Miary zależności wektorów losowych o różnych wymiarach

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr 780. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. 2008. Jan Tatar Katedra Matematyki. Miary zależności wektorów losowych o różnych wymiarach 1. Wprowadzenie Najbardziej znanymi, a zarazem najczęściej wykorzystywanymi miarami zależności zmiennych losowych jednowymiarowych1 są kowariancja oraz współczynnik korelacji. W pracy [Tatar 2002] zaproponowano ich uogólnienie na przypadek wielowymiarowych wektorów losowych przy istotnym jednak założeniu, że ich wymiary są identyczne. W niniejszej pracy procedura uogólniania idzie jeszcze dalej – dopuszczamy mianowicie sytuację, gdy wymiary badanych wektorów są różne. Za każdym razem, kiedy w niniejszej pracy będzie mowa o przestrzeni euklidesowej typu Rp, będziemy mieć na uwadze strukturę przestrzeni liniowej (Rp, R, +, *) z działaniami: wewnętrznym (w Rp) „+” i zewnętrznym (nad ciałem R) „*”, w której określono iloczyn skalarny (.|.): Rp × Rp → R. Zarówno momenty zwykłe, jak i centralne (dowolnego rzędu) wielowymiarowych wektorów losowych rozumiane są w niniejszej pracy tak, jak zdefiniowano je np. w pracach [Tatar 1996, 2000a, b], tzn. jako „momenty łączne”; przypomnijmy jedynie, że u podstaw tych definicji leży pojęcie potęgi wektora w przestrzeni euklidesowej zaproponowane w pracy [Tatar 1993]. Pracę rozpoczynamy od przypomnienia wybranych rezultatów dotychczasowego uogólniania pojęć, o których była mowa wcześniej.. 1. Por. [Feller 1969], [Fisz 1969]..

(2) Jan Tatar. 54 2. 2. Przypomnienie podstawowych pojęć*. Niech dane będą dowolne m-wymiarowe wektory losowe ξ: Ω → Rm i η: Ω → Rm oraz dowolne liczby p, r ∈ N0 = N ∪ {0}.. Definicja 1. Momentem mieszanym zwykłym rzędu p + r (p, r ∈ N0) wektorów losowych ξ i η nazywamy wartość oczekiwaną (jeśli istnieje) „zmiennej” losowej ξ p o ηr, gdzie operator „o” określony jest następująco: v p ⋅ wr ,. v *w , p. v p o wr =. r. ( (. w *v , vp , wr r. p. gdy p, r – liczby parzyste. gdy p – liczba parzysta, r – liczba nieparzysta gdy p – liczba nieparzysta, r – liczba parzysta. gdy p, r – liczby nieparzyste. Przyjmując dla oznaczenia momentu, o którym mowa w definicji 1, symbol mpr (ξ, η), mamy więc: E [ξp · ηr],. E [ξp * ηr],. m pr (ξ, η) = E [ηr ξp], * E. [( ([. ξ , ηr p. gdy p, r – liczby parzyste. gdy p – liczba parzysta, r – liczba nieparzysta gdy p – liczba nieparzysta, r – liczba parzysta gdy p, r – liczby nieparzyste. Załóżmy dodatkowo, że istnieją i są skończone wartości oczekiwane E(ξ) i E(η). Definicja 2. Momentem mieszanym centralnym rzędu p + r pary wektorów ξ i η nazywamy – jeżeli istnieje i jest skończona – wartość oczekiwaną funkcji losowej (ξ – E(ξ))p o (η – E(η))r i oznaczamy ją symbolem μpr(ξ, η).. Szczególne znaczenie (zarówno dla rozważań teoretycznych, jak i dla zastosowań) ma moment mieszany centralny dla p = r = 1, czyli:. μ11 (ξ, η) = E[(ξ – E(ξ)) | (η – E(η))].. Moment ten nazywamy także kowariancją wektorów losowych ξ oraz η i oznaczamy symbolem Cov(ξ, η). Prawdziwe jest następujące twierdzenie. *. Por. [Tatar 2002]..

(3) Miary zależności wektorów…. 55. Twierdzenie 1. Jeżeli wektory losowe ξ i η są niezależne, to Cov(ξ, η) = 0. W przywoływanej pracy [Tatar 2002] zdefiniowano podstawową miarę zależności wektorów losowych o tych samych wymiarach. Definicja 3. Współczynnikiem korelacji wektorów losowych ξ i η nazywamy wyrażenie: Cov(ξ, η) ρ ( ξ, η) = .. Var ξ ⋅ Var η Wykazano następnie prawdziwość następujących twierdzeń. Twierdzenie 2. Dla dowolnych m-wymiarowych wektorów losowych ξ i η, dla których Varξ � 0 i Var η � 0 zachodzą nierówności –1 ≤ ρ(ξ, η) ≤ 1. Twierdzenie 3. Jeżeli istnieje skalar a ∈ R oraz wektor v0 ∈ Rm, takie że η = = a * ξ + v0, to ρ2(ξ, η) = 1. Twierdzenie 4. Jeżeli dla m-wymiarowych wektorów losowych ξ i η zachodzi równość ρ2(ξ, η) = 1, to istnieją a ∈ R oraz v0 ∈ Rm, takie że P{η = a * ξ + v0} = 1. W dalszej części pracy prezentujemy zapowiadaną propozycję idących jeszcze dalej uogólnień rozważanych pojęć. 3. Propozycja Niech teraz ξ: Ω → Rm i η: Ω → Rn będą dowolnymi wektorami losowymi. Oznacza to, że dim ξ = m oraz dim η = n, przy czym niekoniecznie m = n. Niech ponadto dane będą macierze: A – wymiaru l × m i B – wymiaru l × n oraz dowolne liczby p, r ∈ N0 = N ∪ {0}. Definicja 4. (A,B)-momentem mieszanym zwykłym rzędu p + r pary wektorów losowych ξ i η nazywamy wartość oczekiwaną – jeżeli istnieje i jest skończona – postaci: AB m pr (ξ , η) = E[( Aξ ) p ( Bη)r ],. przy czym „o” jest operatorem określonym w definicji 1. Definicja 5. (A,B)-momentem mieszanym centralnym rzędu p + r pary wektorów losowych ξ i η nazywamy wartość oczekiwaną – jeżeli istnieje i jest skończona – postaci:.

(4) Jan Tatar. 56 p r μ AB pr (ξ , η) = E[( Aξ − AE (ξ )) o ( Bη − BE ( η)) ].. Nietrudno zauważyć, że – wobec określenia operatora „o” oraz wobec własności momentów łącznych wektora losowego – momenty mieszane są skalarami, gdy p i r są jednocześnie parzyste lub nieparzyste, oraz wektorami w pozostałych przypadkach. Zdefiniujemy teraz pojęcie kowariancji uogólnione na przypadek wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa w przestrzeniach o dowolnych wymiarach. Definicja 6. Jeżeli p = r = 1, to (A,B)-moment mieszany centralny nazywamy także (A,B)-kowariancją wektorów losowych ξ oraz η i oznaczamy symbolem CovAB(ξ, η). Jest zatem AB CovAB (ξ, η) = μ 11 (ξ, η) = E[( Aξ − AE (ξ )) ( Bη − BE ( η))].. Zwróćmy uwagę na szczególne przypadki kowariancji wektorów losowych: 1) jeżeli A jest macierzą wymiaru n × m, zaś B – macierzą jednostkową stopnia n (tzn. B = In), to: CovAI (ξ, η) = E[( Aξ − AE (ξ )) ( η − E ( η))],. 2) jeżeli A = Im oraz B jest macierzą wymiaru m × n, to: CovIB (ξ, η) = E[( ξ − E (ξ )) ( Bη − B ⋅ E ( η))]. Z jeszcze bardziej szczególną sytuacją mamy do czynienia, gdy ξ i η mają ten sam wymiar m oraz A = B = Im. Wówczas (A,B)-kowariancja wektorów ξ i η (dokładniej: (Im, Im)-kowariancja) jest postaci E[( ξ − E (ξ )) ( η − E ( η))], czyli jest po prostu kowariancją wektorów ξ i η oznaczaną klasycznie symbolem Cov (ξ, η). Jeszcze bardziej szczególnym przypadkiem jest sytuacja, gdy ξ = η. (A,B)-kowariancję nazywamy wówczas także (A,B)-wariancją wektora losowego ξ. Jeżeli A = B, to (A,B)-wariancję nazywamy A-wariancją wektora losowego ξ i oznaczamy symbolem VarAξ. Jeżeli ponadto A = B = Im, to A-wariancja jest po prostu wariancją wektora losowego ξ. Załóżmy teraz, że l-wymiarowe wektory losowe A ⋅ ξ i B ⋅ η mają niezerowe i skończone wariancje, tzn. 0 < VarA ξ < +∞ oraz 0 < VarB η < + ∞. Definicja 7. (A,B)-współczynnikiem korelacji wektorów losowych ξ oraz η nazywamy wyrażenie postaci:. ρAB (ξ , η) =. CovAB (ξ , η). . VarA ξ ⋅ VarB η .

(5) Miary zależności wektorów…. 57. W kolejnych trzech twierdzeniach sformułujemy i udowodnimy własności (A,B)-współczynnika korelacji wektorów losowych będące uogólnieniem powszechnie znanych własności współczynnika korelacji jednowymiarowych zmiennych losowych. Twierdzenie 5. Dla dowolnych wektorów losowych ξ i η oraz dla macierzy A i B, dla których VarAξ � 0 i VarBη � 0, zachodzą nierówności: −1 ≤ ρAB (ξ, η) ≤ 1. Dowód. Rozważmy formę kwadratową zmiennych x i y postaci:. {. }. F ( x, y) = E [ x ∗ ( Aξ − AE (ξ )) + y ∗ ( Bη − BE ( η))]2 . Jest zatem F ( x, y) = E [ x 2 ⋅ ( Aξ − AE (ξ ) Aξ − AE (ξ )) + 2 xy ⋅ ( Aξ − AE (ξ)) Bη − BE ( η)) + + y 2 ⋅ ( Bη − BE ( η) Bη − BE ( η)) ] = = x 2 ⋅ E [ ( Aξ − AE (ξ )) 2 [ + 2 xy ⋅ E [ ( Aξ − AE (ξ ) Bη − BE ( η)) [ + 2. + y 2 ⋅ E [( Bη − BE (η)) ] = = x 2 ⋅ VarA ξ + 2 xy ⋅ CovAB (ξ, η) + y 2 ⋅ VarB η. Ponieważ forma F jest nieujemnie określona, więc: czyli. 2 CovAB (ξ, η) − VarA ξ ⋅ VarB η ≤ 0,. − VarA ξ ⋅ VarB η ≤ CovAB (ξ, η) ≤. VarA ξ ⋅ VarB η.. Dzieląc ostatnie nierówności przez VarA ξ ⋅ VarB η otrzymujemy: −1 ≤ czyli żądane oszacowanie. CovAB (ξ, η). VarA ξ ⋅ VarB η. ≤ −1,. −1 ≤ ρ AB (ξ, η) ≤ 1.. Twierdzenie 6. Jeżeli dla wektorów losowych ξ: Ω → Rm oraz η: Ω → Rn istnieje macierz An × m oraz wektor v0 ∈ Rn, takie że η = A ⋅ ξ + v0, to ρAI (ξ, η) = 1..

(6) Jan Tatar. 58. Dowód. Zauważmy na początek, że z założenia η = A ⋅ ξ + v 0 wynika także równość: E(η) = A · E(ξ) + v0. Ponadto 2. 2. Var η = E [( Aξ + v0 − AE (ξ ) − v0 ) ] = E [ ( Aξ − AE (ξ )) ] = VarA ξ. Zatem ρAI (ξ, η) =. CovAI (ξ, η). VarA ξ ⋅ VarI η. =. E [ ( Aξ − AE (ξ )) ( Aξ − AE (ξ ))] VarA ξ ⋅ VarA ξ. =. VarA ξ = 1. VarA ξ. Interpretując udowodnioną powyżej tezę, można stwierdzić, że wartość (A,I)-współczynnika korelacji wektorów ξ i η równa jedności jest warunkiem koniecznym na to, aby η był afinicznym obrazem wektora losowego ξ. Twierdzenie 7. Jeżeli dla wektorów losowych ξ: Ω → Rm i η: Ω → Rn oraz dla pewnej macierzy An × m zachodzi nierówność ρ2AI (ξ, η) = 1 , to istnieje także wektor v0 ∈ Rn oraz macierz Bn × m, takie że P {η = B ⋅ ξ + v0 } = 1 . Dowód: Założenie ρ2AI (ξ, η) = 1 jest – na mocy definicji 7 – równoważne warunkowi: 2 CovAI (ξ, η) = 1, VarA ξ ⋅ VarI η. czyli także warunkowi: 2 4 CovAI (ξ, η) − 4VarA ξ ⋅ VarI η = 0.. Równość ostatnia oznacza, że istnieją x0, y0 ∈ R niebędące jednocześnie zerami, przy których forma kwadratowa F(x, y) przyjmuje wartość 0. Innym słowy: czyli. ∃(x0, y0) ∈ R2: (x0, y0) � (0, 0) ∧ F(x0, y0) = 0.. ∃(x0, y0) ∈ R2: (x0, y0) � (0, 0) ∧ x02 ⋅ VarA ξ + 2 x0 y0 ⋅ CovAI (ξ, η) + y02 ⋅ VarI η = 0.. Ponieważ powyższa równość oznacza, że:. {. }. E [ x0 ∗ ( A ⋅ ξ − A ⋅ E (ξ )) + y0 ∗ ( η − E ( η))]2 = 0,.

(7) Miary zależności wektorów…. 59. więc po to, by mogła być prawdziwa, musi zachodzić następujący związek: P { x0 ∗ ( A ⋅ ξ − A ⋅ E (ξ )) + y0 ∗ ( η − E ( η)) = 0} = 1. Jeżeli – nie tracąc na ogólności rozważań – przyjmiemy, że y0 � 0, to wyrażenie występujące „pod miarą” P w powyższym warunku można przekształcić tak, że: P η= −. x0 x ∗ ( A ⋅ ξ ) + E ( η) + 0 ∗ ( A ⋅ E (ξ )) = 1, y0 y0. lub nieco inaczej: P η= − Przyjmując B = −. x0 x ⋅ A ⋅ ξ + E ( η) + 0 ⋅ A ⋅ E (ξ ) = 1. y0 y0. x0 x ⋅ A oraz v0 = 0 ⋅ A ⋅ E (ξ ) + E ( η), dowodzimy słuszności żąday0 y0. nej tezy. Zauważmy, że twierdzenie 6 jest prawdziwe także wówczas, gdy w miejsce x macierzy A przyjmiemy B = − 0 ⋅ A , gdzie x0, y 0 oraz A są wielkościami, o któy0 rych mowa w dowodzie twierdzenia 7. Zatem: koniunkcja tez twierdzeń 6 i 7 dostarcza warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby między wektorami losowymi ξ i η zachodził związek afiniczny postaci η = B ⋅ ξ + v0. 4. Zakończenie Podsumowując dotychczasowe rozważania, zwróćmy jeszcze raz uwagę na to, że zaproponowane w niniejszej pracy miary zależności wektorów losowych o dowolnych (także różnych) wymiarach charakteryzują się analogicznymi własnościami jak ich odpowiedniki (będące w istocie ich szczególnymi przypadkami) dla rozkładów jednowymiarowych. W szczególności: (A,B)-współczynniki korelacji wektorów losowych ξ oraz η okazuje się miarą unormowaną oraz – co do wartości bezwzględnej – równą 1 tylko wówczas, gdy jeden z wektorów jest afinicznym obrazem drugiego. Otwartym problemem, którego rozważenie wydaje się nie tylko interesujące, ale wręcz konieczne, jest zbadanie innych (poza udowodnionymi w tej pracy) własności zaproponowanych miar oraz ich związków z wykorzystywanymi macierzami. Osobnym, niezwykle interesującym zagadnieniem byłoby nadanie tym macierzom odpowiedniej interpretacji. Sensowne jest bowiem oczekiwać, że ta.

(8) 60. Jan Tatar. ostatnia może być dokonana jedynie w kategoriach konkretnej rzeczywistości, którą opisują badane wektory losowe. Literatura Feller W. [1969], Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. 1 i 2, PWN, Warszawa. Fisz M. [1969], Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa. Tatar J. [1993], Moments of a Random Variable in a Hilbert Space, Discussion Paper, No. 1, Cracow Academy of Economics. Tatar J. [1996], O niektórych miarach rozproszenia rozkładów prawdopodobieństwa, „Przegląd Statystyczny”, z. 3/4. Tatar J. [2000a], Momenty absolutne wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa, Komisja Statystyczno-Demograficzna PAN, Oddział Kraków, 17 listopada 2000. Tatar J. [2000b], Nowa charakteryzacja wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa, Sprawozdanie z badań statutowych, umowa nr 92/KM/1/99/S, AE w Krakowie, Kraków. Tatar J. [2002], Nowe miary zależności wektorów losowych, Komisja Statystyczno-Demograficzna PAN, Oddział Kraków, 22 maja 2002. Measures of Different Dimensionals’ Random Vectors Dependence This paper defines mixed ordinary and central moments of any rank and correlation coefficient of two random vectors. However, no assumptions are made about the equality of their dimensions. These definitions generalise the concepts about vectors in the same Euclidean space earlier proposed by the author. The proposed measure of dependence has the same properties as the well-known Pearson’s correlation coefficient. Then the “matrix correlation coefficient” becomes a normalised measure and its absolute value is equal to 1 if and only if one of the vectors is the affinity transformation of the other..

(9)