DOWODY

Jacek Kredenc – szkic rozwiązania

Dowody

Zadanie 1. Wykaż, że jeśli a; b; c>0, to _𝑏𝑎₂+_𝑐𝑏₂+_𝑎𝑐₂ ≥ 1_𝑎+_𝑏1+1_𝑐. Rozwiązanie:

Na podstawie zadania 1 mamy

𝑎 𝑏+ 𝑏 𝑎≥ 2 /: 𝑏 gdzie 𝑏 > 0 𝑎 𝑏2+ 1 𝑎 ≥ 2 𝑏 Analogicznie: _𝑐𝑏₂+_𝑏1≥ 2_𝑐 𝑖 _𝑎𝑐₂+1_𝑐 ≥ 2_𝑎

Dodajemy stronami trzy ostatnie nierówności otrzymując nierówność (𝑎 𝑏2+ 1 𝑎) + ( 𝑏 𝑐2+ 1 𝑏) + ( 𝑐 𝑎2+ 1 𝑐) ≥ 2 𝑏+ 2 𝑐 + 2 𝑎 Stąd 𝑎 𝑏2+ 𝑏 𝑐2+ 𝑐 𝑎2 ≥ 1 𝑎+ 1 𝑏+ 1 𝑐

Zadanie 2. Wykaż, że jeśli 𝑎; 𝑏; 𝑐 > 0 𝑖 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3, to _𝑎+𝑏1 +_𝑏+𝑐1 +_𝑐+𝑎1 ≥ 11₂ Rozwiązanie:

Na podstawie zadania 4 mamy

((𝑎 + 𝑏) + (𝑏 + 𝑐) + (𝑐 + 𝑎)) ( 1 𝑎 + 𝑏+ 1 𝑏 + 𝑐+ 1 𝑐 + 𝑎) ≥ 9 Czyli 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) ( 1 𝑎 + 𝑏+ 1 𝑏 + 𝑐+ 1 𝑐 + 𝑎) ≥ 9 Korzystając z podanego warunku 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3 możemy zapisać, że

2 ∙ 3 ∙ ( 1 𝑎 + 𝑏+ 1 𝑏 + 𝑐+ 1 𝑐 + 𝑎) ≥ 9 Skąd

1 𝑎 + 𝑏+ 1 𝑏 + 𝑐+ 1 𝑐 + 𝑎 ≥ 9 6= 1 1 2

Zadanie 3*. Wykaż, że jeśli 𝑎; 𝑏; 𝑐 > 0 𝑖 𝑚; 𝑛 ∈ 𝑁+, 𝑡𝑜 𝑎𝑚+𝑛+ 𝑏𝑚+𝑛+ 𝑐𝑚+𝑛 ≥ 𝑎𝑚𝑏𝑛+ 𝑏𝑚_𝑐𝑛_{+ 𝑐}𝑚_𝑎𝑛

Rozwiązanie:

Skorzystamy z uwagi podanej po rozwiązaniu zadania 7. Mamy 𝑎𝑚+𝑛_{+ 𝑎}𝑚+𝑛_{+. . . +𝑎}𝑚+𝑛_{+ 𝑎}𝑚+𝑛 ⏞ 𝑚 𝑠𝑘ł𝑎𝑑𝑛𝑖𝑘ó𝑤 _{+ 𝑏}⏞ 𝑚+𝑛_{+ 𝑏}𝑚+𝑛_{+. . . +𝑏}𝑚+𝑛_{+ 𝑏}𝑚+𝑛 𝑛 𝑠𝑘ł𝑎𝑑𝑛𝑖𝑘ó𝑤 𝑚 + 𝑛 ≥ _√𝑎⏟ 𝑚+𝑛_{∙ 𝑎}𝑚+𝑛_{∙ ⋯ ∙ 𝑎}𝑚+𝑛_{∙ 𝑎}𝑚+𝑛 𝑚 𝑐𝑧𝑦𝑛𝑛𝑖𝑘ó𝑤 ∙ 𝑏_⏟ 𝑚+𝑛_{∙ 𝑏}𝑚+𝑛_{∙ ⋯ ∙ 𝑏}𝑚+𝑛_{∙ 𝑏}𝑚+𝑛 𝑛 𝑐𝑧𝑦𝑛𝑛𝑖𝑘ó𝑤 𝑚+𝑛 Skąd 𝑚𝑎𝑚+𝑛_{+ 𝑛𝑏}𝑚+𝑛 𝑚 + 𝑛 ≥ √(𝑎𝑚+𝑛)𝑚∙ (𝑏𝑚+𝑛)𝑛 𝑚+𝑛 _{= 𝑎𝑚𝑏𝑛} Analogicznie 𝑚𝑏𝑚+𝑛_{+ 𝑛𝑐}𝑚+𝑛 𝑚 + 𝑛 ≥ 𝑏𝑚𝑐𝑛 𝑖 𝑚𝑐𝑚+𝑛_{+ 𝑛𝑎}𝑚+𝑛 𝑚 + 𝑛 ≥ 𝑐𝑚𝑎𝑛 Dodajemy stronami trzy ostatnie nierówności otrzymując nierówność

𝑚𝑎𝑚+𝑛_{+ 𝑛𝑏}𝑚+𝑛_{+ 𝑚𝑏}𝑚+𝑛_{+ 𝑛𝑐}𝑚+𝑛_{+ 𝑚𝑐}𝑚+𝑛_{+ 𝑛𝑎}𝑚+𝑛

𝑚 + 𝑛 ≥ 𝑎𝑚𝑏𝑛+ 𝑏𝑚𝑐𝑛+ 𝑐𝑚𝑎𝑛 Czyli

(𝑚 + 𝑛)𝑎𝑚+𝑛_{+ (𝑚 + 𝑛)𝑏}𝑚+𝑛_{+ (𝑛 + 𝑚)𝑐}𝑚+𝑛

𝑚 + 𝑛 ≥ 𝑎𝑚𝑏𝑛 + 𝑏𝑚𝑐𝑛 + 𝑐𝑚𝑎𝑛 Po skróceniu przez m+n otrzymujemy żądaną nierówność