Uwagi dotycz¡ce egzaminu

Uwagi dotycz¡ce egzaminu

1. Egzamin obejmuje wyª¡cznie materiaª drugiego semestru.

2. Ka»demu pytaniu teoretycznemu towarzyszyª b¦dzie nieuci¡»liwy rachunkowo przykªad.

3. Ka»dy student otrzyma cztery pytania. Dwa z analizy matematycznej, jedno z rachunku prawdopodobie«- stwa i jedno ze statystyki matematycznej.

4. Warunkiem zdania egzaminu jest dostateczna odpowied¹ na ka»de z czterech pyta«. W przypadkach w¡tpli- wych b¦d¦ bardziej szczegóªowo sprawdzaª minimum wiedzy z problematycznego dziaªu. W szczególno±ci egzaminu nie zda osoba nie znaj¡ca wzorów na estymatory warto±ci oczekiwanej X i wariancji s²,bs². Oczywi±cie znajomo±¢ tych wzorów jest warunkiem koniecznym (a nie dostatecznym) zdania egzaminu.

5. W czasie egzaminu b¦dzie mo»na korzysta¢ z podstawowych wzorów z rachunku ró»niczkowego i caªkowego, listy wzorów statystycznych z mojej strony i z udost¦pnionych wcze±niej tablic statystycznych. Prosz¦ je przed egzaminem wydrukowa¢. Korzystanie z jakichkolwiek innych materiaªów b¦dzie zabronione. W szczególno±ci kontakt z komputerem ma ograniczy¢ si¦ do konwersacji z egzaminatorem.

6. Egzamin przeprowadz¦ na kanale do wykªadu na platformie Microsoft Teams. Konieczna jest wª¡czona kamerka. Na ka»d¡ osob¦ przewiduj¦ 20 min. Przed egzaminem opublikuje list¦ osób z przypisanymi czasami. Kolejno±¢ b¦dzie alfabetyczna. Mo»na b¦dzie zamienia¢ si¦ kolejno±ci¡ za porozumiem obu zainteresowanych zmian¡ osób. Mo»liwe b¦d¡ drobne przesuni¦cia, o których b¦d¦ informowaª na czacie.

Czasem b¦d¦ zapraszaª nieco wcze±niej, gdy osoba poprzedzaj¡ca sko«czy przed czasem.

Lista pyta«

Analiza matematyczna

1. Sformuªowa¢ twierdzenie o caªkowaniu przez cz¦±ci. Zastosowa¢ do wyznaczenia caªki ... . 2. Poda¢ twierdzenie o caªkowaniu przez podstawienie. Zastosowa¢ je do wyznaczenia caªki ... .

3. Caªka Riemanna i jej interpretacja geometryczna. Obliczy¢ pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji (osi¡ Ox i prostymi pionowymi).

4. Sformuªowa¢ podstawowe twierdzenie rachunku (czyli wzór Newtona  Leibniza). Wyznaczy¢ dan¡ caªk¦.

5. Jak deniuje si¦ caªki niewªa±ciwe? Obliczy¢ dan¡ caªk¦ niewªa±ciw¡.

6. Omówi¢ równania ró»niczkowe o zmiennych rozdzielonych i metod¦ ich rozwi¡zywania. Rozwi¡za¢ ... . 7. Omówi¢ równania ró»niczkowe liniowe (jednorodne i niejednorodne) i metod¦ ich rozwi¡zywania. Na czym

polega metoda uzmienniania staªej. Rozwi¡za¢ ... .

8. Napisa¢ równanie ró»niczkowe zmienno±ci populacji gdy jej szybko±¢ wzrostu jest wprost proporcjonalna do liczebno±ci. Rozwi¡za¢.

9. Napisa¢ równanie ró»niczkowe zmienno±ci populacji gdy jej szybko±¢ wzrostu jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczebno±ci. Rozwi¡za¢.

10. Pochodne cz¡stkowe. Denicja i sposób wyznaczania. Wyznaczy¢...

11. Pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du. Twierdzenie Schwarza o pochodnych mieszanych. Wyznaczy¢ ... . 12. Ró»niczka zupeªna funkcji dwóch zmiennych. Wyznaczy¢ ró»niczk¦ danej funkcji w danym punkcie i za-

stosowa¢ do obliczenia warto±ci przybli»onej ... .

13. Gradient i pochodna kierunkowa funkcji dwóch zmiennych. Wyznaczy¢ ... . 14. Wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych. Wyznaczy¢ ... .

Rachunek prawdopodobie«stwa

1. Co to jest przestrze« probabilistyczna, zdarzenie elementarne, zdarzenie i prawdopodobie«stwo. Okre±li¢

przestrze« probabilistyczn¡ i obliczy¢ prawdopodobie«stwo ... . (Równie» w prostych sytuacjach dla niesko«czonych zbiorów).

2. Co to jest warto±¢ oczekiwana zmiennej losowej? Wyznaczy¢ warto±¢ oczekiwan¡ danej zmiennej losowej.

3. Co to jest wariancja zmiennej losowej? Wyznaczy¢ wariancj¦ danej zmiennej losowej.

4. Omówi¢ rozkªad dwumianowy (Bernoulliego). Zastosowa¢ w danym przykªadzie.

5. Omówi¢ rozkªad normalny. Naszkicowa¢ wykres funkcji g¦sto±ci rozkªadu N(0, 1) i zinterpretowa¢ na nim prawdopodobie«stwa danych przedziaªów warto±ci zmiennej o tym rozkªadzie. Wyznaczy¢ je na podstawie tablicy dystrybuanty.

6. Sformuªowa¢ twierdzenie graniczne Moivre'a-Laplace'a. Korzystaj¡c z tablic dystrybuanty rozkªadu nor- malnego N(0; 1) obliczy¢ przybli»on¡ warto±¢ prawdopodobie«stwa ... .

7. Jakie warunki musi speªnia¢ funkcja g¦sto±ci zmiennej losowej typu ci¡gªego? Wyznaczy¢ warto±¢ staªej A tak, aby funkcja (zale»na od A) byªa funkcj¡ g¦sto±ci zmiennej losowej.

8. Co to jest dystrybuanta zmiennej losowej? Sporz¡dzi¢ wykres dystrybuanty zmiennej losowej o danym rozkªadzie prawdopodobie«stwa.

9. Jak zmienia si¦ warto±¢ oczekiwana i wariancja zmiennych losowych przy przeksztaªceniach liniowych.

Na czym polega standaryzacja zmiennej losowej. Korzystaj¡c z tablicy dystrybuanty zmiennej losowej o rozkªadzie N(0; 1) wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo pewnego przedziaªu dla zmiennej losowej o rozkªadzie normalnym z innymi parametrami.

Statystyka matematyczna

1. Jak¡ statystyk¦ przyjmuje si¦ za estymator warto±ci oczekiwanej rozkªadu? Z jakich statystyk korzystamy przy budowie przedziaªów ufno±ci dla warto±ci oczekiwanej.

2. W jakich sytuacjach przy budowie przedziaªów ufno±ci opieramy si¦ na rozkªadzie normalnym, a w jakich na rozkªadzie t−Studenta? Wybra¢ wªa±ciwy wzór i odczyta¢ wªa±ciwy kwantyl, gdy ... .

3. W jakich sytuacjach przy werykacji hipotez statystycznych opieramy si¦ na rozkªadzie normalnym, a w jakich na rozkªadzie t−Studenta? Wybra¢ wªa±ciwy wzór i odczyta¢ wªa±ciwy kwantyl, gdy ... .

4. Jak¡ statystyk¦ przyjmuje si¦ za estymator wariancji. Z rozkªadu jakich statystyki korzysta si¦ przy budowie przedziaªów ufno±ci dla nieznanej wariancji. Wybra¢ wªa±ciwy wzór, próba jest maªa lub du»a i skorzysta¢

z wªa±ciwych tablic ... .

5. Jak¡ statystyk¦ przyjmuje si¦ za estymator wariancji. Z rozkªadu jakich statystyki korzysta si¦ przy werykacji hipotez dla nieznanej wariancji. Wybra¢ wªa±ciwy wzór, próba jest maªa lub du»a i skorzysta¢

z wªa±ciwych tablic ... .

6. Jak¡ statystyk¦ wykorzystuje si¦ przy werykacji hipotezy o równo±ci warto±ci oczekiwanych dwóch po- pulacji o rozkªadach normalnych gdy nie s¡ znane ich odchylenia standardowe i dysponuje si¦ wynikami maªych prób (znane s¡ odchylenia standardowe lub próby s¡ du»e)? W jakich sytuacjach mo»na zastosowa¢

test ró»nic?

7. Poda¢ denicj¦ wspóªczynnika korelacji i omówi¢ jego wªasno±ci.

8. Co to jest prosta regresji? Na czym polega metoda najmniejszych kwadratów?

9. Kwantyl rz¦du p i warto±¢ krytyczna rz¦du p Ich zastosowanie przy werykacji hipotez statystycznych i budowie przedziaªów ufno±ci.

10. Czym jest poziom ufno±ci, a czym poziom istotno±ci? Jak okre±la si¦ odpowiadaj¡ce im warto±ci krytyczne?

Odczyta¢ z tablic wªa±ciw¡ warto±¢ krytyczn¡, gdy werykujemy hipotez¦ ... .

Przykªadowy zestaw pyta« dla jednej osoby

1. Sformuªowa¢ twierdzenie o caªkowaniu przez cz¦±ci. Zastosowa¢ do wyznaczenia caªki Z

xe^xdx.

2. Napisa¢ równanie ró»niczkowe zmienno±ci populacji gdy jej szybko±¢ wzrostu jest wprost proporcjonalna do liczebno±ci. Rozwi¡za¢.

3. Omówi¢ rozkªad normalny. Naszkicowa¢ wykres funkcji g¦sto±ci rozkªadu N(0, 1) i zinterpretowa¢ na nim prawdopodobie«stwa P (0, 25 < X < 0, 75), P (X > −0, 35), dla zmiennej X o tym rozkªadzie. Wyznaczy¢

je na podstawie tablicy dystrybuanty.

4. Jak¡ statystyk¦ przyjmuje si¦ za estymator wariancji. Z rozkªadu jakich statystyk korzysta si¦ przy we- rykacji hipotez dla nieznanej wariancji. Wskaza¢ wªa±ciwe wzory, gdy próba próba jest maªa lub du»a.

Zwerykowa¢ hipotez¦ H0 : σ²= 1 przeciwko alternatywnej H1 : σ² > 1, gdy 10−elementowa próba daªa warto±¢ estymatora s² = 1, 2. Przyj¡¢ poziom istotno±ci α = 0, 05.