II.2 Położenie i prędkość cd. Wektory styczny i normalny do toru.
II.3 Przyspieszenie
• Wersory cylindrycznego i sferycznego układu współrzędnych krzywoliniowych
• Wyrażenia na prędkość w układach cylindrycznym i sferycznym
• Krzywe w przestrzeni. Wersory Freneta.
• Krzywizna i promień krzywizny
•Tor i hodograf
•Wektor przyspieszenia
•Przyspieszenie styczne i normalne
•Przyspieszenie radialne i transwersalne
Wersory cylindrycznego i sferycznego układu współrzędnych krzywoliniowych.
Dla wersorów układu cylindrycznego wyrażonych w kartezjańskim UW obowiązują wzory:
r z
cos sin 0
ˆ ˆ ˆ
e sin , e cos , e 0
0 0 1
φ
φ − φ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⎜ φ ⎟ = ⎜ φ ⎟ = ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
współrzędnych krzywoliniowych cd.
Dla wersorów układu sferycznego wyrażonych w kartezjańskim UW obowiązują wzory:
r
sin cos sin cos cos
ˆ ˆ ˆ
e sin sin , e cos , e cos sin
cos 0 sin
φ θ
θ φ − φ θ φ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⎜ θ φ ⎟ = ⎜ φ ⎟ = ⎜ θ φ ⎟
⎜ θ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − θ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Wersory cylindrycznego i sferycznego układu współrzędnych krzywoliniowych cd.
Pochodna wersora (ogólnie‐ wektora o stałej długości) jest do niego prostopadła (albo jest wektorem zerowym) bo:
W układzie cylindrycznym pochodna jest więc równoległa do wersora :
( )
2 2
a u a a co n st d a d a
2 a 0
d u d u
= ⋅ =
= ⋅ =
G G G G
ˆe
rˆe φ
r
c o s c o s
d e ˆ d d d
s i n s i n
d t d t d d t
0 0
s i n
c o s e ˆ
0
φ
φ φ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ φ
= ⎜ ⎜ φ ⎟ ⎟ = φ ⎜ ⎜ φ ⎟ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− φ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= φ ⎜ φ ⎟ = φ
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Wyrażenie na prędkość w układzie cylindrycznym
Posługując się powyższymi wzorami możemy otrzymać wyrażenie na składowe prędkości w cylindrycznym układzie współrzędnych:
r
r z
r z
r r z z
dr dr e ˆ r de ˆ dz e ˆ
dt dt dt dt
ˆ ˆ ˆ
re r e ze
ˆ ˆ ˆ
v e v e v e
φ φ φ
= + + =
= + ϕ + =
= + +
G
W podobny sposób można otrzymać składowe prędkości w
Układzie sferycznym (patrz zadania na ćwiczeniach).
Dygresja: całkowanie wektorów
Całką z wektora zależnego od parametru u nazywamy wektor, którego składowe są całkami składowych wektora pierwotnego:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) )
( ( ) )
( ( ) )
x x y y z z
x x
y y
z z
ˆ ˆ ˆ
a u a u e a u e a u e a u du a u du e ˆ
a u du e ˆ a u du e ˆ
= + +
= +
+ +
+
∫ ∫
∫
∫
G
G
Tory jako krzywe w przestrzeni. Wersory Freneta Parametryzacja naturalna toru: długość łuku jako
parametr.
Zamieńmy parametryzację wzgl. czasu t na parametryzację wzgl. długosci łuku s:
( ) ( ) ( )
2( )
2( )
22 2 2
s t ds t dx t dy t dz t
dx dy dz
dt dt dt dt
vdt
= = + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ =
=
∫ ∫
∫
∫ tor
( )
0G r t
( )
G r t
0
0
= ∫
tt
s(t, t ) ds
0
Wersor styczny
Wersor styczny do toru możemy zdefiniować jako
Bo:
t
dr ds
dr dt ds dt dr ˆe dr dt dr ds ds
ds dt
= = =
G G G
G G
2 2 2
dr dx dy dz
1 lub dr = ds
ds ds ds ds
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ =
G
Wersor normalny. Płaszczyzna ściśle styczna
Ponieważ
Możemy zdefiniować wersor normalny do toru jako:
Płaszczyzna utworzona przez wersory styczny i normalny: płaszczyzna ściśle styczna
t
t
d e ˆ
d t ⊥ ˆe
t t
n
t t
ˆ ˆ
d e d e
d s d t
ˆe d e ˆ d e ˆ
d s d t
= =
Promień krzywizny
Infinitezymalny łuk toru możemy przybliżyć przez łuk okręgu o promieniu ρ.
ˆe t
φ ρ tor
t t
n n
ds d
d 1
ds
ˆ ˆ
de de ds e v ˆ d e ˆ
dt ds dt s
v d
= ρ φ φ =
ρ
= φ
= = ρ de ˆ
tv
dt = ρ
ˆe n
Baza wersorów Freneta
Z każdym punktem na torze można związać lokalny ruchomy, prostokątny i prawoskrętny układ współrzędnych zwany bazą Freneta,
oparty o zdefiniowane uprzednio wersory:
styczny i normalny oraz o wersor binormalny, zdefiniowany za pomocą iloczynu
wektorowego dwóch poprzednich wersorów:
b t n
ˆ ˆ ˆ
e = × e e
Tor i hodograf.
TOR P 1
P 2
r 2
G
P 1
P 2
v G 1
v G 2
HODOGRAF=
Krzywa w przestrzeni prędkości zakreślana przez koniec wektora prędkości.
r 1
G
Wektor przyspieszenia jest styczny do hodografu
Prędkość jest styczna do toru
Przyspieszenie
Wektor przyspieszenia leży w płaszczyźnie ściśle stycznej:
2
( )
t
t t
2
t 2
t
t t n
t
de ˆ d r dv d ˆ dv ˆ
a ve e v
dt dt dt dt dt
de ˆ
de ˆ
dv ˆ dt dv ˆ v ˆ
e v e e
de ˆ
dt d t t
t
d d
= = = = +
= + = +
ρ
G G
G
Przyspieszenie styczne
Przyspieszenie
normalne
Składowe przyspieszenia we współrzędnych cylindrycznych: radialne i transwersalne
r z
2 2 2
r z
r
r z
2 2 2
2
dv d dr ˆ d ˆ dz ˆ
a e r e e
dt dt dt dt dt
de ˆ de ˆ
d r e ˆ dr dr d e ˆ r d e ˆ r d d z e ˆ dt dt dt dt
r
dt dt
dt d
ˆ ˆ ˆ
e e e
t d
r
t
r 2r z
φ
φ φ
φ
φ
⎡ ⎛ φ ⎞ ⎤
= = ⎢ ⎣ ⎜ ⎝ + + ⎟ ⎠ ⎥ ⎦ =
φ φ φ
= + + + + + =
= ⎣ ⎡ − φ ⎦ ⎤ + φ + φ ⎣ ⎡ ⎤ ⎦ +
G G
Uwaga: nie mylić przyspieszenia transwersalnego i stycznego, oraz
radialnego i normalnego
Dygresja: obliczanie promienia krzywizny toru Krzywizna κ: odwrotność promienia krzywizny ρ.
Zachodzą wzory:
( )
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 3
2 2 2 6
