Niezależne zmienny losowe X, Y mają standardowy rozkład normalny, X, Y ∼ N (0, 1)

Zadania RP 1, seria VI. Termin oddania: 3.6.2020 Proszę wybrać dwa zadania.

Zadanie 1. Niezależne zmienny losowe X, Y mają standardowy rozkład normalny, X, Y ∼ N (0, 1). Wykazać, że

Med(max(|X|, |Y |)) =

√2

2 Med(|X| + |Y |), gdzie Med(X) oznacza medianę zmiennej losowej X.

Zadanie 2. Dany jest ciąg (Xn)n­2 niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie zadanym przez równości P(Xⁿ = 2n) = 1 − P(Xⁿ= 1/n) = _{n log n}¹ .

(a) Czy ciąg (Xn) jest zbieżny według prawdopodobieństwa?

(b) Czy ciąg (Xn) jest zbieżny p.n.?

(c) Dla jakich p ­ 1 ciąg (Xn) jest zbieżny w L^p?

Zadanie 3. O wektorze losowym U = (X, Y, Z) wiadomo, że dla dowolnych a, b, c takich, że a²+ b²+ c²= 1 zmienna losowa aX + bY + cZ ma rozkład jednostajny na odcinku [−1, 1]. Wykazać, że U ma rozkład jednostajny na sferze jednostkowej.

Zadanie 4. Niezależne zmienne losowe X, Y mają ten sam rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną µ. Znajdź E(min{X, Y }|X + Y = M ), gdzie M jest pewną ustaloną liczbą dodatnią.

Zadanie 5. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, X ∼ N (0, 1), Y ∼ ¹₄δ0+³₄δ1. Udowodnij, że X + Y ma gęstość, natomiast XY nie ma gęstości . Oblicz E(|X|^Y).

Zadanie 6. Niech X, Y będą zmiennymi losowymi o łącznym rozkładzie normalnym takim, że EX = EY = 0, Var X = 1, Var Y = 5 i Cov(X, Y ) = −2. Oblicz E(Y²|X).