PRZELICZENIA I TRANSFORMACJE WSPÓŁRZĘDNYCH

GŁÓWNY URZĄD GEODEZJI I KARTOGRAFII

DEPARTAMENT GEODEZJI KARTOGRAFII I SYSTEMÓW INFORMACJI GEOGRAFICZNEJ

Opracowanie:

Leszek Jaworski, Ryszard Zdunek, Anna Świątek Korekta: Bernard Kontny

Weryfikacja: Jarosław Bosy

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską Europejski Fundusz

PRZELICZENIA I TRANSFORMACJE WSPÓŁRZĘDNYCH

Materiał szkoleniowy

Reprodukowanie, kopiowanie, fotografowanie, skanowanie części lub całości materiału bez zgody Głównego Geodety

WPROWADZENIE

Wszystkie prace wykonywane w geodezji przybierają w końcowym wyniku postać współrzędnych (lub ich pochodną).

Jest to banał, jednak kryje się za nim mnóstwo treści, której mieliśmy jako geodeci świadomość, ale nie analizowaliśmy konsekwencji jakie z tego faktu wynikają.

Jednak gospodarka światowa pędzi i podlega intensywnemu procesowi globalizacji, a geodezja jest również częścią gospodarki.

Coraz częściej stykamy się z nowymi technologiami pomiaru, które ze swojej natury są globalne, a perspektywy na następne lata przewidują jeszcze większą rolę tych technologii w pracach geodezyjnych.

WPROWADZENIE

Przykładem jest stworzenie i rozwój wielofunkcyjnych systemów stacji permanentnych takich jak ASG-PL, MSPP a obecnie ASG-EUPOS.

Zmiany jednak odnoszą się nie tylko do samej technologii, ale również do układów w jakich wyrażamy wyniki swojej pracy.

Nowe układy państwowe wprowadzone do stosowania Rozporzą- dzeniem Rady Ministrów z 8 sierpnia 2000 roku „W sprawie

państwowego systemu odniesień przestrzennych”, pomimo charakteru krajowego, są tak naprawdę układami globalnymi.

W efekcie geodeci zmuszeni są do oswojenia się i posługiwania nie tylko nowymi technologiami ale również nowymi układami.

Musimy przejść na nowy poziom świadomości i zmienić sposób postrzegania powierzchni Ziemi z płaskiego na przestrzenne.

W Systemie Wysokości Normalnych obowiązującym w Polsce mamy układy wysokości Kronsztadt’60 i Kronsztadt’86.

Dla układu współrzędnych geodezyjnych związanych z systemem odniesienia 1942 mamy kolejne realizacje Jednolitej Sieci

Astronomiczno–Geodezyjnej, z których wywodzą się państwowe układy współrzędnych płaskich:

† Opracowanie JSAG 1957–58, z którego powstał układ „1965”

stosowany do dnia dzisiejszego,

† Opracowanie PPOG81 z którego powstał układ „1965–86”,

† Opracowanie JSAG 1983,

W przypadku systemu ITRS (International Terrestial Reference

System) mamy kolejne realizacje układu ITRF (International Terrestrial Reference Frame) – ITRF94, ITRF96, ITRF2000 i aktualny ITRF2005.

DEFINICJE

Nawet układ WGS84 nie jest stały i w ciągu ostatnich lat był dwukrotnie modyfikowany. Kolejne realizacje nazywane są (NIMA TR8350.2)

‘WGS 84 (G730)’ i WGS 84 (G873)’ od numerów tygodnia GPS, dla którego wprowadzono modyfikacje układu współrzędnych.

DEFINICJE

ZAMIANA XYZ na BLh i BLh na XYZ

Współrzędne kartezjańskie XYZ

Y

Środek mas Ziemi Z

Biegun ziemski Południk początkowy

X

Współrzędne geodezyjne B,L

b

a

S N

B=B0

P

L=L^P LP

L=L⁰

B_P B=B

P

w punkcie P normalna elipsoidy

ZAMIANA XYZ na BLh i BLh na XYZ

Zamiana BLH na XYZ

ZAMIANA XYZ na BLh i BLh na XYZ

B N

e B h

N Z

L B

h N Y

L B

h N X

sin sin

) (

sin cos

) (

cos cos

) (

2 ⋅ ⋅

−

⋅ +

=

⋅

⋅ +

=

⋅

⋅ +

=

Wielkość N występująca we wzorach jest promieniem krzywizny pierwszego wertykału.

B e

N a

2 2 sin 1− ⋅

=

Zamiana XYZ na BLH

ZAMIANA XYZ na BLh i BLh na XYZ

Szerokość geograficzna B w powyższych wzorach jest wyznaczana iteracyjnie, aż do osiągnięcia zakładanej dokładności. Parametry R i C zdefiniowane są następująco:

B tg B

tg e

R C h

B tg e R

tgB Ce R

tgB Z X tgL Y

2 2

2

2 2 2

1 1

1

+

⎟⋅

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

′ +

− +

=

+ ′ +

=

=

( )

b C a

B h

N Y

X R

= +

⋅ +

= +

= ^{2 2} cos

NIWELACJA GPS

W przypadku techniki GNSS wyznaczamy przestrzenne współrzędne kartezjańskie (XYZ), które możemy zamienić na współrzędne

geodezyjne przestrzenne (BLh). Wartość h we wzorze jest wysokością elipsoidalną (geometryczną). Aby przejść na wysokości normalne

musimy uwzględnić odstęp „N” quasi-geoidy od elipsoidy odniesienia.

Przeliczenie takie nazywane jest „niwelacją GPS” i wyraża się wzorem:

N h

H = −

gdzie:

† h oznacza wysokość geodezyjną (elipsoidalną) punktu,

† H oznacza wysokość normalną punktu,

† N to odstęp quasi-geoidy od elipsoidy odniesienia,

NIWELACJA GPS

14^o 51^o 52^o 53^o 54^o

50^o

14^o 15^o 16^o 17^o 18^o 19^o 20^o 21^o 22^o 23^o 24^o 25^o

25^o 53^o

52^o

51^o

50^o

49^o

Mapa odstępów „N” quasi-geoidy od elipsoidy odniesienia GRS80

ODWZOROWANIA

ODWZOROWANIA

Pod pojęciem odwzorowania współrzędnych należy rozumieć sposób rzutowania (odwzorowania) odpowiednimi formułami matematycznymi powierzchni Ziemi na płaszczyznę.

W kartografii znane są setki, jeżeli nie tysiące różnych rodzajów odwzorowań mających zastosowanie do różnych celów.

W geodezji jednak dominującą pozycję zajmuje odwzorowanie Gaussa–Krügera, nazywane w krajach anglosaskich „Transverse Mercator”.

Jest to konforemne poprzeczne walcowe odwzorowanie powierzchni elipsoidy na płaszczyznę.

Ze względu na charakter odwzorowania powierzchnia Ziemi dzielona jest na pasy południkowe o szerokości od 2 do nawet kilkunastu stopni.

ODWZOROWANIA

W Polsce ten rodzaj odwzorowania stosowany był w układzie 1942 w pasach 3 i 6–stopniowych, w układzie 1965 dla strefy V oraz w nowych układach państwowych na elipsoidzie GRS80 – 1992 (jeden pas 12–

stopniowy) i 2000 (4 pasy 3–stopniowe).

Drugim rodzajem odwzorowania stosowanym w Polsce jest

odwzorowanie quasi–stereograficzne (Roussilhe’a), zastosowane w układach 1965 (strefy I, II, III i IV) oraz GUGIK’80.

Każde z tych odwzorowań wprowadza odmienny charakter deformacji odwzorowawczych, co ma znaczenie przy transformacji współrzędnych między układami.

Rozkład zmian skali (redukcji długości) w odwzorowaniu quasi-

stereograficznym (układ 1965 strefy I do IV) i Gaussa–Krügera (układ 1965 strefa V i układ 1992).

UKŁAD 1965 UKŁAD 1992

ODWZOROWANIA

ODWZOROWANIA

Pojawienie się komputerów spowodowało zmiany w sposobie

przeliczeń współrzędnych formułami matematycznymi. W miejsce

rozwinięć w szeregi Taylora zaczęto stosować efektywniejsze i bardziej przejrzyste wzory. Na kolejnych slajdach przedstawione zostaną

formuły realizujące odwzorowanie Gaussa–Krügera podane już w 1912 przez Krügera. Ze względu na występujące w nich funkcje

hiperboliczne nie były one stosowane we wcześniejszym okresie.

Rozwinięcie to zostało zaadaptowane do układu 1992 w szerokim pasie 12-stopniowym.

ODWZOROWANIE GAUSSA-KRÜGERA

Odwzorowanie Gaussa–Krügera można przedstawić jako złożenie trzech odwzorowań konforemnych:

1.odwzorowania Lagrange’a całej elipsoidy (współrzędne B,L) na całą sferę (współrzędne ϕ,λ),

2.poprzecznego walcowego odwzorowania Lamberta I (poprzeczne odwzorowanie Mercatora) całej sfery (ϕ,λ) na nieograniczony w kierunku W–E pas płaszczyzny (X_L,Y_L),

3.odwzorowania płaszczyzny Lamberta I (X_L,Y_L) na płaszczyznę Gaussa-Krügera (x_G,y_G),

ODWZOROWANIE GAUSSA-KRÜGERA

Zadanie wprost BL —>xy

Ad.1 Cała elipsoida na całą sferę

2

0

1 sin

sin 1

2 tg 4

2 tg 4

,

e

B e

B e

L B

L ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅ +

⋅

⋅ −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

−

= π ϕ π

λ

Ad.2 Cała sfera na płaszczyznę Lamberta I (Mercatora)

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅

−

⋅

= +

⋅

= λ ϕ

ϕ λ

λ ϕ

cos sin

1

cos sin

ln 1 2

cos , tg tg

arc R

Y R

X

ODWZOROWANIE GAUSSA-KRÜGERA

gdzie:

Ad.3 Płaszczyzna Lamberta I na płaszczyznę Gaussa – Krügera)

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⋅ +

=

∑

= R

jY R

j X W

R X

x ^L

j

L j

L

G sin 2 cosh 2

1 2

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⋅ +

=

∑

= R

jY R

j X W

R Y

y ^L

j

L j

L

G cos 2 sinh 2

1 2

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + + + + +

+ ⋅

= ...

16384 25 256

64 1 4

1

8 6

4

2 n n n

n n

R a

180 ...

41 16

5 3

2 2

1 _{2 3 4}

2 = n− n + n + n +

W

140 ...

103 240

61

^{3 4}

6 = n − n +

W

1440 ...

557 5

3 48

13 _{2 3 4}

4 = n − n + n + W

161280 ...

49561

⁴

8 = n +

W

ODWZOROWANIE GAUSSA-KRÜGERA

Zadanie odwrotne xy —>BL

Ad.3 Płaszczyzna Gaussa–Krügera na płaszczyznę Lamberta I

gdzie:

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⋅ +

=

∑

= R

j x R

j x w

R x

X ^G

j

G j

G

L sin 2 cosh 2

1 2

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⋅ +

=

∑

= R

j y R

j x w

R y

Y ^G

j

G j

G

L cos 2 sinh 2

1 2

360 ...

1 96

37 3

2 2

1 2 3 4

2 = − n + n − n + n +

w ...

1440 437 15

1 48

1 _{2 3 4}

4 = − n − n + n +

w

840 ...

37 480

17

^{3 4}

6 = − n + n +

w ...

161280 4397

⁴

8 = − n +

w

ODWZOROWANIE GAUSSA-KRÜGERA

Ad.2 Płaszczyzna Lamberta I (Mercatora) na cała sferę

2arctg 2

,

Y_L

π

α ⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= h e

R X

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

α

ϕ

α

sin cos

1

sin tg cos

arc

h h

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ λ α

cos cos

tg sin

arc h

h

ODWZOROWANIE GAUSSA-KRÜGERA

Ad.1 Cała sfera na całą elipsoidę

L

L = λ +

( )

∑

=

⋅ +

=

1

2

sin 2

j

j

j

k

B ϕ ϕ

gdzie:

45 ...

2 116 3

2 2 ^{2 3 4}

2 = n − n − n + n +

k ...

45 227 5

8 3

7 _{2 3 4}

4 = n − n − n +

k

35 ...

136 15

56

^{3 4}

6 = n − n +

k ...

630 4279

⁴

6 = n +

k

ODWZOROWANIE

QUASI-STEREOGRAFICZNE

W ten sam sposób można przedstawić odwzorowanie quasi- stereograficzne (Roushille’a) jako złożenie czerech odwzorowań

konforemnych. Trzy z nich są identyczne z odwzorowaniem Gaussa–

Krügera, a w ostatnim przechodzimy z płaszczyzny Gaussa–Krügera na płaszczyznę (Roushille’a):

1.odwzorowania Lagrange’a całej elipsoidy (współrzędne B,L) na całą sferę (współrzędne ϕ,λ),

2.poprzecznego walcowego odwzorowania Lamberta I (poprzeczne odwzorowanie Mercatora) całej sfery (ϕ,λ) na nieograniczony w kierunku W–E pas płaszczyzny (X_L,Y_L),

3.odwzorowania płaszczyzny Lamberta I (X_L,Y_L) na płaszczyznę Gaussa-Krügera (x_G,y_G),

4.odwzorowania płaszczyzny Gaussa-Krügera (x_G,y_G) na płaszczyznę Roussilhe’a (x_Q,y_Q)

Zadanie wprost BL —>xy

Ad.4 Płaszczyzna Gaussa–Krügera na płaszczyznę Roussilhe’a (quasi–stereograficzną)

ODWZOROWANIE

QUASI-STEREOGRAFICZNE

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⋅

=

0 0

0

0 0 0

cosh cos

sin 2

R y R

x x

R x R x

x

G G

G

G G

Q

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

=

0 0

0

0 0

cosh cos

sinh 2

R y R

x x

R R y

y

G G

G

G

Q

0

65

mx x

x =

+ ^y

^{= my}

^{+ y}

Zadanie wprost BL —>xy

Ad.4 Płaszczyzna Gaussa–Krügera na płaszczyznę Roussilhe’a (quasi–stereograficzną)

ODWZOROWANIE

QUASI-STEREOGRAFICZNE

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⋅

=

0 0

0

0 0 0

cosh cos

sin 2

R y R

x x

R x R x

x

G G

G

G G

Q

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

=

0 0

0

0 0

cosh cos

sinh 2

R y R

x x

R R y

y

G G

G

G

Q

0

65

mx x

x =

+ ^y

^{= my}

^{+ y}

Zadanie odwrotne xy —>BL

Ad.4 Płaszczyzna Roussilhe’a (quasi–stereograficzna) na płaszczyznę Gaussa–Krügera

ODWZOROWANIE

QUASI-STEREOGRAFICZNE

m x x

= x

−

m y y

= y

−

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= − _{2 2}

1 2 2

1

Q Q

Q

G x y

arctan x x

( )

( ) _⎥ ^⎥ _⎦ ^⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

− +

+

=

+

2 2

1 ln 1

Q Q

Q Q

G

x y

y

y x

TRANSFORMACJE

TRANSFORMACJE

Transformacją zgodnie z Polską Normą nazywamy operację

matematyczną polegającą na przeliczeniu współrzędnych punktów z jednego układu współrzędnych geodezyjnych na inny układ

współrzędnych geodezyjnych.

Układem współrzędnych geodezyjnych może być układ współrzędnych geodezyjnych przestrzennych, jak i układ współrzędnych geodezyjnych płaskich prostokątnych.

W zależności od rodzaju współrzędnych będziemy mieli do czynienia z transformacją przestrzenną lub transformacją płaską.

Idąc dalej możemy analizować transformacje konforemne (liniowe) oraz transformacje wielomianowe wyższych stopni.

TRANSFORMACJE

Główny obszar zastosowań transformacji wielomianowych związany był z przeliczaniem współrzędnych płaskich zrealizowanych w różnych odwzorowaniach, ale w ramach jednego systemu współrzędnych

geodezyjnych.

Przykładem mogą być w tym względzie bezpośrednie formuły

przeliczeniowe między współrzędnymi płaskimi w układzie „1942” i

„1965” wyznaczanymi z tych samych współrzędnych geodezyjnych BL na elipsoidzie Krasowskiego.

W okresie, gdy obliczenia wykonywano ręcznie lub na liczydłach mechanicznych stałe współczynniki wielomianu były znacznie wygodniejsze w stosowaniu od formuł odwzorowawczych

zawierających rozwinięcia funkcji trygonometrycznych.

TRANSFORMACJE

Przy przeliczaniu osnowy między różnymi układami współrzędnych unikano stosowania transformacji wielomianowych.

W tym obszarze dominują transformacje liniowe transformacje konforemne:

† 7–parametrowa przestrzenna transformacja Helmerta między układami współrzędnych geodezyjnych

przestrzennych XYZ,

† 4–parametrowa płaska transformacja liniowa między

układami współrzędnych płaskich prostokątnych xy.

TRANSFORMACJE

7–parametrowa transformacja przestrzenna

Ten rodzaj transformacji jest podstawową metodą przejścia między przestrzennymi układami współrzędnych

stosowanymi w technikach satelitarnych.

Wymaga posiadania przestrzennych współrzędnych punktu

(kartezjańskich XYZ lub geodezyjnych BLh), co ograniczało

jej stosowanie w przypadku klasycznych sieci geodezyjnych

rozdzielonych na osnowę poziomą i wysokościową.

TRANSFORMACJE

Wzór definiujący transformacje 7–parametrową ma następującą postać:

gdzie:

– wektor translacji między środkami układów w metrach,

S – różnica skal między układami,

– różnice orientacji kartezjańskich osi XYZ między układami.

Transformacja powyższa określana jest również jako transformacja Burshy-Wolfa.

Przyjmuje się w niej uproszczoną macierzy obrotów, zakładająca niewielkie wartości kątów obrotów wokół osi XYZ (rzędu pojedynczych sekund). W przypadku, gdy różnice orientacji układów przestrzennych są większe należy stosować pełną macierz.

ΔX, Y, ZΔ Δ

ω θ κ , ,

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

⋅ +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

Δ Δ Δ +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

A A A

A A A

B B B

Z Y X

Z Y X

Z Y X

Z Y X

1 1

1

ω θ

ω κ

θ κ

S

TRANSFORMACJE

Inny wariant transformacji 7-parametrowej nazywany metodą

Molodenskiego-Badekasa charakteryzuje się przesunięciem układu do środka ciężkości transformowanej sieci. Dzięki temu w sposób znaczący ulegają zmniejszeniu korelacje między parametrami transformacji.

Przykładem zastosowania transformacji 7–parametrowej są parametry przeliczenia współrzędnych z nowych układów państwowych na

elipsoidzie GRS80 – EUREF89 (1992,2000) do starych układów państwowych na elipsoidzie Krasowskiego (1942, 1965).

Również porównanie współrzędnych sieci POLREF i trzech realizacji układu 1942 wykonana została transformacją 7-parametrową.

TRANSFORMACJE

4–parametrowa płaska transformacja konforemna (transformacja przez podobieństwo)

Ogólna postać wzoru na konforemna transformację płaską 4–parametrową ma postać:

D y

A x

B y

C y

B x

A

p p

w

p p

w

+

⋅ +

⋅

−

=

+

⋅ +

⋅

= x

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

+

= Δ

A arctg B

B A

m

α

2 2

gdzie:

– współrzędne punktów w układzie pierwotnym i wtórnym,

– współczynniki liczbowe,

w w p

p y y

x , ,x ,

D C B

A , , ,

TRANSFORMACJE

Współczynniki C i D w powyższych równaniach odpowiadają wektorowi translacji między układem pierwotnym i wtórnym.

Natomiast współczynniki A i B pozwalają wyznaczyć współczynnik zmiany skali (∆m) oraz kąt skręcenia osi układu współrzędnych (α).

Ten rodzaj transformacji jest jedynym dopuszczonym do stosowania przy przeliczaniu współrzędnych między układami 2000 i 1992 a układem 1965 lub układami lokalnymi.

Warunkiem podstawowym stosowania transformacji przez

podobieństwo jest konieczność wzajemnej zgodności odwzorowań układów współrzędnych płaskich.

TRANSFORMACJE

Należy starać się wyrazić współrzędne w układzie pierwotnym i wtórnym w odwzorowaniu tożsamym nie tylko na poziomie rodzaju (Gauss–Krüger, quasi–stereograficzne), ale również stałych

odwzorowania.

W przypadku, gdy nie znamy rodzaju odwzorowania zastosowanego w jednym z układów stosowalność transformacji przez powinowactwo powinna być ograniczona do niewielkich obszarów.

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₁₎

Prace związane z przeniesieniem współrzędnych punktów z układów związanych z elipsoidą Krasowskiego (1965, układu lokalne) do

nowych układów państwowych zrealizowanych na elipsoidzie GRS80 stanowią ważny element działalności służby geodezyjnej.

Wynika to z Rozporządzenia Rady ministrów z dnia 8 sierpnia 2000 roku zakazującego wykorzystywania układu 1965 i układów lokalnych po 31 grudnia 2009 roku.

Można rozpatrywać dwa sposoby wykonania przeliczeń:

† Ponowne wyrównanie osnowy w nowym układzie,

† Transformacje sieci z układu 1965 lub lokalnego do układu 2000 (1992).

Pierwsze rozwiązanie jest z oczywistych względów najlepsze jednak często niemożliwe do wykonania.

W takim przypadku pozostaje jedynie droga transformacji osnowy.

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₂₎

Podstawową wadą transformacji jest fakt przeniesienia deformacji i błędów układu pierwotnego do układu wtórnego.

W omawianym przypadku mamy sytuację, w której układ wtórny (2000, 1992) charakteryzuje się znacznie wyższą dokładnością oraz

jednorodnością współrzędnych punktów niż układ pierwotny (1965 lub układy lokalne).

Jak zostało wcześniej wspomniane jedyną dopuszczalną metodą

przeliczenia współrzędnych jest zgodnie z Instrukcją Techniczną G–2 konforemna transformacja 4–parametrowa (przez powinowactwo) z usunięciem odchyłek na punktach łącznych metodą Hausbrandta.

Poszczególne etapy prac, jakie powinny być wykonane przedstawiają się następująco:

( )

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₃₎

Pełna procedura przeliczeń z układu 1965 do układu 2000 składa się z czerech kroków - dwóch transformacji i dwóch odwzorowań:

1. Odwzorowanie współrzędnych płaskich xy w układzie 1965 do

współrzędnych geograficznych BL na elipsoidzie Krasowskiego. Dla stref I–IV jest to odwzorowanie quasi–stereograficzne, dla strefy V odwzorowanie Gaussa–Krügera,

2. 7–parametrowa transformacja Helmerta współrzędnych

przestrzennych XYZ (BLH) z układu 1942 (elipsoida Krasowskiego) do układu EUREF89 (elipsoida GRS1980). Do tego celu wystarczy wykorzystać parametry transformacji wyznaczone dla całej Polski z sieci POLREF.

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₄₎

3. Odwzorowanie współrzędnych geograficznych BL na elipsoidzie GRS1980 na współrzędne płaskie xy w odwzorowaniu Gaussa–

Krügera dla stałych układu 2000 (1992). Ze względu na dokładność transformacji 7–parametrowej takie współrzędne mogą różnić się od współrzędnych w układzie 2000 (różnice nie powinny przekraczać 1m),

4. Konforemna transformacja płaska 4–parametrowa z usunięciem odchyłek na punktach łącznych metodą Hausbrandta. W wyniku

otrzymamy współrzędne dostosowane do układu państwowego 2000 (1992).

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₅₎

Błąd transformacji wyznaczony z odchyłek na punktach łącznych przyjmowany jest jako błąd położenia punktu:

2

] [

] [

−

= +

n

V V V

m

V

gdzie:

– odchyłki współrzędnych x,y dla punktów łącznych, – liczba punktów łącznych.

Błąd transformacji nie powinien przekraczać ±0.05m.

y x V V ,

n

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₆₎

Ponieważ w trakcie omawianej procedury przeliczeniowej współrzędne pierwotne zostają wyrażone w układzie

zgodnym z układem wtórnym nie ma teoretycznie ograniczeń powierzchniowych jej stosowania.

Doświadczenia praktyczne wskazują jednak, że obszar ten nie powinien przekraczać 20–30 km rozciągłości.

Przy większych obszarach lokalne deformacje układu 1965 powodować będą błędy średnie transformacji powyżej

dopuszczalnej wartości.

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₇₎

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₈₎

PODEJŚCIE PRAKTYCZNE – ETAPY PRZELICZENIA

Weryfikacja i modernizacja osnowy szczegółowej II i III klasy poprzez kontrolny pomiar GPS wybranych punktów Wyznaczenie parametrów transformacji współrzędnych między układem lokalnym a układem państwowym

„2000”

Przetworzenie zasobów numerycznych (baz danych punktów osnowy pomiarowej i punktów granicznych), map wektorowych mapy zasadniczej i mapy

ewidencyjnej do układu „2000”

Przetworzenie map analogowych (mapy zasadniczej i mapy ewidencyjnej) do map rastrowych i ich kalibracji w układzie państwowym „2000”

Kontrola poprawności realizacji układu „2000” z wykorzystaniem systemu ASG-EUPOS

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₉₎

Weryfikacja i modernizacja osnowy szczegółowej II i III klasy poprzez kontrolny pomiar GPS wybranych

punktów

Analiza istniejącego zasobu geodezyjno-

kartograficznego w zakresie osnowy podstawowej i szczegółowej pod kątem wykorzystania do

wyznaczenia parametrów transformacji z układu państwowego „65” do układu „2000”.

Pomiar GPS wybranych punktów osnowy szczegółowej (punktów łącznych II klasy i kontrolnych III klasy do transformacji) w nawiązaniu do punktów osnowy

podstawowej POLREF.

Opracowanie pomierzonej osnowy szczegółowej i weryfikacja współrzędnych katalogowych osnowy szczegółowej poziomej II klasy.

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₁₀₎

Jako punkty dostosowania (łączne), na podstawie których

wyznaczone zostaną parametry transformacji z układu „65” do

układu „2000”, zastosowane zostaną punkty osnowy szczegółowej II i III klasy tworzące sieć ciągów poligonowych. Punkty te są

równomiernie rozmieszczone na obszarze powiatu.

Współrzędne punktów łącznych do wyznaczenia parametrów

transformacji w układzie „2000” powinny być wyznaczone niezależnie (jeśli to jest możliwe), w oparciu o nowe wyrównanie osnowy III

klasy w układzie „2000”, w nawiązaniu do punktów II klasy, których współrzędne zostaną zweryfikowane nowym pomiarem. Jako

najlepszą technologię tego pomiaru wybrano pomiar GPS metodą statyczną, w nawiązaniu do punktów sieci POLREF.

Weryfikacja współrzędnych „2000” punktów dostosowania,

obliczonych w wyniku nowego wyrównania sieci III klasy będzie przeprowadzona na podstawie niezależnego wyznaczenia

współrzędnych punktów kontrolnych (np. punktów węzłowych) poprzez nowy pomiar wykonany techniką GPS w nawiązaniu do punktów sieci POLREF.

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₁₁₎

Obliczenie wektorów GPS w układzie ETRF89

Wyrównanie sieci GPS w układzie ETRF89:

1. Swobodne

2. W nawiązaniu do punktów POLREF

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₁₂₎

ETRF89

xy2000

Np. TRANSPOL, UNITRANS

x [m] y [m] x [m] y [m] dx [cm] dy [cm] d [cm]

1 451215000 150D 5698404.919 5544946.953 5698404.893 5544946.943 -2.5 -1.0 2.7

2 451420000 200F 5673390.591 5530225.460 5673390.599 5530225.418 0.8 -4.2 4.3

3 451420100 201F 5672124.805 5535751.158 5672124.730 5535751.170 -7.5 1.2 7.6

4 451425001 250F 5672842.245 5544356.467 5672842.190 5544356.416 -5.5 -5.1 7.5

5 451225200 252D 5691218.610 5539833.355 5691218.707 5539833.287 9.7 -6.8 11.9

6 451230000 300D 5696633.983 5549952.740 5696634.019 5549952.686 3.6 -5.4 6.5

7 451430000 300F 5675633.447 5548208.645 5675633.351 5548208.561 -9.6 -8.4 12.8

8 451335000 350E 5677145.159 5526253.186 5677145.118 5526253.141 -4.1 -4.5 6.1

9 451335201 352E 5673683.777 5527834.690 5673683.772 5527834.652 -0.5 -3.8 3.8

10 451335300 353E 5674220.390 5528704.111 5674219.047 5528704.231 -134.3 12.0 134.8

11 451145000 450C 5693055.345 5526901.092 5693055.336 5526901.107 -0.9 1.5 1.8

12 451245001 450D 5691068.802 5556321.757 5691068.885 5556321.737 8.3 -2.0 8.6

13 451250100 501D 5684909.870 5533504.433 5684909.919 5533504.389 4.9 -4.4 6.6

14 451255000 550D 5685370.689 5544631.857 5685370.683 5544631.929 -0.6 7.2 7.2

15 451265000 650D 5682059.678 5544959.815 5682059.686 5544959.867 0.8 5.2 5.3

16 441465100 651B 5701885.397 5540356.211 5701885.357 5540356.226 -4.0 1.5 4.3

17 441480000 800B 5699328.408 5552707.692 5699328.424 5552707.654 1.6 -3.8 4.2

18 441385100 851A 5699431.826 5524822.669 5699431.827 5524822.654 0.1 -1.5 1.5

xy2000 katalogowe katalog - obliczenia II klasa

Lp. Nr katalogowy Nr roboczy xy2000 obliczone

Porównanie współrzędnych punktów sieci GPS w układzie 2000

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₁₃₎

WYTYCZNE DO PRZELICZEŃ OSNÓW POZIOMYCH, GRANIC

ADMINISTRACYJNYCH ORAZ PRZEKSZTAŁCEŃ MAP KATASTRALNYCH DO UKŁADU „2000”, GUGiK, Warszawa 2003

Zalecenia ogólne.

Nowo zakładane osnowy geodezyjne wszystkich klas wyrównuje się w układzie “1992” lub

“2000”.

Konwersja osnowy szczegółowej III klasy z układu “1965” do układu “2000” powinno być dokonane w poszczególnych powiatach w terminach dostosowanych do planowanych kompleksowych pomiarów dla celów katastralnych oraz w związku z zakładaniem mapy zasadniczej. Proces uzgodnienia przebiegu granic administracyjnych i weryfikacji danych PRG należy zakończyć do końca III kwartału br.

Wyniki pomiarów geodezyjnych wykonywanych w ramach kompleksowej modernizacji

ewidencji gruntów i budynków oraz pomiarów, w wyniku których zakładane są nowe arkusze mapy zasadniczej powinny być przyjmowane do państwowego zasobu geodezyjnego i

kartograficznego w układzie współrzędnych “2000”.

Proces wektoryzacji ewidencyjnej mapy wektorowej powinien być poprzedzony analizą

jakościową mapy rastrowej. Do wektoryzacji należy dopuścić tylko te mapy rastrowe, które zostały skalibrowane w dostosowaniu do uzgodnionych i zweryfikowanych punktów

granicznych jednostek podziału terytorialnego państwa zawartych w Państwowym rejestrze granic i powierzchni jednostek podziału terytorialnego państwa (PRG).

Z chwilą wykonania mapy rastrowej, część geometryczną ewidencji gruntów i budynków, o ile pozwalają na to warunki techniczne, należy prowadzić wyłącznie w technice komputerowej w postaci mapy wektorowo-rastrowej (nowe wyniki pomiarów w formie wektorowej, na tle

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₁₄₎

WYTYCZNE DO PRZELICZEŃ OSNÓW POZIOMYCH, GRANIC ADMINISTRACYJNYCH ORAZ PRZEKSZTAŁCEŃ MAP

KATASTRALNYCH DO UKŁADU „2000”, GUGiK, Warszawa 2003 ...

2. Przeliczanie osnowy poziomej III klasy i osnowy pomiarowej.

2.1 Metodologia.

Przeliczanie osnów może przebiegać dwoma metodami:

1) poprzez ścisłe wyrównanie sieci w układzie “2000” w nawiązaniu do punktów osnów wyższego rzędu (przy założeniu bezbłędności

współrzędnych punktów nawiązania),

2) poprzez transformację istniejących zbiorów współrzędnych punktów z układów dotychczasowych (“1965”, lokalne) do układu “2000”

...

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₁₅₎

DANE UKŁAD „1965” UKŁAD „2000”

OSNOWA II KLASY WSPÓŁRZĘDNE KATALOG. POMIAR GPS

(WYRÓWNANIE OBS.)

OSNOWA III KLASY

WSPÓŁRZĘDNE KATALOG.

DANE POMIAROWE (WYRÓWNANIE OBS.)

TRANSFORMACJA

WYRÓWNANIE OBSERW.

PRZELICZENIE WSPÓŁ.

OBLICZENIE PARAMETRÓW TRANSFORMACJI

OSNOWY POMIAROWE WSPÓŁRZĘDNE KATALOG. PRZELICZENIE PUNKTY GRANICZNE WSPÓŁRZĘDNE KATALOG. PRZELICZENIE

MAPY WEKTOROWE PLIKI DGN (DXF, INNE) PRZETWORZENIE NUM.

MAPY RASTROWE I

ANALOGOWE (EWENT.) SKANOWANIE KALIBRACJA I WPASOWANIE W RAMKI ARKUSZY

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₁₆₎

∑

∑

⋅

=

⋅

=

ij

j i ij

w

ij

j i ij

w

y x b

y

y x a

x

c y

y y

c x

x x

p i

p i

⋅

−

=

⋅

−

=

) (

) (

0 0

Ogólny model transformacji wielomianowej przekształcającej płaszczyznę ma postać:

gdzie:

x^P, y^P – współrzędne płaskie w układzie pierwotnym, x^W, y^W – współrzędne płaskie w układzie wtórnym, a, b – niewiadome parametry,

x_i, y_i – współrzędne w układzie pierwotnym, scentrowane i przeskalowane, takie że:

x₀, y₀– parametry centrujące (współrzędne środka ciężkości zbioru punktów), c – parametr skalujący.

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₁₇₎

Transformacja afiniczna jest szczególnym przypadkiem ogólnego modelu wielomianowego.

Najwyższą zastosowaną potęgą jest jeden, a liczba parametrów jest ustalona i wynosi 6.

Współrzędne w układzie docelowym uzyskuje się z następujących wzorów:

f y

e x

d y

c y

b x

a x

p p

w

p p

w

+

⋅ +

⋅

=

+

⋅ +

⋅

=

gdzie:

x^P, y^P – współrzędne płaskie w układzie pierwotnym, x^W, y^W – współrzędne płaskie w układzie wtórnym, a, b, ..., f – niewiadome parametry.

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₁₈₎

∑ ^⋅

+

= Z c

u

Z

) , (

) ,

(

) , (

0 0

0

i i

i

a b

c

Y X

Z

Y X Z

=

=

=

Zapisanie współrzędnych na płaszczyźnie w postaci współrzędnych zespolonych gwarantuje cechę wiernokątności.

Transformację wielomianami zespolonymi przedstawia się wzorami:

gdzie:

Z – współrzędne wynikowe (w układzie wtórnym),

Z0 – pomocnicze współrzędne centrujące w układzie wtórnym, c_i – zespolone współczynniki wielomianu,

u – argument zespolony – funkcja współrzędnych.

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₁₉₎

Transformacja Helmerta jest liniową transformacją konforemną realizowaną wielomianem zespolonym 1 stopnia.

Ten model transformacji obejmuje obrót, translację i przeskalowanie, równe w każdym punkcie obszaru objętego zasięgiem transformacji.

Transformacja Helmerta opiera się na równaniu:

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅ ⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⋅ −

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

0 0

cos sin

sin cos

Y X y

k x y

x

p p w

w

ϕ ϕ

ϕ ϕ

gdzie:

x^P, y^P – współrzędne płaskie w układzie pierwotnym, x^W, y^W – współrzędne płaskie w układzie wtórnym, X₀, Y₀ – współrzędne wektora przesunięcia układu, k – współczynnik skalujący,

f – kąt obrotu układu.

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₂₀₎

Skala wektorów 0.1 m

Transformacja stopnia 1 - rozkład odchyłek liniowych

Skala wektorów 0.1 m

Transformacja stopnia 6 - rozkład odchyłek liniowych

Wybór stopnia wielomianu transformującego

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₂₁₎

Wybór stopnia wielomianu transformującego

-0.20 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

200 400 600 800 1000 1200

-0.150 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1

100 200 300 400 500 600

Histogramy rozkładu odchyłek dostosowania transformacji 1 stopnia:

a) składowa dx; b) składowa dy;

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₂₂₎

Korekcja współrzędnych wynikowych transformacji

Zgodnie z zasadami transformacji współrzędnych pomiędzy układami geodezyjnymi, współrzędne wynikowe obliczone wg reguł należy skorygować za pomocą

tzw. poprawek Hausbrandta. Celem tej korekcji jest doprowadzenie do zgodności współrzędnych punktów dostosowania obliczonych w układzie wtórnym (2000)

ze współrzędnymi katalogowymi (na podstawie których obliczono współczynniki transformacji).

Pozostałe punkty transformowane otrzymują korekty interpolowane na podstawie odchyłek transformacji na najbliższych punktach dostosowania.

Σ [ Vxi ⋅ (1/ dij 2 ) ] Σ [ Vyi ⋅ (1/ dij 2 ) ] Vxj = --- , Vyj = ---

Σ (1/ dij 2 ) Σ (1/ dij 2 )

(sumowania po i = 1, 2, ... , n ; gdzie n – liczba najbliższych punktów dostosowania,

j − wskaźnik punktu transformowanego, zaś dij odległość do i-tego punktu dostosowania).

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₂₃₎

PRZELICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH MIĘDZY UKŁADEM 1965 I UKŁADAMI LOKALNYMI A

UKŁADEM 2000 (1992)₍₂₄₎