 + dz2 /10/
Aby o k r e ś lić o d le g ło ś ć ds2 pomiędzy punktami s f e r y , na rzucamy warunek le ż e n ia punktów na s fe r z e /pseu dosferze, j e
-9 0 0 9
ś l i 06 zespolone/: x + y + z^ » oO c . O kreślając z tego związku dz = - xdx .yflŁ /po zróżniczkowaniu/ i po podsta wieniu współrzędnych biegunowych otrzymujemy:
ds2 = --- + r 2d02 /11/
d - 4
-oC ^
gdzie podstawiono: x « r cos 0 0 ^
y = r s in 0 0 0 2 T
Dla s fe r y krzywizna Riemanna K = * , d la pseudosfery
^ oC
K = --- , d la p łaszczyzn y K = 0 . O gólnie mamy: oo *-ds2 = S l f + r 2d02 /12/ 1 - Kr2 K > 0 p rz e s trz e ń sfery czn a gdy K ■ 0 p rz e s trz e ń płaska K 0 p rz e s trz e ń h ip e rb o lic zn a
Metrykę /12/ możemy sprowadzić d o lin n e j p o s ta c i. J e ś l i wprowa
dzimy nową zmienną r : r «• , wtedy otrzymamy:
1 +
ds2 = fL ś sŁ /13/
/1 + I r 2/
Podstawiając do / I3/ zależn o ść /9/ oraz zam ieniając ’r na r : r « —^2— r , otrzymujemy metrykę /4/.
k/K/
Zachodzi tak d la te g o , ponieważ d la dwóch p r z e s tr z e n i o t e j samej k rzy w iźn ie K oraz te g o samego wymiaru i sygnatu rze jednakowych znaków przed współczynnikami formy jednakowej p rz e s trz e n n ie zawsze i s t n i e j e lo k a ln ie px-zekształcenie izom e- tryczn e je d n e j na drugą. Stąd metryka /13/ rep re ze n tu je o g ó l ny przypadek m etryki p r z e s tr z e n i 2wymiarowej o s t a ł e j k rz y
-w iśnie K oraz sygnaturze /+ +/. Wystarczy -w ięc skonstruo-wać dowolny j e j przykład, aby zagadnienie rozw iązać d o sta tec zn ie o g ć ln ie .
3. WŁASNOŚCI ŚWIATA SALAMANDER
Będziemy s ię te ra z zajmować b l i ż e j własnościam i świata salamander o s t a łe j krzyw iśn ie K danej z /9/.
J e ś li krzywizna K j e s t ujemna metrykę /12/ możemy spro wadzić do p o s ta c i: ds2 = R 2 /d:*2 + s in 23 d02/ /14/ 1 g d z ie : R - /-K/~ Z oraz tan h Natomiast j e ś l i K je s t dodatnie ds2 * R2 /dO2 + s in 2Q d02/ /15/ _ 1 g d z ie : R = K- Z 1 oraz t g 5 0 “ 55“
Wielkość R w związku /15/ możemy in terp retow a ć jako promień wszechświata. Geometria opisana metryką / I 5/ j e s t geom etrią sfery czn ą , natomiast opisana metryką /14/ geom etrią hiperbo- lic z n ą . Transformacja / I 5/ j e s t rzutem stereogra ficzn ym punktu B na s fe r z e na punkty płaszczyzny /Rys. 4/. P rzes trzeń w
metry-p
ce /15/ posiada skończoną pow ierzchnię S = 4TTR , ch ociaż jes t nieograniczon a: salamandry poruszając s i ę po n i e j , nigdy nie t r a f i ą na j e j g ra n ic ę . P rz e s trz e ń określona metryką /14/
r
Kąt 0 zmienia Bi® od — TT do TT , kąt 0 zmienia się od O do 2TT . Kąty eą mierzone we współrzędnych biegunowyoh.
T R A K T A T O G E O M E T R A C H N A R O ZG R ZA N E J P ŁY C IE 77
4. ZGEOMETRYZOWANA FIZYKA NA ROZGRZANEJ PŁYCIE Równanie /8/ u sta la odpowiedniość pomiędzy krzyw izną p rz e s trz e n i a rozkładem tem peratur i g ę s to ś c ią e n e r g ii. Geo- m etryzacja w ścisłym teg o słowa znaczeniu oznacza odpowied- niośó pomiędzy geom etrią p r z e s tr z e n i / cza so p rzes trzen i/ a pa rametrami energetycznym i, lewa stron a zgeometryzowanego rów nania re p re ze n tu je pewną w ielk ośó skonstruowaną ze w spółczyn ników formy kwadratowej, natom iast prawa g ęs to ś ć e n e r g ii i t p . Załóżmy d la u p roszczen ia, że rozk ła d temperatury j e s t t a k i, że funkcja T/r/ bardzo wolno zmienia s i ę z o d le g ło ś c ią , t j . możemy posłużyć s ie p rzy b liżen ie m /7/.
Wtedy otrzymamy:
K i A W = /1 +hT / ¿ 2 = 1 * £ 2
-W3 k W k
ds2 - W4 /dx2 + dy2/ ; w2 = /1 + hT/"1 ,
Związki t e możemy p rz e p is a ć , p r z e lic z a ją c g ęs to ś ć e n e r g ii
p o p
p w metryce ds = dxc + dy41 na g ę s to ś ć powierzchniową e n e r g ii w metryce /6/, t j . q ' & ' a , a , ' ' Wtedy otrzymamy:
A
W = \ W7 -| S - ds2 = W4 /dx2 + dy2/ /16/ W2 = /1 + hT/“ 1Równania / I 6/ są równaniami zgeometryzowanej t e o r i i przewod nictw a. Zgeometryzowana t e o r ia ma t ę z a le t ę w porównaniu z k la syczną, że j e s t ś c iś le powiązana z procedurą pomiarową w ś w iec ie salamander.
Równania /1/ możemy rów nież wyprowadzić z zasady w a r ia c y j n e j. Wystarczy wybrać na fu n k cję g ę s to ś c i Lagrange*a funkcję o p o s ta c i:
Z = - | T + \ / V T/2
Wówczas równania E u lera -lagra n ge*a: ^ & S S____________
A t f r P. prowadzą do równania / 1/ , j e ś l i podstawimy ~ Zapiszmy równania /16/ zgeometryzowanej t e o r i i przewodnictwa w p o sta c i w a r ia c y jn e j. Wystarczy wybrać Z o p o s ta c i:
z' -
\
/ V W/ 2 - | W8-jł£-Gęstość Lagranzjanu odniesiona do m etryki O A O P * A
ds = W /dx + dy / wynosi: Z /W . O sta teczn ie otrzymujemy: Z - / V W/2 5 W4 £ §
-ds2 = W4 /dx2 + dy2/ /17/
Równania /17/ są bazą kanonicznego formalizmu zgeome- tryzowanej t e o r i i przewodnictwa.
4. PROBLEMY GLOBALNE KOSMOLOGII SALAMANDER W cześniejsze rozważania pokazały, że struktu ra geome tryczn a świata salamander j e s t określon a p rzez fundamentalną
p
formę kwadratową ds . Forma ta o k reśla stru k tu rę lok aln ą ich św iata. Ta sama forma kwadratowa ds o k r e ś li nam p łaszczyzn ę, płaszczyznę zw in ię tą w walec i t p . , a d z ie je s ię tak d la teg o ponieważ posiadamy swobodę w o k re śle n iu stru ktu ry t o p o lo g ic z n e j. Mówiąc obrazowo możemy wykonywać różne deform acje po w ierzch n i, ta k ie ja k r o z c ią g a n ia , ś c isk a n ia , bylebyśmy n ie dokonywali rozrywań ozy s k le je ń . Z matematycznego punktu wi dzenia oznacza t o , że dwie formy kwadratowe uważamy za równo ważne, j e ś l i posiadają one ten sam typ różniczkow y, t j . j e ś l i dopuszczają is t n ie n ie wzajemnie jednoznacznego i w obie strony c ią g łe g o odwzorowania jed n ej p r z e s tr z e n i na drugą, c z y l i is t n ie n ie tzw . homeomorfizmu.
Oprócz k la s y f ik a c ji p r z e s tr z e n i o s t a ł e j k rzyw iźn ie ze względu na znak krzywizny, możemy dokonać pod ziału na p r z e s t r ze n ie zwarte /z każdego pokrycia p r z e s tr z e n i można wybrać podpokrycie skończone/ oraz otw arte / p rzes trzeń , k tóra n ie je s t zwarta/. Przykładem p r z e s tr z e n i zw artej j e s t s fe r a , torus, n iezw a rtej - p łaszczyzn a.
Aby t o dokładniej zilu s tro w a ć , rozważmy nierównoważne, z top olo giczn ego punktu w idzenia, formy p r z e s tr z e n i o s t a ł e j k rzy w iźn ie. Podzielmy zatem p łaszczyzn ę zbiorem prostych rów n oległych £aj na jednakowe paski i określmy pewien kierunek na p ła s zc zy ź n ie , na przykład prostopadły do układu prostych
T R A K T A T O G EO M E TR A CH N A R O ZG R ZA N E J PŁYC IE 79
^ajf. Wybierzmy w dowolnym z obszarów pewien punkt M. Przesu wając w ydzielony obszar między prostym i możemy go nałożyó na dowolny inny pasek; punkt M zajm ie wtedy nowe p o ło ż e n ie , k tó re oznaczymy również p rzez M. Z b iór w szystk ich punktów o t r z y manych z M w ten sposób oznaczmy p rzez M . Potraktujmy te r a z z b ió r punktów U jako element pewnej nowej p r z e s tr z e n i R. W z b io rz e R możemy wprowadzić metrykę:
M
MN N
M
MN
a a a a
Rys. 5. Konstrukcja walca z p ła s zc zy zn y .
y / r , y / ; i = y = tak , że Q,/x,y/ j e s t równe minimal nej o d le g ło ś c i eu klidesow ej pomiędzy punktami zbioru
i punktami zb ioru ^N^. Łatwo s ię przekonać, że metryka § /x,y/ sp ełn ia aksjomaty m etryk i. Funkcja g /x,y/ z o s ta ła tak z d e f i niowana, że d o s ta te c zn ie małe £ - o to czen ie dowolnego punktu
x = {m } p r z e s tr z e n i R j e s t izom etryczne z £ - o to c ze n ia punk
tu na p ła s zc zy ź n ie e u k lid es o w e j. Całą t ę konstrukcję możemy sobie wyobrazić jako n a w ija n ie p łaszczyzn y na walec w t a k i sposób, że ca ły pasek tworzy pow ierzchnię boczną w alca.
Idąc podobną drogą można zn a le źć inne w arianty t o p o lo giczn e p r z e s tr z e n i o zerow ej k r z y w iin ie . Wniosek, ja k i narzu ca s i ę po tych uwagach, j e s t następujący: w naszym o p is ie struktury geom etrycznej p r z e s tr z e n i tkw i pewna nieoznaczoność globalnych w łasności p r z e s tr z e n i.
5. KOSMOLOGIA SALAMANDER A KOSMOLOGIA ISTOT ZIEMSKICH Ambicją kosmologów ziem skich j e s t zbudowanie nauki o g lo b a ln ej stru k tu rze i e w o lu c ji wszechśw iata. W s k a li g lo b a ln e j kosmosu fundamentalną r o l ę odgrywają oddziaływ ania g r a w ita c y j ne. T e o rią op isu jącą świat w dużej s k a li j e s t ogólna t e o r ia
w zględności, która j e s t w i s t o c i e t e o r ią g r a w it a c ji.
Na rozgrza n ej p ły c ie fundamentalną r o l ę odgrywają proce sy c ie p ln e . T eorią op isu jącą św iat salamander je 3 t zgeom etry- zowana t e o r ia przewodnictwa. Zadanie zbudowania nauki o g lo balnej strukturze wszechświata okazało s ię zamierzeniem zbyt ambitnym chociażby ze względu na nieoznaczoność w łasności to p o logiczn ych . Powiedzielibyśm y r a c z e j, że dysponujemy wiedzą o w ielkoskalow ej stru k tu rze św iata. Dotyczy t o zarówno kosmo l o g i i salamander, ja k i kosm ologii i s t o t ziem skich. W meto d z ie pomiaru jesteśm y o g ra n iczen i przez skończoną wartość prędkości ś w ia tła . Dlatego nasz świat posiada lo k a ln ie struk tu rę stożkową. Modelami wszechświata są pewne p r z e s tr z e n ie
O
/ cza sop rzestrzen ie/ z określon ą formą kwadratową ds , k tó re j w spółczynniki są powiązane równaniami p o la ogóln ej t e o r i i w zględ n ości. Równania t e u s ta la ją odpowiedniość pomiędzy geo m etrią a rozkładem mas, e n e r g ią . Modelem św iata salamander
je s t również pewna p rz e s trz e ń dwuwymiarowa z zadaną formą 2
kwadratową ds wyznaczoną poprzez metodę pomiaru za pomocą prętów m ierniczych , k tó re wykazują własność r o z s z e r z a ln o ś c i. Lokalnie sp ełn ion e są równania zgeometryzowanej t e o r i i prze wodnictwa. Zarówno równania p o la , ja k i równania t e j t e o r i i dają s ię wyprowadzić z zasady w a r ia c y jn e j. Do teg o momentu a n alogia j e s t dość wyraźna i świadczyć to może o dydaktycz- n ości przykładu. I s t n ie ją jednak pewne zasadnicze ró żn ice we własnościach obu światów. Świat salamander je s t konstrukcją sta tyczn ą , natomiast świat i s t o t ziem skich wykazuje w ielk o - skalowy ruch gala k tyk . Świat salamander je s t wieczny, nato miast świat i s t o t ziem skich przeżyw ał w t r a k c ie sw ojej ewo l u c j i stan osobliw y.
Na zakończenie zwróćmy je s z c z e uwagę na następujący fa k t . Geometria jako d z ia ł matematyki j e s t nauką czysto f o r malną i n ie odnosi s i ę do r z e c z y w is to ś c i. Natomiast model geometryczny /geom etria zinterpretow ana fiz y c z n ie / p r z e s ta je być działem matematyki, s ta ją c s ię d zied zin ą fiz y c z n ą podle gającą empirycznemu sprawdzeniu. Według konwencjonalizmu P o in ca re’ go wybór g eo m e trii j e s t czystą konwencją, możemy bo wiem zakładać prostą geom etrię i wtedy prawa f i z y k i są bar d z ie j skomplikowane albo odwrotnie - formułować p ro s te pra wa na t l e b a rd ziej skomplikowanej g e o m e trii.
Pogląd ta k i wydaje s ię być błędny, ^ak samo w przypad ku ro zgrzan ej p ły ty , ja k i o g óln ej t e o r i i w zględności za
T R A K T A T O G E O M E TR A CH N A R O ZG R ZA N E J PŁYC IE
pomocą r e g u ł pomostowych dokonujemy fiz y c z n e j in t e r p r e t a c ji g e o m e trii. A ta podlega empirycznej w e r y fik a c ji i ok reśla problematykę kosm ologii o b serw a cy jn ej.
