Fizyka 1

Fizyka 1

Wykład 9.

Pęd

Pędem cząstki nazywamy wektor p zdefiniowany jako ,

gdzie m jest masą cząstki (zawsze dodatnia wielkość skalarna), v jej prędkością.

Wektory v i p mają taki sam kierunek i zwrot.

Jednostką pędu w układzie SI jest kg·m/s.

II zasada dynamiki:

Szybkość zmian pędu cząstki jest równa wypadkowej sił działających na cząstkę i ma kierunek tej siły.

F⃗_wyp=d ⃗p dt

Pęd

Źródłem zmiany pędu cząstki jest wypadkowa sił zewnętrznych działających na tę cząstkę.

Pęd cząstki może się zmienić tylko wtedy, gdy wypadkowa sił zewnętrznych działających na cząstkę jest różna od zera.

F⃗_wyp=d ⃗p dt

F⃗_wyp=d ⃗p

dt = d

dt (m⃗v)=m d ⃗v

dt =m⃗a

Wartość zmiany pędu jest

proporcjonalna zarówno do wartości działającej siły, jak i do czasu

jej działania.

Im większa siła, tym większej zmiany pędu ciała się spodziewamy, im dłuższy

czas działania siły, tym większa będzie zmiana pędu.

Popęd

Zgodnie z regułami matematyki, jeżeli dana wielkość jest jednocześnie proporcjonalna do dwóch lub więcej wielkości, to jest proporcjonalna do ich

iloczynu.

Iloczyn siły i czasu jej działania nazywamy popędem siły lub impulsem, bądź też impulsem siły i oznaczamy symbolem J.

Siła wywierana na piłeczkę tenisową przez rakietę w przedziale czasu dt wytwarza popęd siły o kierunku i zwrocie identycznym z kierunkiem i zwrotem wektora tejże siły.

Popęd

Całkowity popęd siły w przedziale czasu od chwili początkowej t

do końcowej t

wynosi

Do obliczenia tego popędu siły konieczna jest znajomość siły w funkcji czasu F(t), co często nie jest możliwe. Możliwe jest jednak wyznaczenie poszukiwanej wielkości na podstawie wartości średniej funkcji dla danego

przedziału zmiennej niezależnej.

Popęd

Wartość średnią f

funkcji f(x) w przedziale zmiennej niezależnej Δx = x

− x

obliczamy jako

W przypadku siły F, będącej funkcją czasu, otrzymujemy:

Popęd

Więc

można obliczyć popęd siły nawet nie znając dokładnej postaci zależności

siły od czasu, jeżeli znana jest jej wartość średnia w analizowanym

przedziale.

Popęd

Więc

można obliczyć popęd siły nawet nie znając dokładnej postaci zależności

siły od czasu, jeżeli znana jest jej wartość średnia w analizowanym

przedziale.

Popęd

W przypadku siły niezależnej od czasu, jej wartość średnia i chwilowa są

jednakowe: F

= F = ma , więc

Reguła pędu i popędu

Ponieważ impuls (popęd) to efekt działania siły w określonym przedziale czasu, jego skutkiem jest wywołanie zmian w ruchu ciała.

Ponieważ wiemy, że iloczyn mv definiuje pęd, iloczyn mΔv oznacza zmianę pędu, co prowadzi do relacji zwanej regułą pędu i popędu:

Popęd siły (impuls) udzielony układowi powoduje zmianę pędu tegoż

układu. Zmiana ta jest równa działającemu impulsowi:

Reguła pędu i popędu

Piłce poruszającej się z prędkością początkową v i początkowym pędem

p, zostaje przekazany impuls J.

Impuls dodaje się wektorowo do początkowego pędu.

Zatem zmiana pędu równa jest impulsowi.

Po zadziałaniu impulsu (przekazaniu popędu) piłka porusza się z nowym

pędem p₁ i prędkość v₁

Reguła pędu i popędu

„Panie Sulu, proszę nas stąd zabrać, 1/4 impulsu naprzód!” – tą komendą kapitan statku Enterprise nakazywał rozpędzenie statku ze stanu spoczynku do prędkości końcowej równej 1/4 prędkości światła w próżni, czyli v₁ = 1/4 3,0 10⋅ ⋅ ⁸ m/s. Przyjmując, że statek

dokonał tego w ciągu 60 s, a masa statku wynosi 2 10⋅ ⁹ kg,wyznacz siłę rozpędzającą statek.

Ponieważ kierunek ruchu statku reprezentuje tylko jeden wymiar, wystarczy nam analiza samych wartości wektorów, stąd skalarna postać reguły pędu i popędu

Reguła pędu i popędu

Siła, którą wyznaczyliśmy, jest niewyobrażalnie duża. Oczywiste jest, że takiego ruchu nie przeżyłby żaden z pasażerów statku, podobnie jak powstałych naprężeń nie wytrzymałoby jego wyposażenie. Na szczęście Enterprise zawiera „wewnętrzny system tłumienia” :)

Zasada zachowania pędu

Przed zderzeniem dwie kule bilardowe posiadają pędy p₁ i p₂. Całkowity pęd układu jest sumą wektorową obu pędów, oznaczoną na rysunku jako czerwony wektor p_sum.

Po zderzeniu obie kule bilardowe posiadają już inne pędy, p’₁ i p’₂ , ale ich suma wektorowa się nie zmieniła, co ilustruje taki sam jak poprzednio wektor p’_sum .

Mówimy, że całkowity pęd tego układu jest stały w czasie albo, inaczej

mówiąc: zachowany.

Zasada zachowania pędu

Mówimy, że całkowity pęd układu jest stały w czasie albo, inaczej mówiąc:

zachowany.

Co to jest układ?

Układ (w rozumieniu fizyki, a ściślej – mechaniki) to zbiór obiektów, których ruch analizujemy (czy to w ujęciu kinematyki, czy dynamiki).

Zasada zachowania pędu

Kiedy pęd jest zachowany?

Aby pęd układu nie zmieniał się w czasie, układ musi spełniać dwa warunki:

1. Masa układu podczas oddziaływania musi pozostać stała.

Podczas oddziaływania ciał między sobą możliwa jest wymiana masy między nimi, ich sklejenie lub rozpad na drobniejsze elementy, ale masa całkowita układu (suma mas jego elementów) musi pozostać stała.

Jeśli jedno ciało zwiększyło masę na skutek oddziaływania, to masa innych elementów układu musiała zmaleć.

Zasada zachowania pędu

Kiedy pęd jest zachowany?

Aby pęd układu nie zmieniał się w czasie, układ musi spełniać dwa warunki:

2. Wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ musi być równa zeru.

Elementy układu podczas ruchu lub zderzenia, bądź eksplozji oddziałują ze sobą.

Jednak siły tego wzajemnego oddziaływania są siłami wewnętrznymi, wzajemnymi i w ten sposób każda z nich ma swoją siłę wzajemną, wynikającą z III zasady dynamiki – o takiej samej wartości, ale przeciwnym zwrocie. Zatem zmiana pędu jednego elementu układu równoważy się (sumuje wektorowo, dając zero) ze zmianą pędu innego elementu układu. Tym samym, siły wewnętrzne nie są w stanie zmienić całkowitego pędu układu, ponieważ poszczególne zmiany pędów jego elementów wzajemnie się znoszą. Pęd układu może ulegać zmianie tylko pod wpływem sił zewnętrznych. Aby w naszym układzie pęd był wielkością zachowaną, musimy spełnić warunek

Zasada zachowania pędu

Jeśli układ jest zamknięty i izolowany, tak że wypadkowa działających na układ sił zewnętrznych jest równa zeru, to pęd układu jest stały, nawet jeśli pędy cząstek układu się zmieniają.

Zderzenia

Zderzenia sprężyste i niesprężyste

Gdy dwa ciała zderzają się, to zderzenie może być sprężyste (elastyczne) lub niesprężyste (nieelastyczne), w zależności od tego, czy energia kinetyczna jest zachowana podczas tego zderzenia czy też nie.

W zderzeniu sprężystym całkowita energia kinetyczna jest zachowana podczas, gdy w zderzeniu niesprężystym ciała tracą część energii kinetycznej. Kiedy dwa ciała po zderzeniu łączą się, mówimy, że zderzenie jest całkowicie niesprężyste.

Zderzenia

Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej

Zderzenie sprężyste dwóch gładkich niewirujących kul o masach m₁ i m₂.

Przed zderzeniem kule poruszają się wzdłuż linii łączącej ich środki (zderzenie centralne) z prędkościami odpowiednio v₁ i v₂. Znajdź prędkości u₁ i u₂ tych kul po zderzeniu.

Z zasady zachowania pędu

Ponieważ zderzenie jest sprężyste, to zgodnie z definicją energia kinetyczna jest zachowana

Rozwiązujemy układ dwóch równań

Zderzenia

Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej

Prędkości ciał u₁ i u₂ po zderzeniu:

● Zderzenie dwóch identycznych ciał m₁=m₂=m . Rozwiązanie: u₁ = v₂ , u₂=v₁. Ciała wymieniają się prędkościami i zarazem pędami.

● Lekka cząstka zderza się centralnie z ciężkim nieruchomym jądrem lub piłka uderza o ścianę; m₁ << m₂ , v₂ = 0 .

Rozwiązanie: u₁ = − v₂ , u₂ = 0 . Piłka odbija się sprężyście od ściany więc prędkość zmienia znak (wektor zmienia zwrot), a ściana pozostaje nieruchoma.

● Sytuacja odwrotna, ciężka cząstka uderza w nieruchomą cząstkę lekką; m₁ >> m₂ oraz v₂ = 0 . Rozwiązanie: u₁ = v₁ , u₂ = 2 v₁ . Cząstka lekka uzyskuje prędkość dwukrotnie większą od cząstki ciężkiej, której prędkość (pęd) nie ulega zmianie.

Zderzenia

Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej

Rozważmy teraz przypadek zderzenia całkowicie niesprężystego. Przy zderzeniach niesprężystych energia kinetyczna nie jest zachowana. Energia będąca różnicą pomiędzy początkową i końcową energią kinetyczną przechodzi w inne formy energii, na przykład w ciepło lub energię potencjalną związaną z deformacją ciała podczas zderzenia.

Wahadło balistyczne służy do pomiaru prędkości pocisków. Składa się ono z bloku drewnianego o masie M , wiszącego na dwóch sznurach. Pocisk o masie m , mający prędkość poziomą v , wbija się w klocek i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahadło, tzn. klocek z tkwiącym w nim pociskiem, wychyla się i podnosi na maksymalną wysokość h.

Zderzenia

Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej

Pęd przed zderzeniem jest równy pędowi pocisku, ponieważ klocek jest nieruchomy.

Natomiast po zderzeniu klocek i pocisk poruszają się razem.

Stosując zasadę zachowania pędu, otrzymujemy

u jest prędkością układu klocek - pocisk zaraz po zderzeniu. W zderzeniu część energii kinetycznej pocisku jest tracona m.in. na ciepło i odkształcenie klocka, w który pocisk się wbija. Pozostała część energii kinetycznej zamienia się po zderzeniu w potencjalną energię grawitacji, co możemy zapisać w postaci równania

Wystarczy więc zmierzyć wysokość h oraz masy m i M , aby móc wyznaczyć prędkość pocisku v .