Interaktywne wspomaganie wielokryterialnego wyboru decyzji

Streszczenie

W pracy przedstawiono metod interaktywnego wspomagania decydenta w po-dejmowaniu decyzji wielokryterialnych. Proces decyzyjny modeluje si przy pomocy optymalizacji wielokryterialnej. Metody optymalizacji wielokryterialnej nie daj jed-nego rozwizania, ale cały zbiór rozwiza. Metoda podejmowania decyzji polega na interaktywnym prowadzeniu procesu podejmowania decyzji. Wybór decyzji dokonuje si przez rozwizywanie problemu z parametrami sterujcymi, które ok-relaj aspiracje decydenta i ocenie otrzymywanych rozwiza. Decydent zadaje pa-rametr, dla którego wyznaczana jest decyzja Pareto-optymalna. Nastpnie ocenia otrzyman decyzj akceptujc j lub odrzucajc. W drugim przypadku decydent po-daje now warto parametru i problem jest rozwizywany ponownie dla nowego parametru. Proces wyboru decyzji nie jest procesem jednorazowym, ale iteracyjnym procesem uczenia si decydenta o problemie decyzyjnym. Stosujc ten sposób wy-boru decyzji decydent moe otrzyma tak decyzj, jak chce, a nawet j polepszy. Jak jaki poziom aspiracji jest niemoliwy do osignicia, to mona si do niego na-jlepiej przybliy.

Słowa kluczowe: optymalizacja wielokryterialna, rozwizanie optymalne w sensie Pareto, funkcja skalaryzujca, wspomaganie podejmowania decyzji

1. Wprowadzenie

W pracy przedstawiono metod interaktywnego wspomagania decydenta w podejmowaniu de-cyzji wielokryterialnych. Proces decyzyjny modeluje si przy pomocy optymalizacji wielokryte-rialnej. Metody optymalizacji wielokryterialnej nie daj jednego rozwizania, ale cały zbiór roz-wiza. Metoda podejmowania decyzji polega na interaktywnym prowadzeniu procesu podejmo-wania decyzji. Wybór decyzji dokonuje si przez rozwizywanie problemu z parametrami steruj-cymi, które okrelaj aspiracje decydenta i ocenie otrzymywanych rozwiza. Decydent zadaje parametr, dla którego wyznaczana jest decyzja Pareto-optymalna. Nastpnie ocenia otrzyman decyzj akceptujc j lub odrzucajc. W drugim przypadku decydent podaje now warto para-metru i problem jest rozwizywany ponownie dla nowego parapara-metru.

Proces podejmowania decyzji nie jest procesem jednorazowym, ale iteracyjnym procesem uczenia si decydenta o problemie decyzyjnym. Stosujc ten sposób wyboru decyzji decydent moe otrzyma tak decyzj, jak chce, a nawet j polepszy. Jak jaki poziom aspiracji jest nie-moliwy do osignicia, to mona si do niego najlepiej przybliy.

2. Modelowanie sytuacji decyzyjnej

Decyzj nazywamy wybór pomidzy wieloma moliwociami, które nazywa si opcjami (wa-riantami). Osob podejmujc decyzj nazywa si decydentem.

Problem przygotowania decyzji jest zazwyczaj znacznie bardziej złoony ni sam problem wy-boru midzy opcjami. Pocztkowo nie zna si zazwyczaj wszystkich opcji decyzyjnych, naley je samemu przygotowa; sam te proces przygotowania opcji wariantów decyzji jest czsto bardziej złoony i czasochłonny ni sam problem wyboru.

W modelu sytuacji decyzyjnej wyróniamy dwie czci – model rzeczowy i model preferencji. Schemat modelu procesu decyzyjnego przedstawia rysunek 1.

Rys.1. Modelowanie sytuacji decyzyjnej

Model rzeczowy to model wiedzy o danej sytuacji decyzyjnej. Jest to odwzorowanie decyzji w skutki. Model ten moe mie róne postacie: logiczne (reguły w bazie wiedzy) lub analityczne (równania rónych typów). Oprócz odwzorowania decyzje – skutki obejmuje take ograniczenia dopuszczalnoci decyzji.

Model preferencji to model celów. Model ten okrela, które decyzje decydent uwaa za lepsze, a które za gorsze. Jest to przekształcenie rezultatów osigalnych lub kryteriów w ich ocen.

Przyjmujemy nastpujce oznaczenia:

X

– przestrze decyzji,

X

X ⊂

₀ – zbiór decyzji dopuszczalnych,

0

X

x ∈

- decyzja dopuszczalna,

Y

– przestrze rezultatów, czyli skutków decyzji,

Y

y ∈

- rezultat decyzji,

Y

X

f

:

→

– odwzorowanie decyzje – skutki, które zawiera te reprezentacj niepewnoci,

Y

X

f

Y

₀

=

(

₀

)

⊃

– zbiór rezultatów dopuszczalnych,

Y

Q ⊂

– przestrzeni kryteriów lub wskaników jakoci,

0 0

Y

Q ⊂

– zbiór osigalnych wartoci kryteriów.

Wikszo problemów ma charakter wielokryterialny, czyli nie ma w nich jednego wskanika jakoci, którego optymalna warto zapewniłaby decyzj najlepsz. Decyzje s scharakteryzowane przez wiele kryteriów. Aby wyznaczy decyzj najlepsz naley stosowa metody optymalizacji wielokryterialnej, które pozwalaj wyznacza decyzje Pareto-optymalne.

Aby móc wspomaga proces decyzyjny naley mie informacj i dane o problemie, aby mona było weryfikowa decyzje. Decydent powinien sprawdza, czy decyzje, któr chce si stosowa s

Model rzeczowy Model preferencji x decyzje y skutki oceny q

dobre. Jzyk komunikacji systemu wspomagania podejmowania decyzji z uytkownikiem powinien by taki, aby był akceptowalny przez uytkownika. Jzykiem takim s wartoci wskanika jakoci. S to poziomy aspiracji dla poszczególnych wskaników jakoci – takie wartoci, które decydent chciałby osign. Te poziomy aspiracji nie s stałe, ale mog si zmienia w trakcie podejmowa-nia decyzji.

Decydent komunikuje si z systemem podejmowania decyzji w nastpujcy sposób – na wej-ciu podawana jest decyzja, a system odpowiada, jaki jest jej skutek.

Aby taki proces móc zaprogramowa stosuje si optymalizacj wielokryterialn [2], [8], [9]. Problem decyzyjny rozpatruje si jako zadanie optymalizacji wielokryterialnej z m wskanikami jakoci:

}

:

))

(

),...,

(

{(

max

f

₁

x

f

_m

x

x

X

₀ x

∈

₍₁₎ gdzie:

X

x ∈

– wektor zmiennych decyzyjnych,

)

,...,

(

f

₁

f

_m

f =

– funkcja wektorowa, która przyporzdkowuje kademu wektorowi zmien-nych decyzyjnych

x ∈

X

₀ wektor ocen

y =

f

(x

)

; poszczególne współrzdne

m

i

f

_i

,

=

1

,...,

reprezentuj skalarne funkcje ocen,

0

X

– zbiór decyzji dopuszczalnych.

Zadanie (1) polega na znalezieniu takiej decyzji dopuszczalnej

x ∈

X

₀ dla której m ocen przyjmuje jak najlepsze wartoci.

Zadanie (1) rozpatruje si w przestrzeni kryteriów [2], [8], [9]. Rozpatruje si nastpujce za-danie:

}

:

)

,...,

{(

max

q

₁

q

_m

q

Q

₀ x

∈

₍₂₎ gdzie:

X

x ∈

– wektor zmiennych decyzyjnych,

)

,...,

(

q

₁

q

_m

q =

– wektorowy wskanik jakoci, poszczególne współrzdne

m

i

q

_i

,

=

1

,...,

reprezentuj pojedyncze, skalarne kryteria,

0 0

Y

Q ⊂

– oznacza zbiór dopuszczalnych wskaników jakoci.

Funkcja

q

przyporzdkowuje kademu wektorowi zmiennych decyzyjnych

x

wektor kryte-riów

q ∈

Q

₀, który mierzy jako decyzji

x

z punktu widzenia ustalonego układu wskaników jakoci

q

₁

,...,

q

_m. Obraz zbioru dopuszczalnego

X

dla funkcji

q

stanowi zbiór osigalnych wektorów kryteriów

Q

₀. Celem zadania jest wybór decyzji najlepszej.

3. Optymalno
w sensie Pareto

W optymalizacji wielokryterialnej wany jest nie cały zbiór

Q

₀, ale tylko jego odpowiednia cz. Interesujce s nie wszystkie elementy zbioru

Q

₀, ale tylko elementy niezdominowane, czyli tak zwane rezultaty Pareto-optymalne.

Rezultaty niezdominowane (Pareto-optymalne) s definiowane w nastpujcy sposób:

}

=

Q

)

D

+

q

(

:

Q

q

{

=

Q

ˆ

₀

ˆ

∈

₀

ˆ

~

∩

₀

∅

)

₍₃₎

gdzie:

D =

~

D

\

{

0

}

– stoek dodatni bez wierzchołka. Jako stoek dodatni mona przyj

m

R

D

=

+

~

[5], [6], [7], [8].

Rezultaty Pareto-optymalne to takie, w których nie mona poprawi jednego wskanika jakoci bez pogarszania wskaników pozostałych.

W przestrzeni decyzji okrela si odpowiednie decyzje dopuszczalne. Decyzj

x ∈

ˆ

X

₀ nazy-wa si decyzj efektywn (Pareto-optymaln), jeli odpowiadajcy mu wektor kryteriów

qˆ

jest wektorem niezdominowanym.

4. Skalaryzacja problemu

Metod wyznaczania poszczególnych decyzji efektywnych i kryteriów Pareto-optymalnych jest rozwizywanie parametrycznej skalaryzacji zadania wielokryterialnego. Jest to zadanie optymali-zacji jednokryterialnej specjalnie utworzonej funkcji skalaryzujcej dwóch zmiennych - wskanika jakoci

q ∈

Q

i parametru sterujcego

q

∈

Ω

⊂

R

m o wartoci rzeczywistej tzn. funkcji

1

:

Q

R

s

×

Ω

→

. Parametr

q

jest w dyspozycji uytkownika, co umoliwia mu przegldanie zbioru rozwiza wielokryterialnych [2], [8].

Aby wyznaczy rozwizanie Pareto-optymalne zadania wielokryterialnego rozwizuje si ska-laryzacj tego zadania z funkcj skalaryzujc

s

:

Q

×

Ω

→

R

1:

}

:

)

,

(

{

max

0 o X x

s

q

q

x

X

∈

∈ (4)

Rozwizanie optymalne zadania (4) powinno by rozwizaniem zadania wielokryterialnego – zadania (2).

Funkcja skalaryzujca powinna charakteryzowa si dwiema własnociami: własno wystar-czalnoci i własnoci zupełnoci [5], [7], [8].

Własno wystarczalnoci – kady punkt maksymalny takiej funkcji wzgldem

q

jest zawarty w zbiorze

Q

ˆ

₀, tzn.

0 0

ˆ

max

Q

q

Q

)

q

s(q,

Arg

∈

∈

(5)

gdzie: Argmax oznacza zbiór wszystkich punktów maksymalnych danej funkcji;

Własno zupełnoci – za pomoc odpowiednich zmian

q

mona osign dowolny rezultat

qˆ

, tzn. dla kadego

q ∈

ˆ

Q

ˆ

₀ istnieje takie

q

, e:

0 0

ˆ

ˆ

max

ˆ

Q

q

Q

)

q

s(q,

Arg

q

∈

∈

∈

(6)

Funkcja skalaryzujca majca własno wystarczalnoci i własno zupełnoci w pełni charak-teryzuje rozwizania optymalne. Kade maksimum takiej funkcji jest rozwizaniem Pareto-optymalnym. Kade rozwizanie Pareto-optymalne mona osign przyjmujc odpowiedni po-ziom aspiracji

q

[5], [6], [7], [8].

W pracy stosuje si specjaln funkcj skalaryzujc tzw. funkcj osignicia zgodn z porzd-kiem. Skalaryzujca funkcja osignicia została zaproponowana przez A. P. Wierzbickiego [6], [7]. Funkcja ta pozwala na wykorzystywanie dowolnego punktu odniesienia jako parametru steru-jcego, interpretowanego jako punkt aspiracji

q ∈

R

m,

q =

(

q

₁

,...,

q

_m

)

, gdzie

q

_i s pozioma-mi aspiracji dla poszczególnych kryteriów

i

=

1

,...,

m

_.

Funkcja ta ma nastpujc posta:

¦

= ≤ ≤

−

⋅

+

−

=

m i i i i i m i

q

q

i

q

q

i

q

q

s

1 1

(

)

(

)

min

)

,

(

ε

₍₇₎ gdzie:

)

,...,

(

q

₁

q

_m

q =

– wektorowy wskanik jakoci,; poszczególne współrzdne

m

i

q

_i

,

=

1

,...,

_{reprezentuj pojedyncze, skalarne kryteria,}

i

q

– poziomy aspiracji dla poszczególnych kryteriów

i

=

1

,...,

m

_,

ε

_{– arbitralnie mały, dodatni parametr regularyzacyjny.}

Maksymalizacja takiej funkcji ze wzgldu

q ∈

Q

₀ wyznacza rozwizanie Pareto-optymalne

qˆ

i generujc j decyzj Pareto-optymaln

xˆ

. Wyznaczone rozwizanie Pareto-optymalne

qˆ

zale-y od wartoci poziomów aspiracji

q

_i

,

i

=

1

,...,

m

[2], [6], [7], [8].

Wartoci maksymalne tej funkcji mog by wykorzystywane nie tylko do obliczania rozwiza Pareto-optymalnych, lecz take dla oceny osigalnoci danego punktu aspiracji

q

. Wartoci funk-cji osignicia s równe zeru dla

q =

q

, dodatnie dla

q

=

q

−

D

~

_{i ujemne dla}

_q

=

_q

+

_D

~

_.

Jeli maksimum funkcji osignicia jest ujemne, to punkt aspiracji

q

nie jest osigalny, a punkt

qˆ

jeli maksimum funkcji osignicia jest równe zero, to punkt aspiracji

q

jest osigalny i Pareto-optymalny; jeli maksimum funkcji osignicia jest dodatnie, to punkt aspiracji

q

jest osigalny, a punkt

qˆ

jest rozwizaniem Pareto-optymalnym w pewnym sensie równomiernie polepszonym w stosunku do punktu

q

.

5. Interaktywna metoda wyboru decyzji efektywnych

Metoda wyboru decyzji oparta jest na przemiennym wykorzystaniu kroków oblicze (dajcych kolejne rozwizania) i kroków dialogu (bdcych ródłem dodatkowych informacji o preferencjach decydenta). Decydent ma w ten sposób wpływ na przebieg kolejnych oblicze.

Rozwizaniem zadania optymalizacji wielokryterialnego jest cały zbiór rozwiza efektyw-nych. W celu rozstrzygnicia danego problemu decyzyjnego naley wybra jedn decyzj do reali-zacji. Zbioru decyzji Pareto-optymalnych nie mona traktowa jako ostatecznego rozwizania problemu decyzyjnego. Relacja preferencji decydenta nie jest znana a priori, wic wyboru rozwi-zania moe dokona jedynie decydent Ze wzgldu na to, e rozwizaniem Pareto-optymalnym jest cały zbiór rozwiza, decydent powinien dokonywa wyboru decyzji przy pomocy interaktywnego systemu komputerowego. System taki umoliwia sterowany przegld zbioru rozwiza. Na pod-stawie podawanych przez decydenta wartoci parametrów sterujcych system przestawia róne rozwizania efektywne do analizy odpowiadajce biecym wartoci parametrów sterujcych. Przetwarza dane i dostarcza odpowiedniej informacji decydentowi. System pozwala sprawdzi skutki kadej decyzji dopuszczalnej oraz pomaga w znalezieniu decyzji, która jest najlepsza dla osignicia celów podawanych przez decydenta.

Metoda wyboru decyzji jest metod iteracyjn polegajc na przemiennym wykonywaniu: • _{oblicze – dajcych kolejne rozwizania Pareto-optymalne;}

• _{dialogu z decydentem – interakcja z decydentem, dostarczajca dodatkowe informacje} o preferencjach decydenta.

Decydent rozwizujc problem decyzyjny przy pomocy funkcji skalaryzujcej (7) okrela po-ziomy aspiracji, jako podane wartoci poszczególnych kryteriów. Jeeli wartoci kryteriów nie osigaj poziomów aspiracji, to decydent stara si znale rozwizanie lepsze. Jeeli wartoci pewnych kryteriów osignły odpowiednie poziomy aspiracji, to decydent koncentruje uwag na poprawie wartoci tych kryteriów, które nie osignły swoich poziomów aspiracji. Gdy wszystkie kryteria osign załoone poziomy aspiracji, to decydent jest zainteresowany dalsz popraw kry-teriów, o ile jest to moliwe. Parametr sterujcy w postaci poziomów aspiracji jako punkt odnie-sienia w przestrzeni ocen jest dogodny dla decydenta, gdy reprezentuje rozumiane przez decyden-ta wielkoci rzeczywiste charakteryzujce jego preferencje [5], [6], [7], [8].

Rys.2. Sposób podejmowania decyzji

Taki sposób podejmowania decyzji nie narzuca decydentowi adnego sztywnego scenariusza analizy problemu decyzyjnego i dopuszcza moliwo modyfikacji jego preferencji w trakcie ana-lizy problemu. W tym sposobie podejmowania decyzji uytkownik spełnia rol nadrzdn. Kom-puter nie zastpuje uytkownika w podejmowaniu decyzji. Całym procesem podejmowania decyzji steruje uytkownik.

6. Zakoczenie

W pracy przedstawiono metod wyboru decyzji wielokryterialnych. W proponowanym sposo-bie postpowania decydent spełnia rol nadrzdn.

Proces podejmowania decyzji nie jest aktem jednorazowym, ale procesem iteracyjnym i dokonuje si w nastpujcy sposób:

a) uytkownik okrela poziomy aspiracji

q

_i

,

i

=

1

,...,

m

_i dla poszczególnych rezul-tatów decyzji. Te poziomy aspiracji s okrelane adaptacyjnie w procesie uczenia si, b) wybór decyzji nie jest pojedynczym aktem optymalizacji, ale dynamicznym procesem

poszukiwania rozwiza, w trakcie, którego uytkownik uczy si i moe zmieni swoje preferencje,

c) proces ten koczy si, gdy uytkownik znajdzie tak decyzj, która pozwala na osi-gnicie rezultatów spełniajcych jego aspiracje lub w pewnym sensie najbliszych do tych aspiracji.

Metoda nie zastpuje decydenta w podejmowaniu decyzji. Całym procesem podejmowania de-cyzji steruje decydent. Ostateczny wybór dede-cyzji naley do decydenta.

Model procesu decyzyjnego decydent

Bibliografia

1. Findeisen W., Szymanowski J., Wierzbicki A., P. Teoria i metody obliczeniowe optymalizacji. PWN, Warszawa, 1977.

2. Lewandowski A. and Wierzbicki A. eds. Aspiration Based Decision Support Systems. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Vol. 331, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1989.

3. Łodziski A The use of reference objectives for selecting polyoptimal control in multistage process. System Analysis Modelling Simulation. Vol. 8. Akademie Verlag Berlin, 1991. 4. Łodziski A. Interaktywne wielokryterialne sterowanie procesem wieloetapowym. Zeszyty

Naukowe WSI w Łodzi, Teoria i Zastosowanie Informatyki Nr 2, (in Polish), 2003.

5. Ogryczak W. Wielokryterialna optymalizacja liniowa i dyskretna. Wydawnictwa UW, War-szawa r. 1997.

6. Wierzbicki A. The use of reference objectives in multiobjective optimization. In G. Fandel, T. Gal (eds): Multiple Criteria Decision Making; Theory and Applications, Lecture Notes in Economic and Mathematical Systems Vol. 177, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1980. 7. Wierzbicki A. On the completeness and constructiveness of parametric characterizations to

vector optimization problems OR-Spektrum, Vol. 8, 1986.

8. Wierzbicki A., Makowski N., Wessels J. Model_Based Decision Support Methology with En-vironmental Applications, IIASA Kluwer, Laxenburg Dordrecht 2000.

9. Wierzbicki A., P., J. Granat Optymalizacjia we Wspomagamiu Decyzji. (maszynopis) 2003.

INTERACTIVE DECION MULTICRITERIA SUPPORT SYSTEM

Summary

Inteactive desion support system has been presented in this paper. Methods of multiobjective optimalization do not give one unique solution, but a whole set of them. A decision making relies on interactive conducting of the decision making process. Selection of given decision is made by way of solving a problem with pa-rameters defining user’s aspirations and the evaluation of obtained results.

Keywords: multicriteria optimization, scalarization function , optimality in a Pareto sense, multic-riteria decision making.

Andrzej Łodziski

alodzinski@mors.sggw.waw.pl

Katedra Ekonometrii i Informatyki, Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego ul. Nowoursynowska 159, 02-787 Warszawa