Z E S Z Y T Y N A U K O W E PO LITEC H N IK I ŚLĄSKIEJ Seria: A U TO M A T Y K A , z. 119
________1996 N r kol. 1339
T adeusz SZK O D N Y , M ieczysław JA GO DZŃ SKI, Piotr LEG IEĆ, K rzysztof PIE T R E K Politechnika Śląska
K IN E M A T Y K A C Z Ł O N Ó W M A N IP U L A T O R A R O B K O -O l
S treszczen ie. W pracy tej przedstaw iono strukturę kinem atyczną m anipulatora R O B K O -O l i rów nania kinematyki członów tego m anipulatora. Z poszczególnym i członam i i chw ytakiem skojarzono układy w spółrzędnych zgodnie z zapisem H artenberga-D enavita. O pracow ano rów nania kinematyki ruchu poszczególnych czło n ó w w zględem członów sąsiednich i ruchu chw ytaka w zględem każdego z czło n ó w i podstaw y manipulatora. W rów naniach tych zastosow ano m acierze jed n o ro d n e. O pisano w spółrzędne naturalne członów i chw ytaka oraz w yznaczono zakresy ich zmian. W yznaczono także wartości param etrów H artenberga-D enavita w ystępujących w rów naniach kinematyki tego manipulatora.
K IN E M A T IC S O F R O B K O -O I M A N IP U L A T O R S L IN K S
S u m m a ry . K inem atic structure o f ROBKO-Ol m anipulator and kinem atic equations o f links o f this manipulator are presented. Each link and g ripper are connected w ith a p p ro p ria te frame in compliance with D enavit-H artenberg notation.
K inem atics equations o f m otion o f each link in relation to the next links and kinem atics equations o f m otion o f gripper in relation to each link and the base o f m anipulator are elaborated. H om ogeneous matrices in these equations are com plied. N atural coordinates o f links and gripper are defined and illustrated. C hange ranges o f natural coordinates o f links and gripper are calculated. N um erical values o f D enavit- H artenberg param eters w hich occur in kinematic equation o f this m anipulator are also calculated.
1. W s tę p
P rzedstaw iony tu opis kinematyki m anipulatora ROBKO-Ol jest wynikiem prac zm ierzających do kom puterow ego sterowania jeg o ruchem. R obot ten jest przeznaczony do celów edukacyjnych i stanow i wyposażenie laboratorium dydaktycznego w Z akładzie R obotyki i Autom atyzacji Procesów Dyskretnych Politechniki Śląskiej. O program ow anie d ostarczo n e przez producenta nie pozw ala na autom atyczne pozycjonow anie m anipulatora do p unktów , których wcześniej nie osiągnął [6], Prow adzone nad tym robotem prace skupiają się n a zaprojektow aniu program u dla kom puterów klasy PC, sterującego tym m anipulatorem .
206 T. Szkodny. M. Jagodziński. P. L eaieć. K .Pietrek
P rogram ten umożliwi autom atyczne pozycjonowanie do zadanych punktów , których wcześniej m anipulator nie osiągnął. Punkty te będą zadaw ane z klaw iatury za p o m o cą w spółrzędnych kartezjańskich położenia i kątów Eulera opisujących orientację m anipulatora [1,2,3,4]. W spółrzędne te i kąty opisywać będą punkty zadane w zględem stanow iska m anipulatora, stołu obrotow ego i taśmy transportowej. Stół obrotow y i taśm a transportera m o g ą być sterow ane przez program sterujący pracą manipulatora. Z adanie proste kinem atyki je st p o d staw ą do rozw iązania zadania odw rotnego kinematyki w postaci ciągłej [1,2,3,4,5], które um ożliw ia obliczanie wartości zadanych w spółrzędnych naturalnych [1,4,5]
odpow iadających zadanem u punktow i w przestrzeni kartezjańskiej.
W drugim punkcie przedstaw iono zadanie proste kinematyki tego m anipulatora.
W trzecim punkcie sform ułow ano wnioski.
2. Z a d a n ie p ro s te k in e m a ty k i
Podczas rozw iązyw ania zadań z zakresu robotyki najczęściej interesującym zagadnieniem jest w zajem ne położenie wielu różnych ciał fizycznych w przestrzeni. T akże rozw iązanie niniejszego zadania polega na znalezieniu opisu w zajem nego położenia członów m anipulatora i ich położenia względem jego podstawy w dowolnej chwili czasu. W celu sform ułow ania w zo ró w matematycznych opisujących tego rodzaju zależności najw ygodniej je s t z każdym rozpatryw anym ciałem skojarzyć prostokątny układ w spółrzędnych zw iązany z nim „na sztyw no” . D zięki tem u w zajem ne położenie i orientację rozpatryw anych ciał m ożna przed staw ićjak o w zajem ne położenie i orientację związanych z nimi układów w spółrzędnych.
A ponadto zw iązki każdych dw óch obiektów m ożna rozpatryw ać niezależnie od innych ciał znajdujących się w tej samej przestrzeni, opisując jedynie związki między skojarzonym i z nimi układam i w spółrzędnych w zględem układu w spółrzędnych zw iązanego z jednym z tych ciał.
Jest to udogodnienie szczególnie cenne w przypadku m anipulatorów przem ysłow ych, gdyż stanow ią one tzw. łańcuchy kinem atyczne, czyli zbiór sztywnych członów połączonych ze so b ą w sposób ruchom y. T akie ruchom e połączenia między członam i nazyw am y param i kinem atycznym i. W zależności od sposobu połączenia między sąsiednimi członam i i rodzaju ruchu, jak i w ykonują one w zględem siebie, rozróżniam y dw a rodzaje par kinem atycznych :
• o brotow e, czyli takie, w których jeden z połączonych członów obraca się w zględem drugiego o pew ien kąt w okół pewnej prostej - osi obrotu, tzw . osi pary kinem atycznej. K ąt ten nazyw am y w spółrzędną naturalną pary obrotowej;
K inem atyka czło n ó w m anipulatora Robko 01 207
• przesuw ne, czyli takie, w których jeden z połączonych członów przesuw a się w zględem drugiego w zdłuż prostej - osi pary kinematycznej, o pew ien odcinek. O dcinek ten nazyw am y w spółrzędną naturalną pary przesuwnej. Wyżej opisane podejście do zagadnienia pow oduje konieczność w prow adzenia dużej liczby różnych układów w spółrzędnych o raz opisania zw iązków między nimi.
W celu ułatw ienia i sformalizowania zapisu stosuje się zasady doboru układów w spółrzędnych do poszczególnych elem entów m anipulatora i innych elem entów przestrzeni roboczej, o raz opisu zw iązków pom iędzy nimi. Zasady te w literaturze znane są pod n azw ą notacji H arten b erg a i Denavita.
W ed łu g tego zapisu każde przekształcenie jednego układu w spółrzędnych w drugi zapisuje się jak o m acierz. Jeżeli mamy do czynienia z przekształceniem złożonym , to m ożna je opisać za p o m o cą iloczynu macierzy przekształceń podstawowych. Zazwyczaj m anipulator opisuje się w zględem układu współrzędnych związanego z jeg o podstaw ą X0YoZo. tzw . układu bazow ego. P odstaw ę traktujem y jednocześnie jak zerowy człon manipulatora.
K ażdy następny ( k-ty ) elem ent łańcucha kinem atycznego m anipulatora w zględem elem entu (k - l-g o ) opisuje m acierz A^ będąca wynikiem następujących przekształceń :
• rotacji o kąt 0 w zględem osi Z,
• translacji o odcinek X w zdłuż osi Z,
• translacji o odcinek 1 w zdłuż osi X,
• rotacji o kąt a w zględem osi X,
A k = R o t(Z ,0 k)Trans(O,O,Xk)T rans(lk,O ,O)Rot(X,ak) .
P aram etry lk i a k w ystępujące w powyższym w zorze są stałe dla danego m anipulatora i s ą zależne w yłącznie od jeg o konstrukcji. Jedynie jeden z param etrów 0 t lub ił* będący w sp ó łrzęd n ą naturalną k-tej pary kinematycznej m oże się zmieniać w czasie w określonych granicach.
P o ło żen ie członu roboczego m anipulatora względem ostatniego (N -tego) elem entu m anipulatora opisuje m acierz E.
P ołożenie N -tego członu m anipulatora względem członu k-tego opisuje m acierz kTN.
P o ło żen ie N -teg o członu w zględem układu bazow ego opisuje m acierz T m anipulatora.
N atom iast położenie członu roboczego manipulatora w zględem układu bazow ego opisuje m acierz X. T ak więc zachodzi zw iązek : X = T E. Znalezienie m acierzy X ja k o funkcji w spółrzędnych naturalnych i innych param etrów poszczególnych par kinem atycznych
208 T. Szkodny. M. Jagodziński. P. Lecieć. K .Pietrek
m anipulatora w dowolnej chwili czasu, oraz podanie w artości liczbowych tych param etrów stanow i rozw iązanie tzw . zadania prostego kinematyki, czyli daje odpow iedź na pytanie: jakie jest poło żen ie członu roboczego dla konkretnych wartości w spółrzędnych naturalnych par
kinem atycznych.
Znalezienie odpow iedzi na tak postaw ione pytanie dla manipulatora R O B K O -01 je st treścią niniejszego rozdziału. ROBKO-Ol jest robotem o strukturze O O O O O , co oznacza, że jest to m anipulator o pięciu stopniach swobody i wszystkie jego pary kinem atyczne są param i obrotow ym i. T ak w ięc w e wszystkich pięciu przypadkach w spółrzędną naturalną pary je st 6i, a w szystkie pozostałe param etry H artenberga - Denavita są wielkościami stałymi.
M anipulator ROBKO-Ol w raz z układam i w spółrzędnych, przypisanym i do poszczególnych członów , o raz osiami p ar kinematycznych przedstaw ia rysunek 1,
N atom iast schem at kinem atyczny manipulatora w raz z układami w spółrzędnych i osiami par kinem atycznych został pokazany na rysunku 2.
N a rysunkach 3-8 zilustrowano przekształcenia bazow ego układu w spółrzędnych w układy zw iązane z poszczególnymi członami manipulatora.
K inem atyka członów m anipulatora Robko 01 209
Rys. 1. M anipulator ROBKO-01 w raz z układami w spółrzędnych przypisanymi do poszczególnych członów
Fig. 1. R O B K O -O l m anipulator and coordinate systems which correspond with each links
210 T, Szkodny. M , Jagodziński. P. Lecieć. K .Pietrek
Rys. 2. Schem at kinem atyczny m anipulatora ROBKO-Ol Fig. 2. Kinematic schem e o f ROBKO-Ol m anipulator
K inem atyka czło n ó w m anipulatora Robko 01 _ZŁL
Z"
-9 0
V ' v - . z ,
/ -9 0
y V .
Rys. 3. P rzekształcenie bazow ego układu współrzędnych w układ związany z pierwszym członem manipulatora
Fig. 3. Transform ation o f basic coordinate system into system w hich is conntected w ith the first link o f manipulator
M a c ie rz A | ma postać:
A ,= R o t ( Z # ,)7 h w u (0 0 Z ,) R o i( X -9 0 °)
c o s # , - s i n # . 0 o ' ' l 0 0 o ' ' l 0 0 o' cos#. 0 - s i n # . 0 '
s in # . cos#, 0 0 0 I 0 0 0 0 1 0 s in # , 0 co s# , 0
0 0 1 0 0 0 1 0 - 1 0 0 0 - 1 0 A ,
0 0 0 l _0 0 0 1
_
_0 0 0 1 0 0 0 1212 T. Szkodnv. M. Jagodziński. P. Legieć. K .P ietrek
Rys. 4. Przekształcenie układu zw iązanego z członem pierwszym w układ zw iązany z członem drugim manipulatora
Fig. 4. Transform ation o f system which is connected with the first link o f m anipulator into system w hich is coonected with the second link o f m anipulator
M a c ie rz A j m a postać:
A 2 = R o t(Z 0 2}T ranĄ l2 0 0)
cos d 2 - s i n # 2 0 o ' ' l 0 0
*2 c o s 0 2 - s i n 0 2 0 cos 0 2 l 2
s i n # 2 C O S 0 2 0 0 0 1 0 0 s in 0 2 C O S 0 2 0 sin 0 2 l 2
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Rys. 5. P rzekształcenie układu zw iązanego z członem drugim w układ zw iązany z członem trzecim manipulatora
Fig. 5. Transform ation o f system w hich is connected with th e second link o f m anipulator into system which is coonected with the third link o f m anipulator
K inem atyka członów m anipulatora Robko 01 213
M a c ie rz A3 m a postać:
= R o l(Z 9 ^ T r a ttĄ ll 0 O)
COS#, - s i n # . 0 0' '1 0 0 h COS#, - s i n # . 0 cos # , / , sin #3 c o s # . 0 0 0 1 0 0 sin cos 9y 0 sin # 3/j
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 _0 0 0 1 0 0 0 1
Rys. 6. Przekształcenie układu zw iązanego z członem trzecim w układ zw iązany z członem czwartym m anipulatora
Fig. 6. Transform ation o f system w hich is connected with the third link o f m anipulator into system which is coonected with the fourth link o f m anipulator
M a c ie r z A4 m a postać:
A ^ R o ^ Z 6< )R ot(X -9 0 °)
cos 9 t - s i n # 4 0 o ' 1 0 0 o' c o s # 4 0 - s i n # 4 o ' sin#,, c o s # 4 0 0 0 0 1 0 s in # 4 0 c o s # 4 0
0 0 1 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
ZIŁ T, Szkodnv. M. Jagodziński. P. L ecieć. K .Pietrek
Rys. 7. P rzekształcenie układu zw iązanego z członem czwartym w układ zw iązany z piątym członem manipulatora
Fig. 7. Transform ation o f system which is connected with the fourth link o f m anipulator into system which is coonected with the fifth link o f manipulator
M a c ie rz A 5 m a postać:
A s = R ot{Z 0 S)
cos £?5 - s i n 0 5 0 0 sin 0 3
0 0
C O S
0 0
0 0 1 0 0 1
Rys. 8. Przekształcenie układu w spółrzędnych zw iązanego z piątym członem m anipulatora w układ związany z chwytakiem
Fig. 8. T ransform ation o f system which is connected w ith the fifth link o f m anipulator into system which is coonected with the gripper
K inem atyka członów m anipulatora Robko 01 215
M a c ie r z E m a postać;
E = R o t( Z -9 0 °)7 h w « (0 0 1 6) =
' 0 1 0 o ' ‘ l 0 0 0 ' ■ 0 1 0 0 '
- 1 0 0 0 0 1 0 0 - 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 A .
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
_
G r a f p rzek ształceń m anip u latora pokazano na rys. 9.
0„
Rys.9. G raf przekształceń m anipulatora ROBKO-Ol Fig. 9. Transform ation schem e o f ROBKO-Ol manipulator
W y zn a czen ie T i X m anip u latora
C5 ~ s s 0 0
Ci 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
c . 0 - s 0 '
*4 0 Ca 0 s i
0 -1 0 0 0
0 0 0 1 0
- S i 0 0 C4C5 - < V s -s* 0
C i 0 0 SACi - V s C A 0
0 1 0 - S i 0 0
0 0 1 0 0 0 1
216 T. Szkodnv. M. Jagodziński. P. Legieć. K .Pietrek
’c 3 - i s 0 C j/ 3 c f i - C s J j — Í 4 o '
2 t = A , 3Ts = i s C 3 0 Í 3 / 3 s £> - Í 4 Í 5 C4 0
0 0 1 0 - i s 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
C 3C 4C 5 “ - W s - C 3C 4J 3 + S j i 4i s - c ^ 4 - i j C 4 C 3/ , '
•Î 3C 4C J + < W s - i j ^ i j - C t 5 4S’ j - Í 3 J 4 + C 3 C 4 i j / j
- i s - « 5 0 0
0 0 0 1
C / j 4 S f l A - Í 3 4 C3/3 C / s 4 —Í 5Í 34 C 34 i j / j
“ i s "^ S 0 0
0 0 0 1
’ C2 - i 2 0
= A 2 2Ts = Í2 C2 0
0 0 1
0 0 0
C,/j s 2 /j
C- f f u S2C!?)*
SlC£l* + C 2C î i 'j4 - •* 5
0
~s f n t
C f » A
c yç2M -^ s
0
~s£vsa
0 1
~CtSf}A + W l 4 - 5 ^ 3 4 — CjJ jí
-Cj 0
~ V234 C 23^3 + C 2^2
Íjj/j+ V s
^ 3 .
^ 3 4
^ 3 4 - V 34
-C«
*"34
0
Cj/j
J 3 / 3
0 1
- C y SJ 4 i3C34 ( c 2C j + C j /
(jjC3 + < v 3) / } + J , /
'2 3 4
0 0
T = A, ‘T 5 =
C \C f n A + Í | Í 5 i | C 5C 234 - C IÄ 5
“ C 5-S 234
0
c . 0 i | o ' C f l H S f l U Í234 C23/ 3+ C 2/ 2"
i . 0 c l 0 C SS2M - i /234 C234 Í23/ 3 + Í 2 / 2
0 - 1 0 A , - i s ~ c \ 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
X = T £ =
c f f i u + 5 rsj i | C^234 - C *
_ C 5i 234
0
—C li 5C 234 + i lC S -5|5‘ j C2j4 - C , C5
Í5Í234 0
- C . Ä . C ’ ,
~°>S1U
—i |‘S*234
~*234
0
c i{Cnl > + C2/2) i | (^23/ 3 +C 2/ 2)
- J 2j / , - Jj/j + A,
" l J 5<'2 3 4 T •’ I1" S ^ 1^234
”51^234 — C1CS —il S234 i j i234 -^234
0 0
C l ( C23^l +CÁ ) S l{Cl J l +C2 ^ ) - J j j / j - V l + ^ l
0 1 0 0
-1 0 0 0
0 0 1
0 0 0 1
K inem atyk a członów m anipulatora Robko 01 211
£T ? 5C 2 34 Sfis C IC 5C 234 "_ C l'i 2 j a ~ C li 2 M ^ Ć + C IC 23^3 + C IC 2^2 W j M + C IC J ‘i lC 5C 234 ~ C l i 5 - J 1J 234 ~ i l'S 2 3 4 '^ i + ‘VIC:23^3 + , i lC 2 ^ 2
~ C yS 234
0 o
~C2H ^6+S 23^3 J 2 + ^ l 1
W celu zw iększenia czytelności zapisu w przedstawionych powyżej m acierzach przyjęto następujące oznaczenia :
.v( = sin 0, s v = sin(0, + 0 ; )
V = sin(0, + 0 , + 6 t )
c, = cos 0,
<V =005(0, +0,.) c,j4 = cos(0, + 0 , + 0 » )
Tabela 1
Lp. q [ ° l 1 [ m m ] 1 [ mm ] a n
1 -90 . 90 200 0 -90
2 -165 . 15 0 180 0
3 0 , 145 0 180 0
4 -180 . 0 0 0 -90
5 0 .3 6 0 0 0 0
6 -90 70 0 0
3. W n io sk i
P rzedstaw ione tu zadanie proste kinematyki pozw ala w yznaczyć analityczny opis przestrzeni roboczej m anipulatora ROBK O-Ol. Opis taki pozwoli na kom puterow e badanie przynależności zadanych punktów pozycjonowania do przestrzeni roboczej tego m anipulatora.
Przedstaw ione tu rów nania są także podstaw ą do wyznaczenia analitycznych rozw iązań zadania odw ro tn eg o kinem atyki, które um ożliw ia obliczanie wartości zadanych w spółrzędnych naturalnych odpow iadających zadanem u punktowi pozycjonowania. Form uły stanow iące rozw iązanie zadania odw rotnego kinematyki są niezbędne do kom puterow ego w yznaczania w spółrzędnych naturalnych odpowiadających zadanemu punktow i pozycjonow ania, który m a osiągnąć m anipulator, a którergo wcześniej nie osiągnął. Przedstaw iony opis je st niezbędny do badan dynam iki ruchu tego m anipulatora [7].
L IT E R A T U R A
1. C raig J.J.: W prow adzenie do robotyki. WNT, W arszawa 1993.
2. Y oskikow a T.: Foundations o f Robotics, M IT Press 1990.
21B. T. Szkodnv. M. Jagodziński. P. Lecieć. K .Pietrek
3. M orecki A, K napczyk ].: Podstaw y robotyki. W N T, W arszawa 1993.
4. S zkodny T.: M odele matematyczne ruchu m anipulatorów robotów przem ysłow ych na potrzeby sterow ania. ZN Pol. Śl. s. A utomatyka nr 112. Gliwice 1993.
5. S zkodny T.: Forw ard and inverse kinematics o f IRb-6 m anipulator. M ech. M ach, T heory vol. 30, N o7, pp 1039-1056, Pergam on Press 1995.
6. K ow alow ski H .: Laboratorium robotów przemysłowych, Skrypt Pol.ŚI. n r 1507, Gliwice 1989.
7. Szkodny T .: Dynam ics o f industrial robot manipulators. M ech. Mach. T heory vol 30, N o 7, pp 1057-1072, 1995.
Recenzent: D r hab. inż. Jerzy Św ider, prof. Pol. Śl.
W płynęło do Redakcji do 30.06.1996 r.
A b stra c t
In this p ap er in simple w ay how to use ROBKO-Ol robot for teaching students is show n.
T herefore problem o f forw ard kinematics for ROBKO-Ol is solved.
V ery precisely the following problem s using schemes are presented:
- RO BKO-O l m anipulator with coordinate frames relative to particular links, - kinem atic schem e o f ROBKO-Ol manipulator,
- transform ation th e base frame into frames which are connected with particular links o f m anipulator,
- schem e o f m anipulator transformation,
- form ulae fo r calculation o f T and X matrix o f manipulator.
K inem atics equations o f m otion o f each link in relation to the next links and kinem atics equations o f m otion o f gripper in relation to each link and the base o f m anipulator are elaborated. H om ogeneous m atrices in these equations are complied. N atural coordinates o f links and gripper are defined and illustrated. Change ranges o f natural coordinates o f links and g ripper are calculated. Num erical values o f D enavit-H artenberg param eters w hich o ccur in kinem atic equation o f this m anipulator are also calculated.
