Rozwój pojęcia przestrzeni w geometrii XIX wieku

Michał Tempczyk

Rozwój pojęcia przestrzeni w

geometrii XIX wieku

Studia Philosophiae Christianae 26/1, 184-194

MICHAŁ TEMPCZYK

ROZWOJ POJĘCIA PRZESTRZENI W GEOMETRII X IX WIEKU Geometria jest jednym z najstarszych działów m atem atyki. Rozwija­ ła się ona w ciągu tysięcy lat, lecz prawdziwa rewolucja dokonała się na początku ubiegłego stulecia, gdy N. Łobaczewski i J. Bolyai skon- stuow ali geom etrie nieeuklidesow e. Doprowadziło to do poważnych zmian poglądów na istotę przestrzeni m atem atycznej i fizycznej.

Geometria jako uporządkowana wiedza praktyczna powstała w Egip­ cie około czterech tysięcy lat temu. Na jej rozwój poważny w pływ m iały praktyczne potrzeby zw iązane z wytyczaniem granic pól zalew a­ nych regularnie przez Nil. Po opadnięciu wód Nilu trzeba było w łaści­ w ie od nowa określać kształt i zasięg poszczególnych posiadłości ziem ­ skich. Praktyczne doświadczenie m ierniczych było porządkowane i roz­ w ijane w postaci pew nych reguł i zasad, o których praw dziwości m oż­ na się było przekonać dokonując odpowiednich pomiarów. To prak­ tyczne pochodzenie geom etrii m ało w ielki w pływ na rozwój tej nauki, ponieważ utrwaliło się przekonanie, że jej prawa opisują realną prze­ strzeń fizyczną. Gdy Grecy zaczęli rozwijać geom etrię jako naukę te­ oretyczną, to w dalszym ciągu była to wiedza o przestrzeni św iata, w którym żyjem y. Ookoło 300 rpne Euklides pisze E lem enty, dzieło, które przez ponad dwa tysiące lat było wzorem ścisłości i elegancji m ate­ m atycznej. Geometria była w E lem entach zaprezentowana jako teoria dedukcyjna, w której z podstaw owych niedefiniow anych pojęć i w y j­ ściowych postulatów wyprowadza się pozostałe twierdzenia, których prawdziwość wynika z praw dziwości postulatów.

Spośród pięciu pew ników podanych przez Euklidesa w I księdze E lem entów , cztery pierwsze robiły w rażenie oczywistych, a jedynie p ią­ ty zaw ierał treść, nad której prawdziwością można się było zastana­ wiać. Głosi on: jeż eli linia prosta przecina dwie linie proste w ten sposób, że suma kątów pow stałych po jednej stronie jest m niejsza od sum y dwóch kątów prostych, to linie te przecinają się po tej stronie, po której w ystępują te kąty к Następcy Euklidesa przez setki lat sta­ rali się udowodnić, że pew nik ten jest prawdziwy. Nie udało się w yk a­ zać, że jest on konsekwencją pozostałych czterech. Znaleziono w iele sform ułowań równoważnych, na przykład Legendre udowodnił, że jest on rów now ażny twierdzeniu, że suma kątów trójkąta jest równa sumie dwóch kątów prostych. Inne sform ułowanie głosi, że przez punkt nie leżący na prostej można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do niej. Pomimo tych osiągnięć zagadnienie prawdziwości piątego pew nika Euklidesa pozostawało otwarte. W szystkie prace i w yniki tego rodzaju podzielały jedno fundam entalne przekonanie, to m ianowicie, że geo­ m etria opisuje w łasności przestrzeni naszego świata, dlatego w szystkie jej aksjom aty muszą być prawdziwe lub fałszyw e. Kłopot polegał na tym , że prawdziwości tej nie udawało się wykazać w sposób przeko­ nujący.

Rewolucyjność nowego typu geometrii, zaproponowanej w 1823 roku przez J. Bolyaia i w 1826 roku przez N. Łobaczewskiego polegała na tym, że ich twórcy przestali w ierzyć w to, że budzący tyle dyskusji pew nik

1 Postulaty te są podane w książce H. S. M. Coxeter, Non-Euclidean G eom etry, Toronto, 1942, s. 1.

z z a g a d n i e ń f i l o z o f i i p r z y r o d y

I PRZYRODOZNAWSTWA

musi być badany z punktu widzenia jego prawdziwości. Bolyai sform u­ łował geom etrię absolutną, to znaczy zajął się tym i twierdzeniam i, które są niezależne od piątego pew nika Euklidesa. Łobaczew ski zdefiniow ał równoległość w taki sposób, że przez każdy punkt poza prostą prze­ chodzą dwie linie proste rów noległe do danej. Chociaż każdy z nich stworzył własną geom etrię, w spólne im było swobodne potraktowanie problemu prawdziwości postulatu o równoległych. Było to całkowicie nowe spojrzenie na tę sprawę. Miało ono w ielorakie i daleko idące konsekwencje. M atematycy ów cześni natychm iast zdali sobie sprawę z tego, że to co proponują Bolyai i Łobaczewski nie konw eniuje z po­ wszechnym sposobem m yślenia i nie chcieli zgodzić się na poważne i rzeczowe potraktowanie now ych id ei geometri. Bolyai zniechęcił się i przestał zajmować się w ym yśloną przez siebie geometrią, poprzestając w zasadzie na jednej pracy, która była dodatkiem do napisanej przez jgo ojca książki, poświęconej zagadnieniu równoległych. Łobaczewski był bardziej odporny psychicznie i rozw ijał sw oją „pangeometrię” do końca życia, czyli przez trzydzieści lat. B ył on cenionym uczonym i na uniwersytecie w Kazaniu pełnił ważne funkcje. Dożył czasu, gdy nowe spojrzenie na geom etrię stało się już powszechnym i gdy uczeni zaczęli pojmować, na czym polega jej istota.

Chociaż B olyai i Łobaczewski byli autorami pierwszych prac jawnie zrywających z geom etrią euklidesową, to praw dziw ym odkrywcą geo­ metrii nieeuklidesow ych był C. F. Gauss. Przez ponad dwadzieścia lat pracował nad dowodem piątego pewnika, by w końcu w 1813 roku roz­ począć prace nad geom etrią, w której pew nik ten nie m usi być praw ­ dziwy. Badał on takie geom etrie, w których suma kątów trójkąta jest mniejsza od sumy dwóch kątów p rostych 2. Jest to geom etria rów no­ ważna geom etrii Łobaczewskiego. Gauss nie ogłosił sw ych wyników, ponieważ bał się ośm ieszenia i hałasu, jaki m ogły one spowodować w środowisku m atem atyków. Pisał jednak o nich w licznych listach do przyjaciół i współpracowników, dlatego można na podstawie zacho­ wanej korespondencji dosyć dokładnie odtworzyć jego rozwój w tej dziedzinie. Był on świadom, że prawdziwość piątego pew nika nie jest sprawą oczyw istości ani prawdziw ości em pirycznej, że m ożliwe są róż­ ne geometrie. M atematyk powinien badać w szystkie m ożliwości, a dopie­ ro sprawą fizyków jest rozstrzygnięcie, która z tych geom etrii obo- wązuje w św iecie m aterialnym . Przeciw nicy now ych geom etrii byli przekonani o tym, że odrzucenie piątego pewnika powinno doprowadzić do sprzeczności.

Oto co Gauss piał w liście do sw ego przyjaciela W. Olbersa w 1817 roku: „Jestem coraz bardziej przekonany, że konieczność naszej geo­ metrii nie może być udowodniona ani za pomocą ludzkiego rozumu ani ludzkiemu rozumowi. Być m oże w innym życiu dojdziemy do innych poglądów na istotę przestrzeni, obecnie nam niedostępnych. Do tego czasu geom etrię trzeba porów nyw ać nie z arytm etyką, istniejącą a p rio ­ ri, a z m echaniką” 3. W tym stw ierdzeniu widać jasno istotę trudności związanych z uznaniem nowych geometrii. W ynikały one z przekona­ nia, że geometria m usi być jedna, ponieważ, jak głosił Kant, jest ona 2 Różnicę pomiędzy sumą kątów trójkąta a sumą dwóch kątów pros­ tych nazyw a się defektem trójkąta.

3 Cytat za książką B. A. Rosenfelda, Istorija n ieje w k lid o w o j geom e­ trii, Moskwa, 1976, w której podane są dokładne informacje o historii i rozwoju geom etrii.

form ą ludzkiej zm ysłow ości i nie m ożem y św iata spostrzegać inaczej niż jako zanurzonego w trójwym iarow ej przestrzeni euklidesowej. Inne geom etrie były niem ożliwe, niedostępne i niewyobrażalne dla ludzkiego um ysłu. Kant precyzyjnie i głęboko w yraził to, o czym jego współcześni byli przekonani na podstawie w ielow iekow ych doświadczeń z geom etrią Euklidesa. Z tego powodu sądzono, że odrzucenie postulatu o rów no­ ległych prowadzić m usi do sprzeczności.

W m iarę uświadam iania sobie, że piąty pew nik Euklidesa nie jest w cale oczyw isty, a przyjęcie zam iast niego innych aksjom atów n ie pro­ wadzi do sprzeczności, trzeba było inaczej spojrzeć na przestrzenie opi­ syw ane przez różne geom etrie. Przestrzenie te należało oderwać od św iata fizyczngo, traktując je jako twory um ysłu ludzkiego. Już Bo­ lyai w liście do ojca, w którym donosił mu o sform ułowaniu nowej geom etrii, pisał: „Stworzyłem z niczego now y w szechśw iat” *. W szech­ św iat ten był oczyw iście tworem umysłu ludzkiego, którego moc tw ór­ cza okazała się większa od tej, którą przypisyw ał mu Kant. Pierw szy krok został wykonany. Geometrię oderwano od św iata materialnego, przestała ona być nauką empiryczną i jednoznaczną. Można było w y ­ obrażać sobie i badać różne przestrzenie bez obawy popadnięcia w sprzeczność.

Nie w ynika z tego wcale, że geom etria nie ma żadnego związku z w łasnościam i m aterii. Zam iast dowodzić prawdziwości jedynej geom etrii Euklidesa należało obecnie zbadać, jaka jest geom etria rzeczywistego św iata. Mogła to być oczyw iście geom etria Euklidesa. Różnica pom ię­ dzy sytuacją dawną i nową polegała na tym, że teraz geom etria ta w ystępow ała w roli jednej z kandydatek i należało drogą pomiarów ustalić, która z m ożliwości odpowiada prawdzie. Również tym zagad­ nieniem zajął się Gauss. Skorzystał on z tego, że defekt trójkąta jest proporcjonalny do jego pola, dlatego im w iększy trójkąt badamy, tym w iększe prawdopodobieństwo tego, że uda nam się stwierdzić, iż suma kątów tego trójkąta jest m niejsza od sum y dwóch kątów prostych. Szansa na w ykrycie tego zjaw iska istnieje tylko wtedy, gdy przestrzeń fizyczna jest rzeczyw iście hiperboliczna, czyli taka, jaką opisuje geom e­ tria Łobaczewskiego. N egatyw ne w yniki pom iarów można interpreto­ w ać dwojako. Albo przestrzeń jest naprawdę euklidesowa, albo też ba­ dam y zbyt m ałe trójkąty (wielokąty). Gauss za pomocą teodolitów do­ konyw ał pom iarów kątów trójkąta utworzonego przez trzy wierzchołki górskie. W iększych figur nie można było wówczas dokładnie badać. Sum a pomierzonych kątów była równa dwóm kątom prostym. W ob­ szarach o tej skali odstępstwo od geom etrii Euklidesa było niezauw a­ żalne.

Dalszy rozwój geom etrii dokonał się dzięki B. Riem annowi, który zajął się w łasnościam i powierzchni sferycznych. W łasności figur na po­ wierzchni kuli, a zwłaszcza trójkątów, okręgów i kół były od tysiąc­ leci przedmiotem zainteresow ania głów nie astronomów, którzy obser­ w ow ali i opisyw ali położenie planet i gwiazd na sferze niebieskiej. Na potrzeby astronomii stworzono całą gałąź geom etrii, geom etrię sferycz­ ną, w której obowiązują specjalne prawa. Szczególnie ciekawa i spójna jest trygonometria sferyczna. W geom etrii tej suma k ątów trójkąta jest zaw sze większa od sumy dwóch kątów prostych, a nadm iar ten jest proporcjonalny do rozm iarów trójkąta. Jpżeli łuki kół łączących w y ­ brane pary punktów potraktujem y jako odcinki, a koła te jako proste,

r i71 z za g a d n i e N f i l o z o f i i p r z y r o d y 1 0 7 I PRZYRODOZNAWSTWA

to otrzymamy geom etrię, w której nie ma pa trzeb równoległych, to znaczy takich, które nie przecinają się. Każda prosta jest ponadto ogra­ niczona. W geom etrii sferycznej każda figura jest ograniczona, ponie­ waż cała przestrzeń jest ograniczona.

Te dobrze znane sprawy zostały przez Riem anna naśw ietlone w 1854 roku w now y sposób. Spojrzał on na geom etrię sferyczną jako na nowy rodzaj geom etrii nieeuklidesow ej, różnej od geom etrii Łobaczewskiego. Z punktu widzenia postulatu o rów nolgłych geom etria Łobaczewskiego i geometria sferyczna odchodzą od geom etrii Eukldesa w przeciwnych kierunkach. U Łobaczewskiego przez punkt nie leżący na prostej prze­ chodzą dwie proste rów noległe, a każda prosta przechodząca przez ten punkt i zawarta pom iędzy nim i nie przecina danej prostej. W geo­ metrii Euklidesa prosta rów noległa jest jedna, a w geom etrii sferycz­ nej nie ma w cale prostych równoległych. Podobnie przedstaw ia się sprawa sumy kątów trójkąta. Może ona być m niejsza od sum y dwóch kątów prostych (Łobaczewski), równa jej (Euklides) lub w iększa (Rie- mann). Otrzymuje się w ten sposób w szystkie m ożliwości. Z geom etrią badaną przez Riemanna, nazwaną geom etrią eliptyczną, łatw iej się było pogodzić, poniew aż od początku istniał dobrze znany m odel tej geo­ metrii — powierzchnia kuli.

Geometrie nieeuklidesow e posiadają bardzo w ażną cechę, różniącą je od geom etrii euklidesow ej. Istnieje w nich m ianow icie wzorzec dłu­ gości. W przestrzeni Euklidesa nie ma ustalonej skali w ielkości figur. Istnieją na przykład podobne trójkąty o najróżniejszych rozmiarach, pewne z nich mogą być tysiące razy m niejsze od innych. Innym i słow y przestrzeń jest taka sama, niezależnie od w ielkości badanego obszaru. W geometriach nieeuklidesow ych jest inaczej. Zarówno w przestrzeni eliptycznej jak i hdperbolicznj dwa trójkąty o rów nych odpowiednich kątach m uszą być identyczne. Wynika to chociażby z tego, że defekt trójkąta jest addytywny. Jeżeli zbudujemy trójkąt drogą sumowania kilku m niejszych trójkątów, to jego defekt rów ny będzie sumie d efek­ tów trójkątów składowych, n ie może w ięc zdarzyć się tak, że kąty dużego trójkąta będą równe kątom jednego ze składników.

Fakt ten m ożna łatw o zrozumieć w przypadku geom etrii eliptycznej, równej geom etrii na sferze. Trudniej wyobrazić go sobie w przestrzeni Łobaczewskiego, która nie ma takigo prostego modelu. Jednak już twórca tej geom etrii w iedział, że jest ona blisko związana z geometrią sferyczną. Wzory trygonom etryczne geom etrii Łobaczewskiego otrzym u­ je się z wzorów geom etrii sferycznej, gdy przyjm ie się, że chodzi o geometrią sfery o urojonym prom ieniu i. Jeżeli w trójkącie sferycz­ nym o bokach a, b, с pomnożymy w szystkie boki przez i, otrzymując liczby urojone ia, ib, ic, to otrzymam y wzory geom etrii hiperbolicznej. Zwykłe funkcje trygonometryczne sin, cos... zam ienią się na funkcje hiperboliczne sh, ch. Dzięki tem u zw iązkow i można zrozumieć, dlaczego w przestrzeni Łobaczew skiego rów nież w ystępuje wzorzec długości. Przestrzeń tę można wyobrazić sobie jako obszar, w którym linie proste są łukowato w ygięte. Stopień tego w ygięcia narzuca całości pewną m iarę odległości, która w pływ a na w szystkie figury.

Dokonane przez Łobaczewskiego odkrycie, że wzory jego geom etrii są równe wzorom geom etrii sferycznej na powierzchni kuli o urojonym promieniu jednostkowym prowadzi nas do następnego zagadnienia, m ia­ nowicie do problemu m odeli geom etrii nieeuklidesow ych i ich niesprzeez- ności. Jeżeli m am y m odel jakiejś teorii form alnej, to teoria ta jest niesprzeczna, chyba że sam m odel jest sprzeczny. Jest to m ożliwe w te ­

dy, gdy m odel sam jest konstrukcją formalną. W om awianym przez nas przypadku obie geom etrie mogą być zinterpretowane w oparciu o kon­ strukcje dokonane w geom etrii Euklidesa, dla której są one konkurent­ kami. D zięki temu założenie o niesprzeczności geom etrii Eukldesa pro­ w adzi natychm iast do wniosku, że geom etrie nieeuklidesow e są rów ­ nież niesprzeczne. W św ietle tego faktu widać, jak nieuzasadnione było przekonanie dawnych geom etrów, że odrzucenie piątego pewnika Eu­ klidesa musi prowadzić do sprzeczności. Trzy m ożliw sform ułowania tego pew nika są niezależne od siebie, a ich prawdziwość jest ściśle związana ze sobą. K lasyczne m odele geom etrii nieeuklidesow ych dowo­ dzą, że z niesprzeczności geom etrii klasycznej w ynika niesprzeczności now ych geometrii. W toku dalszych badań znaleziono na gruncie obu geom etrii nieeuklidesow ych m odele geom etrii euklidesowej. Są to w ięc geom etrie w zajem nie interpretowalne, w każdej z nich można skon­ struować m odele obu pozostałych. Takiego wyniku nikt dawniej nie przew idyw ał. N ie można już pytać, która z geom etrii jest lepsza lub niesprzeczna. Jako konstrukcje form alne są one równoprawne. Można oczyw iście stawiać pytanie, jaka jest geom etria przestrzeni fizycznej, badanej przez nauki empiryczne. Jest to jednak pytanie wykraczające poza m atem atykę. W ramach m atem atyki jako sztuki konstruowania system ów form alnych n ie można żadnej geom etrii wybrać jako lep ­ szej od konkurentek.

Nie jest to koniec naszej opowieści o rozwoju geom etrii X IX w. D al­ szy istotny postęp w rozumieniu istoty przestrzeni geom etrycznych był dziełem F. Kleina, który w swoim sław nym w ykładzie z 1873 roku, w y ­ głoszonym w Erlangen, zaproponował nową interpretację istoty i za­ dań geometrii. W ystartował on z pojęcia przestrzeni i grupy przekształ­ ceń tej przestrzeni na siebie. Przekształcenia te nie zm ieniają pew nych w ielkości. Na przykład przesunięcia i obroty w zw ykłej przestrzeni euklidesow ej nie zm ieniają odległości ani kątów. M atematycy stw ier­ dzając to m ówią, że odległości i kąty są niezm iennikam i grupy prze­ kształceń składającej się z przesunięć i obrotów. K lein zaproponował, aby przestrzeń i grupę przekształceń potraktować jako pojęcia p ier­ wotne, a zadaniem geom etrii uczynć badanie niezm ienników tych przek­ ształceń. Było to całkowicie nowe podejście do geom etrii. Do tego czasu przestrzeń i jej elem enty składowe, takie jak punkty, lin ie proste, trój­ kąty, okręgi itp. były traktowane jako pierwotne dane geometrii. Za­ daniem geom etrii było badanie w łasności tych figur. Dopuszczano takie przekształcenia, które nie zm ieniają w łasności uznanych za istotne. Przekształcenia te zależą od tego, co uznamy za ważne. Gdy chcemy, aby kąty i odległości pozostały niezm ienione, to m ożemy jedynie prze­ suwać i obracać figury. M ożna'jednak badać podobieństwo figur, które w cale nie w ym aga zachowania odległości, natom iast nie zezwala na zm ianę kątów. Widać z tego, że przekstzałcenia zachowujące odległości są częścią grupy tych przekształceń, które zachowują podobieństwo f i­ gur.

Jest to szczegółowa konsekw encja pewnego ogólnego faktu form al­ nego. Im większa grupa przekształceń, tym mniej w łasności figur geo­ m etrycznych nie ulega zm ianie pod działaniem tych przekształceń. Geo­ m etria odpowiadająca w ięc obszernym grupom przekształceń jest uboga. Chcąc otrzymać przestrzeń o bogatych w łasnościach trzeba odpowied­ nio ograniczyć grupę przekształceń dopuszczanych w tej przestrzeni.

Potraktow anie w łasności geom etrycznych jako niezm ienników pew nej grupy przekształceń stało się punktem w yjścia dla nowego programu

И Ql z ZAGADNIEfł FILOZOFII PRZYRODY l o q 11 э 1 I PRZYRODOZNAWSTWA

rozwoju geom etrii, nazwanego programem erlangeńskim . Jego realiza­ cja była w znacznej m ierze dziełem Kleina, który go zaproponował. Pozwoliła ona w ostateczny sposób uporządkować i poklasyfikować wszystkie m ożliwe geom etrie. Okazało się, że najogólniejszą geometrią jest geom etria rzutowa. Opisuje ona przestrzeń, w której jedynym i e le ­ mentami pierwotnym i są punkty i proste, a jedyną relacją jest relacja leżenia punktu na prostej, zwana relacją incydencji. Nie ma tu m owy o równoległości prostych w zw ykłym znaczeniu, ponieważ wszystkie pary prostych przecinają się. Proste, które nazw alibyśm y równoległym i przecinają się w punkcie leżącym w nieskończoności. Punkt ten doda­ jemy do przestrzni i traktujem y go jako zw ykły składnik tej prze­ strzeni. Każdej klasie prostych rów noleg.ych odpowiada jeden punkt w nieskończoności, a cała płaszczyzna rzutowa jest uzupełniona o prostą leżącą w nieskończoności.

Równoległość prostych nie jest niezm iennikiem , ponieważ za pomocą przekształceń rzutowych m ożem y dowolny punkt, rów nież punkt z n ie­ skończoności, przesunąć do każdego punktu normalnego lub z n ieskoń­ czoności. W ten sposób odpowiadające punktow i z nieskończoności pro­ ste równoległe mogą po wykonaniu przekształcenia przecinać się w do­ wolnym punkcie płaszczyzny. W podobny sposób można z prostych przecinających się uczynić proste rów noległe w sensie euklidesowym . Proste są przez transformacje rzutowe przekształcane na proste z za­ chowaniem relacji leżenia punktu na prostej. Jest to bardzo obszerna grupa transformacji.

Można łatw o udowodnić, że przekształcenia rzutowe zawierają w so­ bie wszystkie grupy przekształceń dopuszczalnych w innych, m niej u ni­ wersalnych geometriach. W łasność leżenia punktu na prostej jest za­ chowana w e w szystkich geom etriach badanych w ubiegłym stuleciu. Przekształcenia charakteryzujące te geom etrie są w ięc przekształcenia­ mi rzutowymi. Należało jedynie zbadać, co trzeba dodać do w łasności rzutowych, aby otrzymać na przykład przestrzeń Łobaczewskiego. Oka­ zało się, że przestrzeń, w której można m ierzyć odległości i kąty pow ­ staje z przestrzeni rzutowej, gdy w yróżnim y w niej określoną pow ierz­ chnię, opisaną równaniem stopnia drugiego. Na przekształcenia takiej przestrzeni nakłada się warunek, że przeprowadzają one tę powierz­ chnię na siebie. U żywane obecnie nazw y geom etrii nieeuklidesow ych pochodzą w łaśnies od rodzaju tej wyróżnionej powierzchni. Geometria Łobaczewskiego jest hiperboliczna, poniew aż interpretowana rzutowo przekształca na siebie hiperbolę. Geom etrii sferycznej odpowiada elipsa, stąd nazwa geometria eliptyczna, a geom etrii Euklidesa — parabola.

Pod koniec ubiegłego w ieku wiedziano już, że każdej geom etrii m e­ trycznej można przyporządkować odpowiednią przestrzeń rzutową. Geo­ metria Euklidesa odpowiada przestrzeni, w której wyróżniona jest li­ nia prosta w przypadku płaszczyzny, lub płaszczyzna dla przestrzeni trójwymiarowej. Są one traktowane jako zdegenerowane powierzchnie stopnia drugiego. Daje to pełną klasyfikację m ożliwych geom etrii m e­ trycznych. Nie są to w szystkie przestrzenie lecz podstawowe typy. W każdej przestrzeni m ierzy się odległości i kąty. M atem atycy udo­ wodnili, że są to pomiary niezależne w tym sensie, iż na przykład hiperboliczne związki pomiędzy odległościam i nie muszą w cale odpo­ wiadać hiperbolicznym wzorom na kąty. Oba rodzaje w ielkości można określać i m ierzyć niezależnie. Na płaszczyźnie mam y w ięc dziewięć geometrii, powstających z kom binacji trzech rodzajów odległości z trze­ ma rodzajami kątów.

Przy takim postaw ieniu sprawy geom etria staje się rzeczyw iście dziedziną swobodnych konstrukcji um ysłowych, których związek z co­ dziennym i przeżyciam i w ynikającym i z percepcji przestrzennej w cale nie znika, lecz przestaje ograniczać i narzucać się w form ie przekonania 0 jednoznaczności i oczywistości pew nej geometrii. Wyobraźnia m ate­ m atyków, oswobodzona ze zbyt sztywnego powiązania pojęcia przestrzeni geom etrycznej z przestrzenią fizyczną, okazała się niezw ykle twórcza 1 bogata. Można stwierdzić, że w drugiej połowie ubiegłego stulecia prześcigali się oni w w ym yślaniu najrozm aitszych przestrzeni, powierz­ chni i figur. Doprowadziło to do powstania w ielu ciekawych m odeli różnych geometrii. O jednym z nich warto powiedzieć kilka słów, po­ niew aż m iał on w ielkie znaczenie geom etryczne i filozoficzne. Chodzi o zbudowany przez H. Poincarego model płaszczyzny Łobaczew skiego5. W roku 1882 Poincare ogłosił pracę Theorie des groupes fuchsiens, w której wykazał, że w jednostkowym kole można, odpowiednio de­ finiując linie proste i mierząc w określony sposób odległości, otrzymać przestrzeń równoważną płaszczyźnie Łobaczewskiego. Liniam i prostymi tego modelu są łuki okręgów prostopadłych do wybranego koła, które oznaczać będziem y sym bolem w. Przez dwa dowolnie wybrane punkty przechodzi jeden taki łuk. Odległość jest tak zdefiniow ana, że w m iarę zbliżania się do w skala odległości staje się coraz mniejsza. Jeżeli w eź­ m iem y pod uwagę dwa punkty wybranego łuku, których euklidesow a odległość jest dana i zaczniem y przesuwać je w kierunku w z zachow a­ niem tej odległości, to ich odległość hiperboliczna rośnie, osiągając w ar­ tość nieskończoną, gdy jeden z tych punktów dojdzie do w. Dzięki temu wnętrze koła jednostkowego w geom etrii euklidesowej staje się w n o­ w ej m etryce niskończoną płaszczyzną. Kąty mierzy się tak jak w zw yk ­ łej geometrii. Sam okrąg w pełni rolę prostej w nieskończoności. Przez punkt nie leżący na zadanym łuku można przeprowadzić w iele łuków prostopadłych do w, które nie przecinają danego łuku. Spośród nich dwa są wyróżnione, te m ianowicie, które przecinają dany łuk w punk­ tach końcowych, leżących na w. Są to w term inologii Łobaczewskiego dwie proste rów noległe do danej, przechodzące przez zadany punkt.

W przeciwieństw ie do m odeli geom etrii nieeuklidesow ych znanych do tego czasu, model Poincarego polega na istotnej deform acji odległości w porównaniu z odległościam i mierzonymi w standardowej geom etrii rysunku. Na przykład w geom etrii powierzchni kuli, traktowanej jako m odel geom etrii eliptycznej, wzory opisują kąty i odległości rzeczy­ w iście mierzone na tej kuli. Poincare zm ienił funkcję odległości, za­ chowując kąty. Taką zm ianę nazyw a się transformacją konforemną, a odpowiadającą jej geom etrię — geometrią konforemną. Jest to ciekawy typ geom etrii, używanej obecnie w szczególnej teorii względności. K on­ forem ny m odel płaszczyzny Łobaczewskiego stał się znany dzięki p ew ­ nym obrazom Eschera, sławnego m alarza holenderskiego. Przykładem m oże być obraz, w którym diabły przeplatają się z aniołami. W cen ­ trum rysunku postacie są dosyć duże i wyraźne, a w m iarę zbliżania się do ograniczającego rysunek koła m aleją one w odpowiedniej skali. D zięki temu na rysunku powinna się zm ieścić nieskończona liczba anio­ łów i diabłów, których oczyw iście nie udało się narysować.

Przestrzeń rzutowa, która w ostateczności stała się podstawą w szyst­ kich geom etrii m etrycznych, nie była w cale odkryciem X IX wieku. Już 5 Ładny w ykład modelu Poincarego znajduje się w D. Pedoe, A Cou­ rse of G eom etry for Colleges and U niversities, Cambridge, 1970.

w starożytności badano zagadnienie, w jaki sposób człowiek widzi św iat. Harmonijne kształty greckich św iątyń pow stały dzięki znajom ości praw geometrii rzutowej. Oko ludzkie nie m ierzy bezpośrednio odległości. Trójwymiarowa bryła św iątyni jest zam ieniana na dw uw ym iarow y obraz rzutowany na siatkówkę oka. Chcąc w obrazie tym otrzymać określone proporcje odległości i kątów należy odpowiednio zdeform ować proporcje gmachu. Grecy pisali na ten tem at całe traktaty, a w iele podstawowych twierdzeń tej dziedziny, np. twierdzenie Pappusa, nosi greckie nazwiska.

Matematycy powrócili do tych spraw w okresie Odrodzenia, gdy m a­ larze ponownie odkryli perspektyw ę i zaczęli stosować ją w swoich obrazach. Pow stała w ten sposób bogata i ciekawa dziedzina m atem a­ tyczna, która intensyw nie rozwijała się do naszych czasów. Jednym z jej tw órców był W. Ham ilton, który tak bardzo zasłużył się w m echa­ nice, optyce i algebrze. P ew ne działy algebry pow staw ały zresztą dla potrzeb geom etrii. Ich przykładem m oże być w ynaleziony przez H am ilto­ na rachunek kwaternionów, służący do opisu obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Liczby zespolone były uznane przez społeczność m ate­ matyków dopiero wtedy, gdy Gauss w ynalazł ich geom etryczny model na płaszczyźnie.

Na zakończenie wspom nijm y jeszcze o innym osiągnięciu geom etrii tego okresu, o przejściu do badnia przestrzeni w ielow ym iarow ych. W m atem atyce i fizyce często pojaw iały się sytuacje, gdy pew ne wielkości zachow yw ały się tak jak zm ienne przestrzenne. W ham ilto- nowskim sform ułowaniu m echaniki w ielkościam i takim i są pędy. Stan punktu m aterialnego jest w przestrzeni fazow ej opisany za pomocą trójwymiarowego położenia i trójwym iarowego pędu. Razem daje to przestrzeń sześciow ym iarową. Zasługą Ham iltona było sform ułowanie praw m echaniki w taki sposób, że form alna różnica pomiędzy położe­ niem i pędem znika, dając jednorodną przestrzeń fazową o sześciu wymiarach. Oderwanie przestrzeni geom trycznych od ich związku z przestrzenią fizyczną pozwoliło na stw orzenie sam odzielnej teorii przestrzeni fazowych. Teoria ta jest ogólna i bardzo elegancka. Można za jej pomocą opisywać w iele klas układów fizycznych i sytuacji m a­ tematycznych, w których stosuje się równania różniczkowe zw y­ czajne.

Przejdźmy teraz do filozofii i przypom nijm y najpierw, jak w ciągu ubiegłego stulecia zm ieniała się filozofia geom etrii. Na początku są­ dzono powszechnie, że geometria jst działem m atem atyki opisującym przestrzeń fizyczną. Dzięki temu przestrzeń tę traktowano jako zada­ ny obiekt badań, a geom etrię — jako teorię tego obiektu. Można było stawiać pytanie o prawdziwość i niesprzeczność aksjom atów, które Euklides przyjął jako podstaw y dedukcyjnej teorii wyłożonej w jego dziele. N ajw ięcej kłopotów sprawiał piąty aksjomat, który w prze­ ciwieństwie do pozostałych nie robił wrażenia oczyw istego ani praw ­ dziwego bez zastrzeżeń. W ielow iekow e prace nad tym zagadnieniem nie doprowadziły do żadnego zadowalającego rozwiąznia. Ich rezultatem było znalezienie w ielu twierdzeń równoważnych, które jednak też n ie był oczywiste ani pewne.

Rozwiązanie przyszło z nieoczekiwanej strony. Gauss, Łobaczew ski, Bolyai, a potem wielu innych m atem atyków, uświadom ili sobie, że aksjomatu tego nie należy traktować jako jedynego m ożliwego, że nasza wyobraźnia geom etryczna nie jest ograniczona do gom etrii Eukli­ desa. Łobaczew ski zajął się system em , w którym zam iast piątego p ew ­ nika przyjął twierdzenie sprzeczne z nim. Dało to nową ciekawą geo­

m etrię, w której nie znaleziono sprzeczności. Okazało się, że istnieją co najm niej dwie niezależne od siebie geometrie. Przestała obowiązywać zasad jednoznaczności geometrii. W yzwoliło to geom etrię z więzów em pirycznej oczyw istości. Nowe geom etrie, przyjm owane zrazu przez w iększość m atem atyków z oburzeniem, w yzw oliły fantazję i konstru­ kcyjne m ożliwości geometrów, dając w efekcie bogactwo przestrzeni, figur, przekształceń, struktur algebraicznych i modeli. Pow oli w yłaniał się pełny obraz m ożliw ych geom etrii i ich wzajem nych związków. Geo­ m etria staw ała się najbardziej rozwiniętą i uporządkowaną dziedziną badań m atem atycznych. Gdy na początku X X w ieku D. Hilbert sform u­ łow ał program form alizacji m atem atyki, to zaczął od poprawnej aksjo- m atyzacji geometrii. Udowodnił wówczas, że trzy podstawowe geom e­ trie m etryczne są sobie równoważne, że za pomocą odpowiednich d efi­ n icji można każdą z nich przekształcić na dwie pozostałe.

Dzięki pracom K leina naczelne m iejsce zajęła geom etria rzutowa, z której drogą dodatkowych ograniczeń można uzyskać pozostałe sy ­ stem y. Na jej przykładzie, jak rów nież na stosunku do geom etrii sfe­ rycznej widać, jak zm ienił się stosunek m atem atyków do pojęcia prze­ strzeni. Geometrie te znano i badano już w starożytności, lecz były one traktow ane jako opis pew nych szczególnych sytuacji, zawierających się w jedynej sensownej geom etrii Euklidesa. W geom etrii rzutowej bada się te własności figur, które nie zależą od odleg.ości - i kątów, lecz jest to część prawdy o tych figurach. W starożytności m atem atycy pasjonow ali się zagadnieniam i konstrukcyjnym i. Pytano na przykład, co można skonstruować m ając do dyspozycji określone przyrządy, głów ­ nie linijkę i cyrkiel. Klasyczne problem y podziału kąta na trzy równe części, podwojenia objętości sześcianu lub kwadratury koła są tego ro­ dzaju. Otóż geom etrii rzutowej odpowiada sytuacja, w której mamy do dyspozycji linijkę bez skali i kąt prosty. Konstrukcje dokonywane za pomocą tych przyrządów m ają charakter rzutowy.

Gdy badano i opisywano takie konstrukcje nikomu nie przyszło do głowy, że mogą one odpowiadać przestrzeni niezależnej i ogólniejszej od przestrzeni Euklidesa, że można wyobrazić sobie św iat bez skal po­ m iarowych i bez kątomierzy. Stało się to m ożliwe dopiero po w yka­ zaniu, że odrzucenie lub zmiana piątego pewnika Euklidesa nie pro­ wadzą do sprzeczności, że m ożliwe są inne geometrie. Podobnie było z geom etrią sferyczną, która rów nież usam odzielniła się i oderwała od sw ego standardowego modelu na sferze.

Opracowanie m odeli jednej geom etrii w innych było dalszym kro­ kiem na drodze relatyw izacji pojęcia przestrzeni. Okazało się, że taka sam a sytuacja może być opisana na różne sposoby, często bardzo różniące się. Na przykład geom etria Łobaczewskiego opisuje sytuację na nieskończonej hiperboloidzie i na skończonym kole jednostkowym . Jest to m ożliwe dzięki temu, że skala długości w tym kole staje się drobniejsza, gdy zbliżam y się do jego granicy. Gdybyśmy wyobrazili sobie, że po łuku im itującym prostą porusza się ciało punktowe ze stałą prędkością, to z punktu widzenia euklidesowego obserwatora pręd­ kość tego ciała m aleje w miarę oddalania się od środka i w konse­ kw encji ciało to nigdy nie dojdzie do granicznego okręgu, który jest dla niego prostą w nieskończoności.

Taka sytuacja, w której można było wybierać geom etrie i zm ie­ niać ich m odele doprowadziła do konwencjonalizm u. Twórcą tego k ie­ runku w filozofii nauki był Poincare. Interesował się on stosunkiem geom etrii do św iata fizycznego. W iedział, że geom etrii m ożliwych do

ΓΟΟΙ Z ZAGADNIE» FILOZOFII PRZYRODY i n o

1 i o J I PRZYRODOZNAWSTWA

xao

skonstruowania jest w iele, lecz panow ało przekonanie, iż tylko jedna z nich może opisyw ać w yniki obserwacji i eksperym entów nauk przy­ rodniczych. Poincare w iedział jednak, że w samej geom etrii określoną sytuację można opisywać na w iele sposobów. Skoro istnieje w iele spo­ sobów m atem atycznego opisu geometrii, to warto było zastanawiać się nad tym, czy istnieje wyróżniony opis przestrzeni fizycznej. Do tego czasu przyjm owano w tej sprawie rozwiązanie realistyczne, stw ierdza­ jąc, że w zasadzie można eksperym entalnie rozstrzygać to pytanie. Przykładem takiego eksperymentu były wspom niane pom iary Gaussa.

Poincare m iał inny pogląd na tę sprawę. Wiedział, że każdy pomiar jest oparty na apriorycznie przyjętych jednostkach odległości i kątów. W skonstruowanym przez niego konforem nym modelu płaszczyzny hi- perbolicznej można tak przedefiniować odległości, że z koła jedno­ stkowego otrzymuje się nieskończoną płaszczyznę uzupełnioną o pro­ stą w nieskończoności. Można sobie wyobrazić przyrząd pomiarowy realizujący te pomiary. Za pomocą tego przyrządu otrzym alibyśm y opis doświadczeń bardzo różny od tego, co obserwujem y w standardowy sposób. Inne byłyby prawa fizyk i i opis sytuacji, a obie teorie, stan­ dardowa i nowa rów nie dobrze przew idyw ałyby trajektorie ciał, ich oddziaływania i w łasności. N ie byłoby sposobu wykazania, że jedna teoria jest lepsza od drugiej, że jedną trzeba przyjąć jako prawdziwą, a drugą odrzucić. Wybór jednego z m ożliwych języków m atem atycznego opisu faktów jest w ięc sprawą konwencji. Nie znaczy to w cale, te nie mamy żadnych kryteriów tego wyboru. Możemy na przykład wyobrazić sobie, jak skom plikowane byłyby prawa fizyki i opis faktów , gdybyśm y do opisu przestrzeni wybrali jakąś dziwną geom etrię. Trudno byłoby uprawiać m echanikę w takim mało intuicyjnym form alizmie, lecz w zasadzie jest to m ożliwe.

Konwencjonalizm rozw inął się w szeroko znaną filozofię przyrody. Omawianie jego filozoficznego znaczenia nie jest celem tej pracy. Chcemy jednak zauważyć, że w spraw ie stosunku geom etrii do do­ świadczenia jest on negacją stanowiska klasycznego, tysiące lat panu­ jącego w m atem atyce, nauce i filozofii. Stanowisko to polegało na przekonaniu, że geometria opisuje św iat rzeczywisty, dlatego powinna być prawdziwa i jednoznaczna. Później oderwano geom etrię od do­ świadczenia, czyniąc ją sztuką konstruowania niesprzecznych system ów i modeli przestrzeni, pozostawiając światu fizycznem u jego jednoznacz­ ną geometrię. Która z geom etrii opisuje ten św iat to sprawa doświad­ czenia. Sądzono, że m ożliwe są doświadczenia pokazujące, jaka jest geometria przestrzeni fizycznej. Poincare odrzucił to założenie. Zauwa­ żył on m ianow icie, że nigdy nie m ierzym y w łasności samej przestrzeni. Są one zawsze uw ikłane w jakieś procesy. Z teoretycznego punktu w i­ dzenia opis geom etrii przestrzeni jest pierwszym krokiem rekon­ strukcji badanych procesów, krokowi temu nie odpowiada jednak w sferze empirycznej żadna niezależna sfera doświadczeń ani pomiarów. Geometrię m ożemy przyjąć w sposób dosyć dowolny, a dostosować do niej m usim y opis zdarzeń, m ierząc następnie zgodność tego opisu z rzeczywistym przebiegm zjawisk. Stanowisko konw encjonalistyczne jest ważną częścią m etodologii nowoczesnej fizyki, w której bez opo­ rów korzysta się z najrozm aitszych topologii i geom etrii, aby opisując za ich pomocą pew ne zjaw iska starać się uzyskać przewidywania do­ tyczące nowych zjawisk. W fizyce teoretycznej pojęcie geom etrii tak się zrelatywizowało, te fizycy n ie są już naw et świadom i tego. Są oni po prostu przyzw yczajeni do tego, że próbują zastosować nowe form

liżm y, licząc na uzyskanie now ych w yników lub na nową interpretacją rzeczy dobrze znanych.

Jest to zagadnienie wym agające odrębnych badań, opartych na m a­ teriale najnowszych teorii fizycznych. Celem tej pracy było pokazanie jak długą i ciekawą drogę przebyła geom etria X IX w ieku po odkryciu geom etrii nieeuklidesow ych. Pow stanie tych geom etrii nie bez powodu uważa się za jedną z najważniejszbych rew olucji jakie dokonały się w m atem atyce w ciągu jej historii. Rewolucja ta otworzyła drogę r e ­ wolucjom fizykalnym , przede w szystkim fizyce relatyw istycznej. Na początku naszego stulecia geom etria stała się nauką dojrzałą i bardzo uporządkowaną. Jej rozwój w tym kierunku został zahamowany. P o­ jawiła się geom etria różniczkowa, a starymi problemami zajmuje się n ie­ liczna grupa entuzjastów. Coraz trudniej znaleźć książki poświęcone tym zagadnieniom. Z punktu widzenia geom etrii różnczkowej przestrze­ nie, które są takie same w każdym punkcie, zwane przestrzeniami sy­ m etrycznym i, są najprostszą klasą przestrzeni geom etrycznych. Istnieje pełna klasyfikacja takich przestrzeni, do której nie można nic d o d a ć6. Geometrie nieeuklidesow e mają liczne zastosowania w analizie, teorii funkcji analitycznych i w algebrze, lecz ich teoria jest w zasadzie skończona. Nie wiadomo czy na zawsze. Zawsze może pojawić się m a­ tem atyk, który te sprawy osadzi w nowym szerszym kontekście, otwierając tym drogę do now ych badań, pokazując nowe perspektyw y. Przykładem ogólnej podstawowej teorii m atem atycznej, która wyrosła z geom etrii jest topologia. Opisuje ona w szystkie przekształcenia prze­ strzeni, które zachowują ciągłość i zmierzanie do granicy. Zanim n a­ stąpi nowe odrodzenie geom etrii syntetycznej, opisującej w całościowy sposób przstrzenie geom etryczne, warto wracać i przypominać osiągnię­ cia X IX wieku, ponieważ tkw ią w nich korzenie w ielu współczesnych działów m atem atyki i nauk przyrodniczych, szczególnie fizyki i kosm o­ logii.

WIESŁAW WÓJCIK

KONCEPCJA DOWODU A STRUKTURA ROZWOJU NAUKI 1. WSTĘP. PRÛBY UKAZANIA SPECYFIKI DZIAŁALNOŚCI

NAUKOWEJ

X X wieku cechuje ogromny rozwój i osiągnięcia nauki, a zarazem znam ienne dla naszych czasów jest pow ątpiew anie w wartość nauki, w jej praw dziwie twórczy charakter. Z jednej strony analizy filozofów nauki ukazują hipotetyczny charakter naukowych tw ierdzeń oraz kru­ chość podstaw, na których wspiera się gmach wiedzy. Z drugiej strony filozofow ie X X wieku, poczynając od egzystercjalizm u a kończąc na filozofii dialogu, podważają wręcz wartość naukowego poznania.

Próby ukazania, iż nauka jest tworem , w którym gromadzi się fakty, niezbite twierdzenia oraz całkowicie opracowane teorie, zakończyły się fiaskiem . Filozoficzne ujęcie nauki w wym iarze synchronicznym przez neopozytyw istów Koła W iedeńskiego okazało się niewystarczające do

6 Patrz S. Helgason, D ifferen tial G eom etry and. S ym m etrie S paces, N ew York, London, 1962.