Rozdzia V – Teoria Sommerfelda

(1)

V.1. REGUŁY KWANTOWANIA WILSONA – SOMMERFELDA

Reguły kwantowania Wilsona – Sommerfelda dotyczą dowolnej wielkości fizycznej, która jest periodyczną funkcją czasu (jeżeli funkcje opisujące jakiś układ są funkcjami periodycznymi to układ jest kwantowalny).

qt=q t gdzie: τ – okres

∫

p_qdq_=n_qh (V.1.1) pq – pęd odpowiadający współrzędnej uogólnionej q

nq – liczba kwantowa Przykład: Punkt o masie m poruszający się po orbicie kołowej.

(r,ϕ)

q1 = r, q2 = ϕ r = const ϕ = ωt

(2)

p_q=dEx d ˙q (V.1.2) ˙q=dq_dt E_k=m₂



˙r2_r2_˙2



(V.1.3) p_q=dEk d ˙=mr 2 ˙=mr2 =mvr=L p_r=∂ Ek ∂ ˙r =m ˙r=0 , bo r=const Llewa strona:

∮

pqdq=

∮

pd=

∫

0 2 L d=L

∫

₀2d=2 L P prawa strona: n⋅h Ponieważ L = P, to: 2 L=n⋅h , czyli: L_=n__ℏ (V.1.4) Zależność (V.1.4) zgodna (identyczna) z II postulatem Bohra.

(3)

Wzór (V.1.5) jest zgodny z IV postulatem Bohra.

Sommerfeld uogólnił model Bohra i pokazał że elektron na danej orbicie może poruszać się po orbicie eliptycznej (kołowa jest jej szczególnym przypadkiem), przy czym liczba orbit zależy od n i jest dokładnie jej równa.

n – będziemy nazywać główną liczbą kwantową.

V.2. SUBTELNA STRUKTURA WIDMA WODORU.

Wszystkie linie spektralne począwszy od n = 2 są rozszczepione – jest to struktura subtelna.

Struktura subtelna została wyjaśniona w oparciu o rachunek relatywistyczny.

Rys.V.1. Subtelna struktura widma atomu wodoru.

Sommerfeld był w stanie obliczyć parametry orbit i ich energie.

L=nℏ , n=1, 2 , 3 ,... (V.2.1) L



a

(4)

a₌ ℏ 2  Ze2n 2 (V.2.3a) b_=an n (V.2.3b) E =−e 4 Z2 2ℏ2 ⋅



1 n2



(V.2.3c) Wzory (V.2.3a), (V.2.3b), (V.2.3c) – definiują orbitę po której porusza się elektron.

n=nnr=1,2,3 , ... – główna liczba kwantowa

n__{=1,2 , .... ,n – azymutalna liczba kwantowa}

n , n_φ – definiują kształt orbity

b=an

n → n=n , a=b

V.3. PRZYKŁADY ORBIT SOMMERFELDA.

(5)

m₌ m0



1−



v_c



2 _(V.3.1)

Energia E= f  n , n – jest charakterystyczna dla danej orbity E=−e 4 Z2 2ħ2n2

[

1 a2_Z2 n



1 n_− 3 4n



]

(V.3.2)

Z (V.3.2) wynika, że E= f  n , n i wyjaśnia strukturę subtelna linii spektralnych Po uwzględnieniu efektu relatywistycznego energia wyraża się wzorem:

E_=E_NR_{∆ E}_R (V.3.3) gdzie: ENR – część nierelatywistyczna (V.2.3c) ER – poprawka relatywistyczna ∆ E_R~a2Z2 n



1 n_− 3 4n



(V.3.4)

Poprawka opisuje przesunięcie poziomów energetycznych – pojawienie się struktury subtelnej. a=e 2 ℏ c≃ 1 137 (V.3.5)

a – stała struktury subtelnej, charakterystyczna wielkość we wzorach fizyki kwantowej Jest wiele interpretacji tej stałej a, jedną z nich jest:

a=v1 c

(6)

v1 prędkość elektronu na pierwszej orbicie

W efekcie istnienia struktury subtelnej pojawiają się dodatkowe poziomy i tworzy się widmo bardziej skomplikowane.

Rys.V.3. Przejścia dozwolone są oznaczone przez zielone strzałki, czerwone oznaczają przejścia zabronione.

O tym, które przejścia są dozwolone, a które nie, mówi reguła wyboru: