Zad.2 Okre±li¢ rodzaj osobliwo±ci funkcji a) f(z

Analiza zespolona 2019/2020

Zadania domowe - cz¦±¢ 3

Szeregi Laurenta, punkty osobliwe, caªki Zad.1 Wyznaczy¢ wszystkie osobliwo±ci w C funkcji

a) f(z) = sin z sinh z^{cos z}

b) f(z) = _(z+^πitghz

2)(z−^3πi₂ )

c) f(z) = tg²(z)

i okre±li¢ ich rodzaj (w przypadku biegunów poda¢ rz¡d).

Zad.2 Okre±li¢ rodzaj osobliwo±ci funkcji a) f(z) = _{cosh z−1}¹ − _z²2 w z0 = 0 b) tan(z) − _z−^1π

2 w z0 = π/2

i wyznaczy¢ residuum funkcji w tym punkcie.

Zad.3 Wyznaczy¢ wszystkie osobliwo±ci w C funkcji a) ¹_ze^1z

b) _z¹²e^1z c) z³cos(¹_z).

okre±li¢ ich rodzaj oraz wyznaczy¢ residuum funkcji w tych punktach. Jak¡ osobliwo±¢

ma funkcja f(z) = tg(z) w z0 = ∞ ?

Zad.4 Niech f(z) = _z(1−z)¹ . Rozwin¡¢ f(z) w szereg Laurenta w pier±cieniu: (a) P (0, 0, 1), (b) P (0, 1, ∞).

Zad.5 Niech f(z) = _z(1−z)¹ 2. Rozwin¡¢ f(z) w szereg Laurenta w pier±cieniu P (1, 0, 1) = {z ∈ C : 0 < |z − 1| < 1}.

Zad.6 Niech f(z) = _{sin z}¹ . Wykaza¢, »e szereg Laurenta f(z) ma posta¢ f(z) = ¹_z +^z₆ + O(z³) dla maªych |z| 6= 0. Wywnioskowa¢ st¡d posta¢ szeregu Laurenta f w nakªutym otoczeniu z0 = kπ, k ∈ Z \ {0}.

Zad.7 Niech f(z) = ctgz. Wykaza¢, »e szereg Laurenta f(z) ma posta¢ f(z) = ¹_z − ^z₃ + O(z³) dla maªych |z| 6= 0.

Zad.8 Wyznaczy¢ cz¦±¢ gªówn¡ szeregu Laurenta w nakªutym otoczeniu punktu z0 = 0 dla podanych funkcji i okre±li¢ rodzaj osobliwo±ci funkcji f w punkcie z0

(a) f (z) = 1

sinh z − sin z, (b) f (z) = cosh z

z²sinh z (c) f (z) = cos z e^z− 1 − z.

1

2

Zad.9 Korzystaj¡c z rozwini¦cia funkcji f(z) = sin ¹_z

w szereg Laurenta w C \ {0}

wykaza¢, »e dla dowolnego n ∈ N ∪ {0}

Z

C(0,1)

z²ⁿsin(1

z)dz = (−1)ⁿ2πi (2n + 1)!. Zad.10 Niech

f (z) = cosh(z²) − 1 z²¹ .

Rozwin¡¢ funkcj¦ f w szereg Laurenta w s¡siedztwie punktu z = 0 (okre±laj¡c cz¦±¢

gªówn¡ i cz¦±¢ regularn¡) i poda¢ obszar zbie»no±ci otrzymanego szeregu. Nast¦pnie obliczy¢ H_γf (z)dz, gdzie γ jest dodatnio zorientowan¡ gªadk¡ krzyw¡ obiegaj¡c¡ punkt z = 0 zawart¡ w obszarze zbie»no±ci szeregu.

Zad.11 Funkcj¦ z⁸sin(1/z) rozwin¡¢ w szereg Laurenta w punktach z0 = 0 i z1 = ∞. Znale¹¢ obszary zbie»no±ci otrzymanych szeregów, okre±li¢ rodzaje osobliwo±ci i wyzna- czy¢ residuum funkcji w tych punktach.

Zad.12 Funkcj¦ _z¹⁸ cos z(z) rozwin¡¢ w szereg Laurenta w punktach z0 = 0 i z1 = ∞. Znale¹¢ obszary zbie»no±ci otrzymanych szeregów, okre±li¢ rodzaje osobliwo±ci i wyzna- czy¢ residuum funkcji w tych punktach.

Zad.13 Gaª¡¹ gªówn¡ funkcji z⁸artgh(1/z)(area tanges hiperboliczny) rozwin¡¢ w szereg Laurenta w punkcie z0 = ∞. Znale¹¢ obszar zbie»no±ci otrzymanego szeregu, okre±li¢

rodzaj osobliwo±ci w z0 i wyznaczy¢ residuum funkcji w tym punkcie.

Zad.14 Niech f ∈ H(P (z0, 0, r)) (r > 0) i f ma w z0 biegun rz¦du m ≥ 1. Wyka- za¢, »e je±li f(z) = _(z−z^g(z)₀₎^m dla z ∈ P (z0, 0, r), gdzie g ∈ H(D(z0, r)) i g(z) 6= 0 w D(z₀, r⁰) ⊂ D(z₀, r), to resz0f (z) = _(m−1)!¹ g^(m−1)(z₀).

Zad.15 Obliczy¢

Z

C(i,2)

 e^z

(z²+¹₄) + sin z

(z − i)³ + z cos z

 dz.

Zad.16 Korzystaj¡c z twierdzenia o residuach obliczy¢ R₀^2π _{5+4 sin ϕ}^dϕ .

Zad.17 Korzystaj¡c z twierdzenia o residuach wykaza¢, »e dla a > 1 R₀^π _{a+cos ϕ}^dϕ = ^√π

a²−1. Zad.18

a) Wyznaczy¢ cz¦±¢ gªówn¡ szeregu Laurenta funkcji f(z) = πz⁻²ctgh(πz)w punkcie z₀ = 0

b) Policzy¢ caªk¦ z funkcji πz⁻²ctgh(πz) po konturze b¦d¡cym brzegiem kwadratu o wierzchoªkach w (±1 ± i)(N + ¹₂).

c) Wykaza¢, »e istnieje staªa C < ∞ taka, »e |ctgh(πz)| ≤ C dla z nale»¡cych do brzegów kwadratów zdeniowanych w (b) (dla ka»dego N).

d) Wykaza¢, »e P^∞_n=1n¹² = ^π₆.

3

Zad.19 Wykaza¢, »e P^∞_{n=−∞ n}2¹+1 = πctghπ. Wskazówka Rozwa»y¢ funkcj¦ f(z) = _z2¹+1ctg(πz). Zad.20 Wykaza¢, »e P^∞_n=0(2n+1)^{1 2} = ^π₈².

Wskazówka Rozwa»y¢ funkcj¦ f(z) = _(2z+1)¹ 2ctg(πz).

Zad.21 Obliczy¢ R_{ΓR 1+z}¹4dz, gdzie ΓR jest brzegiem odpowiednio dobranego sektora o k¡cie równym π/2, R > 0. Nast¦pnie obliczy¢ R₀^∞ _1+x^{1 4}dx.

Zad.22 Niech f(z) = ^1−e_z^22iz. Caªkuj¡c funkcj¦ f po odpowiednio dobranym konturze obliczy¢ R₀^∞sin_x²2^xdx.

Zad.23 Wykaza¢

a) Z ∞

−∞

1

(x²+ x + 1)²dx = 4π 3√

3, b) Z ∞

−∞

cos x

x²+ a²dx = π

ae^−a, (a > 0), c)

Z ∞ 0

x³sin x

(1 + x²)²dx = π 4e. ODPOWIEDZI

Zad.1

a) W punkcie z0 = 0 funcja ma biegun rz¦du 2, w punktach zk = kπ i zl = lπi dla k, l ∈ Z \ {0} ma bieguny rz¦du 1.

b) W punktach z−1 = −^π₂i i z1 = ^3π₂ i funcja ma biegun rz¦du 2, w punktach zk = (k + ¹₂)πi dla k ∈ Z \ {±1} ma bieguny rz¦du 1.

c) W punktach zk = (k +¹₂)πi, k ∈ Z funkcja ma bieguny rz¦du 2.

Zad.2 W punktach (a) i (b) funkcja ma pozorn¡ osobliwo±¢ w z0, st¡d residuum wynosi 0.Zad.3

a) W punkcie z0 = 0 funkcja ma istotn¡ osobliwo±¢, resz0=0f = 1, w z1 = ∞ ma pozorn¡ osobliwo±¢, resz1=∞f = −1.

b) W punkcie z0 = 0 funkcja ma istotn¡ osobliwo±¢, resz0=0f = 0, w z1 = ∞ ma pozorn¡ osobliwo±¢, resz1=∞f = 0

c) W punkcie z0 = 0 funkcja ma istotn¡ osobliwo±¢, resz0=0f = _4!¹, w z1 = ∞ ma biegun rz¦du 3, resz1=∞f = −_4!¹.

Funkcja f(z) = tg(z) w z0 = ∞ nie ma osobliwo±ci izolowanej.

Zad.4

a) f(z) = _z(1−z)¹ =P∞

n=−1zⁿ w P (0, 0, 1).

b) f(z) = _z(1−z)¹ = −P−2

n=−∞zⁿ w P (0, 1, ∞).

Zad.5 f(z) = _z(1−z)¹ 2 =P∞

n=−2(−1)ⁿ(z − 1)ⁿ w P (1, 0, 1).

Zad.6 Zauwa»y¢, »e sin z = (−1)^ksin(z − kπ) dla k ∈ Z i dla z ∈ C. Korzystaj¡c z tej wªasno±ci pokaza¢, »e rozwini¦cie funkcji sin z w otoczeniu z0 = kπ ma posta¢

4

sin z = (−1)^kP∞ n=0

(−1)ⁿ

(2n+1)!. Zatem szereg Laurenta funkcji f(z) = _{sin z}¹ wokóª z0 = kπ ma posta¢ f(z) = (−1)^k(_z−kπ¹ +^z−kπ_3! + O((z − kπ)³)).

Zad.8 (a) _z³³, (b) _z¹³ +_3z¹ , (c) _z²² −_3z².

Zad.10 f(z) = P^∞_k=1^z_(2k)!^4k−21 = _z17¹2! + _z13¹4! + _z9¹6! + _z5¹2! + _z(10)!¹ +P∞ n=6

z⁴ⁿ⁻²¹

(2n)! , obszar zbie»no±ci to C \ {0}, R_γf (z)dz = ^2πi_10! (skorzysta¢ z przykªadu podstawowego).

Zad.11 W punkcie z0 = 0 funkcja ma istotn¡ osobliwo±¢, f (z) = z⁷ −z⁵

3! + z³ 5! − z

7! +

∞

X

k=0

(−1)^k (2k + 9)!z^2k+1

w C\{0}, res0f = _9!¹, cz¦±¢ gªówna P^∞_{k=0 (2k+9)!z}^(−1)k2k+1 jest zbie»na w C\{0}, cz¦±c regularna z⁷ −^z_3!⁵ +^z_5!³ −_7!^z jest zbie»na w C. W punkcie z0 = ∞funkcja ma biegun rz¦du 7,

f (z) = z⁷ −z⁵ 3! + z³

5! − z 7! +

∞

X

k=0

(−1)^k (2k + 9)!z^2k+1

w C \ {0}, res∞f = −_9!¹, cz¦±¢ gªówna z⁷−^z_3!⁵ +^z_5!³ −_7!^z jest zbie»na w C, cz¦±¢ regularna P∞

k=0

(−1)^k

(2k+9)!z^2k+1 jest zbie»na w C \ {0}.

Zad.12 W punkcie z0 = 0 funkcja ma biegun rz¦du 8, f (z) = 1

z⁸ − 1

2!z⁶ + 1

4!z⁴ − 1 6!z² +

∞

X

k=0

(−1)^kz^2k (2k + 8)!

w C \ {0}, res0f = 0, cz¦±c gªówna f(z) = _z¹8 − _2!z¹6 +_4!z¹4 − _6!z¹2 jest zbie»na w C \ {0}, cz¦±¢ regularna P^∞_k=0 ⁽⁻¹⁾_(2k+8)!^kz2k jest zbie»na w C. W punkcie z0 = ∞ funkcja ma istotn¡

osobliwo±¢,

f (z) = 1 z⁸ − 1

2!z⁶ + 1

4!z⁴ − 1 6!z² + 1

8!+

∞

X

k=1

(−1)^kz^2k (2k + 8)!

w C \ {0}, res∞f = 0, cz¦±c gªówna P^∞_k=1 ⁽⁻¹⁾_(2k+8)!^kz2k jest zbie»na w C, cz¦±¢ regularna f (z) = _z¹8 −_2!z¹6 +_4!z¹4 − _6!z¹2 + _8!¹ jest zbie»na w C \ {0}.

Zad.13 W punkcie z0 = ∞ma biegun rz¦du 7 f (z) = z⁷+z⁵

5 + z³ 5 + z

7 +

∞

X

n=0

1 (2n + 9)z²ⁿ⁺¹

w {z ∈ C : |z| > 1}, res^∞(f ) = −¹₉, cz¦±¢ gªówna z⁷+^z₅⁵+^z₅³ +^z₇ jest zbie»na w C, cz¦±¢

regularna P^∞_{n=0 (2n+9)z}¹ 2n+1 jest zbie»na w {z ∈ C : |z| > 1}.

Zad.15 Skorzysta¢ z twierdzenia o residuach; 2πi

e²ⁱ

i + ^{e− i}_−i² +¹₂(− sin i) . Zad.16 ²₃π.

Zad.21 Do obliczenia pierwszej caªki wykorzysta¢ twierdzenie o residuach. Caªkowa¢ po krzywej ΓR b¦d¡c¡ brzegiem k¡ta {z = re^it : t ∈ [0,^π₂], r ∈ [0, R]}. Caªka po cz¦±ci okr¦gu C(0, R) zbiega do 0 przy R → ∞. St¡d (1 − i)I = 2πirese^iπ/4 1

1+z⁴, zatem I = ₂^√π₂. Zad.22 ^π₂.