Fizyczne podstawy mechaniki – I: kinematyka

(1)

(2)

- Kanon fizyki WAT, Wydział Nowych Technologii i Chemii, Instytut Fizyki Technicznej W-02

2. Fizyczne podstawy mechaniki - I

2.1. Kinematyka:

• ruch w trzech wymiarach,

• parametryczne równania toru,

• prędkość,

• przyśpieszenie

- przyspieszenie styczne i normalne do toru ruchu,

• niezmienniczość Galileusza,

(3)

Kinematyka – dział mechaniki, zajmujący się ruchem ciał, bez uwzględniania ich

masy oraz rozpatrywania przyczyn wywołujących ruch ciała.

Podstawowe pojęcia

Podstawowe zadanie kinematyki: znalezienie kinematycznego równania ruchu, czyli zależności współrzędnych ciała od czasu, a także parametrów ruchu ciała: przebytej drogi, prędkości, przyspieszenia i położenia w danej chwili czasu.

Ciało – obiekt materialny, czyli obdarzony masą.

Modele ciała – możliwość pominięcia pewnych rodzajów ruchu, np. ruchu

obrotowego lub drgającego:

▪ Punkt materialny – punkt matematyczny, w którym skupiona jest pewna masa

– np. samolot na ekranie radaru.

▪ Bryła sztywna – ciało o pewnej masie zajmujące pewną stałą objętość i kształt – np. samolot na lotnisku.

(4)

Względność

ruchu

Ruch jest zjawiskiem względnym i może być rozpatrywany jedynie względem innego ciała lub układu ciał.

Układ odniesienia – układ współrzędnych dowiązany do pewnego ciała lub układu ciał, zaopatrzonego dodatkowo w zegar do pomiaru czasu.

Wybór układu odniesienia należy do nas i powinien upraszczać rozwiązanie zagadnienia.

W. Moebs, S. J. Ling, J. Sanny, Fizyka dla szkół wyższych, t.1, openstax, Polska, 2018

Położenie rowerzystek można podać względem:

- ulicy, budynków, - samochodów czy

- względem siebie nawzajem.

Ich ruch można opisać poprzez poło-żenie oraz przemieszczenie w

(5)

Ruch w trzech wymiarach

Położenie – względem wybranego układu współrzędnych (ciała) – gdzie jestem?

Ruch – zmiana położenia: w jakim kierunku, jak szybko, w jaki sposób?

Wektor (promień) wodzący – wektor wyprowadzony z początku przyjętego układu odniesienia do punktu położenia ciała w danej chwili czasu.

Przemieszczenie – zmiana położenia w czasie.

z x y P₁ P₂ r₁ r₂ x y z

𝒓 =

𝑥

2

+ 𝑦

2

+ 𝑧

2

Wektory wodzące r₁ i r₂ dla położeń ciała odpowiednio P₁(t) i P₂(t); x≡ i, y ≡ j, z ≡ k wersory, czyli wektory jednostkowe osi (długość = 1, kierunek i zwrot odpowiedniej Zmiana położenia między P₁ i P₂: r₂– r₁

5

Ԧ𝑟 ≡r

(6)

6

Kinematyczne równanie ruchu przedstawia wektor wodzący punktu r(t) zapisany w kartezjańskim układzie współrzędnych jako:

gdzie x(t), y(t), z(t) są skalarnymi postaciami

kinematycznego równania ruchu, natomiast

i, j, k są wspomnianymi wersorami osi

kartezjańskiego układu współrzędnych, odpowiednio: Ox, Oy i Oz. Parametrem w tych równaniach jest czas t.

Parametryczne równania toru

𝒓 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝒊 + 𝑦 𝑡 𝒋 + 𝑧 𝑡 𝒌

(7)

W. Moebs, S. J. Ling, J. Sanny, Fizyka dla szkół wyższych, t.1, openstax, Polska, 2018;

Krzywe balistyczne przy takim samym kącie wystrzału i masie, lecz różnych prędkościach początkowych.

Eliminując z tych równań czas otrzymamy równanie toru ruchu punktu.

Tory lotu piłki golfowej uderzone pod różnymi kątami, ale o tym samym zasięgu, równym 90 m.

(8)

Podstawowe rodzaje ruchu

Postępowy

Prostoliniowy

Krzywoliniowy

Jednostajny

Zmienny

Jednostajnie

Niejednostajnie

Obrotowy

Jednostajny

Zmienny

Jednostajnie

Niejednostajnie

8

(9)

Szybkość średnia – stosunek całkowitej drogi (przemieszczenia) i całkowitego czasu potrzebnego do pokonania tej drogi.

Szybkość i prędkość

Jest to wielkość skalarna wyrażana w [m/s].

Wygodna miara zmian drogi w czasie, używają jej kierowcy, żeby określić czas, po którym dotrą do wyznaczonego celu od momentu rozpoczęcia podróży. Ale w którą

stronę świata jedziemy?

v_śr = całkowita droga/całkowity czas = Ds/Dt

Niech w chwili czasu t₁ ciało znajduje się w położeniu x₁, a w chwili t₂ w położeniu x₂.

Prędkość średnia ഥ𝒗 wynosi:

𝒗 =

ഥ

𝒙2− 𝒙1

𝑡₂−𝑡₁

=

∆𝒙

∆𝑡

[

𝑚

𝑠

]

To jest wielkość wektorowa – dlaczego?

Bo podaje nie tylko wartość szybkości ruchu, ale także jej kierunek i zwrot. A dlaczego droga jest tu wektorem?

(10)

Prędkość chwilowa oraz pokonana droga

Prędkość chwilowa – ciągła funkcja czasu, informacja o wektorze prędkości cząstki

w dowolnym punkcie i dowolnej chwili jej ruchu.

Obliczamy ją jako pochodną po czasie zależności położenia od czasu. Dla przypadku ruchu jednowymiarowego w kierunku osi x:

Znając zależność prędkości chwilowej ciała od czasu możemy obliczyć drogę pokonaną przez to ciało. Stała całkowania C ma tu sens fizyczny drogi początkowej

s₀.

𝑠 = 𝑥(𝑡) = 𝑥

₂

− 𝑥

₁

= න 𝒗 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶

𝑠 = 𝑥(𝑡) = 𝑥

₂

− 𝑥

₁

= න

𝑥₁ 𝑥₂

𝒗 𝑡 𝑑𝑡

Ale znając położenie początkowe i końcowe można zapisać (dlaczego?):

𝒗 𝑡 = lim

∆𝑡→0 𝒙 𝑡+∆𝑡 −𝒙 𝑡 ∆𝑡

=

𝑑𝒙 𝑑𝑡

[

𝑚 𝑠

]

10

(11)

Prędkość chwilowa i szybkość średnia

Czy tych panów interesuje szybkość średnia czy prędkość chwilowa?

https://commons.wikimedia.org/wiki/File: ULTRALYTE_983.8_m.jpg?uselang=pl

Prędkość w ruchu krzywoliniowym

W ruchu krzywoliniowym wektor prędkości zmienia swój kierunek w czasie; w celu jednoznacznego opisu można go rozłożyć na dwie składowe:

𝒗 𝑡 = 𝒗

_𝑟

+ 𝒗

_𝑡

prędkość styczną (wzdłuż trajektorii) v_t, skierowaną lokalnie prostopadle do wektora wodzącego r poruszającego się ciała, prędkość normalną (poprzeczną) v_r, skierowaną równolegle do wektora wodzącego r.

(12)

Obliczanie prędkości na podstawie wykresu x(t)

W przedziale czasu <0; 0,5> ciało oddala się od początku układu współrzędnych – prędkość jest dodatnia. W kolejnym przedziale czasu <0,5; 1,0>, położenie się nie zmienia, prędkość jest zerowa. Natomiast dla przedziału czasu <1,0; 2,0> ciało porusza się wstecz, w stronę początku układu współrzędnych – ma wtedy przeciwny kierunek ruchu oraz ujemną prędkość.

W. Moebs, S. J. Ling, J. Sanny, Fizyka dla szkół wyższych, t.1, openstax, Polska, 2018

M-4

(13)

Przyspieszenie

Przyspieszenie a – miara zmiany prędkości v(t) w czasie.

𝒂 𝑡 =

𝑑𝒗 𝑡

𝑑𝑡

m

s

2

W ruchu jednostajnie zmiennym przyspieszenie jest stałe:

𝒂(𝑡) =

𝑑𝒗(𝑡)

𝑑𝑡

= const

𝒂 > 0 – prędkość rośnie – ruch przyspieszony 𝒂 < 0 – prędkość maleje – ruch opóźniony

Dlatego wygodnie jest rozłożyć wektor a na dwie składowe: a_s lokalnie styczną (przyspieszenie styczne) do toru ciała, która odpowiada za zmianę wartości prędkości i a_n lokalnie normalną (przyspieszenie normalne) do toru ciała, która odpowiada za zmiany kierunku prędkości.

𝒂 = 𝒂

_𝑠

+ 𝒂

_𝑛

W ruchu krzywoliniowym wektor przyspieszenia a nie jest zgodny z wektorem prędkości. Opisuje nie tylko zmianę wartości prędkości, ale także jej kierunku.

(14)

Rozpatrzmy ruch jednostajny po okręgu i wybierzemy początek kartezjańskiego układu współrzędnych w środku okręgu.

W tym przypadku wektor wodzący punktu materialnego jest równy promieniowi okręgu. Przyspieszenie a_s jest zawsze styczne do okręgu, przyspieszenie a_n zawsze prostopadłe do okręgu.

Szybkość jest stała, ale prędkość zmienna w czasie, bo zmienia się jej kierunek.

(15)

Przyspieszenie styczne i normalne – ruch po okręgu

Jak widać liniowe wektory: prędkość v i przyspieszenie a są zmienne nawet dla

ruchu jednostajnego po okręgu. Dlatego dla ruchu po okręgu zamiast drogi liniowej

s wygodnie jest wprowadzić drogę kątową a, czyli kąt zakreślany przez wektor wodzący poruszającego się punktu.

Konsekwentnie wprowadzamy pojęcie prędkości kątowej w oraz przyspieszenia kątowego e:

𝛚 =

d𝛂

d𝑡

𝑟𝑎𝑑

𝑠

;

𝛆 =

d𝝎

d𝑡

=

d

2

𝛂

d𝑡

2

𝑟𝑎𝑑

𝑠

2

𝒗 = 𝝎 × 𝒓

Uwaga:

wektory prędkości kątowej oraz przyspieszenia kątowego są

prostopadłe do płaszczyzny ruchu ciała.

W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu:

(16)

Niezmienniczość Galileusza

x y z x’ y’ z’ O O’ vo P(x,y,z) = P(x’,y’,z’) vot

Rozważmy układ Oxyz pozostający w spoczynku oraz układ O’x’y’z’ poruszający się

wzdłuż osi x układu O ze stałą prędkością v₀=const (czyli ruch jednostajny jednowymiarowy).

Dla chwili czasu t₀ układy O i O’ są tożsame. Ponadto założymy, że czas w obu układach płynie tak samo, czyli t’ = t.

Między układami O i O’ istnieją następujące związki współrzędnych:

które razem z warunkiem jednakowego upływu czasu tworzą tzw. transformację

(przekształcenie) Galileusza. Znak „+/-”zależy od tego, w którą stronę osi Ox porusza się układ ruchomy.

𝑥

′

= 𝑥 ± 𝑣

₀

𝑡;

𝑦

′

= 𝑦;

𝑧

′

= 𝑧,

Transformacja Galileusza umożliwia przeliczenie parametrów ruchu z

nieruchomego układu odniesienia do układu poruszającego się lub odwrotnie.

(17)

𝑣

_𝑥′

𝑡 =

d𝑥

,

d𝑡

=

d 𝑥 𝑡 − 𝑣

₀

𝑡

d𝑡

=

d𝑥(𝑡)

d𝑡

− 𝑣

0

= 𝑣

𝑥

𝑡 − 𝑣

0

gdzie v₀ jest prędkością poruszania się układu ruchomego względem układu nieruchomego.

Jeżeli punkt P ma w układzie O prędkość:

to różniczkując transformację Galileusza otrzymamy prędkość tego punktu w układzie O’:

𝒗 = 𝒗

_𝑥

+ 𝒗

_𝑦

+ 𝒗

_𝑧

𝒂

_𝑥′

𝑡 =

d𝒗

𝑥 ′

d𝑡

=

d 𝒗

_𝑥

𝑡 − 𝒗

₀

d𝑡

=

d𝒗

_𝑥

(𝑡)

d𝑡

= 𝒂

𝑥

(𝑡)

𝒂

_𝑦′

𝑡 =

d𝒗𝑦′ d𝑡

=

d𝒗_𝑦(𝑡) d𝑡

= 𝒂

𝑦

(𝑡) 𝒂

𝑧 ′

_{𝑡 =}

d𝒗𝑧′ d𝑡

=

d𝒗_𝑧(𝑡) d𝑡

= 𝒂

𝑧

(𝑡)

A ponieważ założyliśmy ruch tylko wzdłuż osi Ox, to:

Różniczkując prędkość otrzymamy z kolei przyspieszenie punktu w układzie O’

Transformacja Galileusza jest

niezmiennicza

względem przyspieszenia

i

oczywiście czasu (bo to założyliśmy).

_a’(

_t

_{) = a(}

_t

₎

(18)

Układy inercjalne i nieinercjalne

Układ inercjalny – układ odniesienia poruszający się ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostający w spoczynku względem innego układu.

Zasada względności Galileusza: wszystkie układy, które poruszają się względem siebie bez przyśpieszenia, czyli ruchem jednostajnym prostoliniowym, są równoważne mechanicznie.

Jeśli układ O₁ porusza się względem układu O₂ ze stałą prędkością, to przyśpieszenie punktu materialnego jest w obu układach jednakowe.

𝑑𝒗

₁₂

𝑑𝑡

= 0 → 𝒂

1

= 𝒂

2

Układ nieinercjalny – układ odniesienia poruszający się ruchem prostoliniowym zmiennym lub krzywoliniowym względem innego układu.

W tym przypadku nie jest spełniona zasada względności Galileusza. Na ciało w nieinercjalnym układzie odniesienia działają przyspieszenia pozorne. Zjawisko to nazywamy bezwładnością ciała, czyli tendencją ciała do zachowania stanu ruchu.18

(19)

Nie inercjalność wynikająca z obrotu Ziemi 𝑎 = v2 𝑅_𝑧 = 𝜔 2_𝑅 𝑧 = 4𝜋2𝑅_𝑧 𝑇2 ≈ 3,4 ⋅ 10 −2_m/s2

Nie inercjalność wynikająca z ruchu wokół Słońca (v=30 km/s, R=150.₁₀6 _km)

𝑎 = v

2

𝑅 ≈ 6 ⋅ 10

−3_m/s2

Nie inercjalność wynikająca z ruchu Słońca

wokół Galaktyki (v=300 km/s R=3.₁₀20 _m) 𝑎 =

v2

𝑅 ≈ 3 ⋅ 10

−10_m/s2

Wg Macha jedynie układ odległych gwiazd stałych jest w miarę dobrym

układem inercjalnym.

Gdy w nieinercjalnym układzie odniesienia obracającym się jednostajnie z prędkością kątową w porusza się ciało ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością v, to nieruchomy obserwator zewnętrzny widzi, że tor ruchu jest krzywoliniowy – za chwilę (KF-04) określimy to jakby na ciało działała pewna siła nazywana siłą Coriolisa F_C.

https://pl.wikipedia.org/wiki/Efekt_ Coriolisa#/media/File:Corioliskrafta nimation.gif

Ziemia jest takim nieinercjalnym układem obracającym się (z W na E) układem odniesie-nia. Dlatego tor ciała poruszającego się np. od równika ku biegunowi północnemu ulegają nieznacznemu odchyleniu w kierunku E.

Skutki: cyklony, podmywanie brzegów rzek, odchylenie od pionu spadających swobodnie przedmiotów.

(20)

Podsumowanie

1. Poznaliśmy podstawowe definicje i wielkości związane z ruchem ciał, czyli podstawy kinematyki.

2. Zaniedbaliśmy rozmiary ciała stosując model punktu materialnego, co pozwala nam ograniczyć się do najprostszych przypadków ruchu.

3. Wiemy, że dla opisu ruchu ciała konieczne jest wprowadzenie układu odniesienia.

4. Wprowadziliśmy pojęcie układu inercjalnego i pojęcie niezmienniczości Galileusza.

5. Potrafimy określić rodzaj ruchu i wyznaczyć prędkość oraz przyspieszenie ciała w tym ruchu.

6. W opisie kinematycznym pominęliśmy również przyczyny wywołujące ruch ciała. Tym zagadnieniem zajmiemy się w wykładzie K-04. 20

(21)