Skonstruuj przedziaªy ufno±ci na poziomie ufno±ci 0,95 dla tych parametrów

Ekonometria, lista zada« nr 3

We wszystkich zadaniach zakªadamy, »e speªnione s¡ zaªo»enia modelu liniowego Gaussa-Markowa.

1. Udowodnij, »e dla modelu liniowego

Yi = β0+ β1xi+ εi, i = 1, 2, . . . , n, zachodzi Cov( ¯Y , ˆβ₁) = 0.

2. Udowodnij, »e w modelu z powy»szego zadania zachodzi Cov( ˆβ1, ˆβ0) = −_P(x^σ2x¯

i−¯x)². 3. W modelu liniowym postaci:

Yi = β0 + β1xi+ εi, i = 1, 2, . . . , 6,

gdzie ¯Y = 4, P Yi2 = 128, ¯x = 2, P xi2 = 30, P xiY_i = 54, wyestymuj parametry β0 i β₁ za pomoc¡ metody najmniejszych kwadratów. Oblicz sumy kwadratów i wspóªczynnik determinacji. Podaj nieobci¡»ony estymator wariancji skªadnika losowego (ε1) oraz nieob- ci¡»one estymatory wariancji wcze±niej wyznaczonych estymatorów parametrów równania regresji. Skonstruuj przedziaªy ufno±ci na poziomie ufno±ci 0,95 dla tych parametrów.

4. Hurtownia owoców przeprowadziªa analiz¦ zale»no±ci popytu na jabªka od przeci¦tnych dochodów mieszka«ców pobliskiego miasta. W tym celu wykorzystano nast¦puj¡cy model:

Y_i = β₀+ β₁x_i+ ε_i, i = 1, 2, . . . , n.

Wyznacz estymatory metody najmniejszych kwadratów parametrów β0 i β1, je±li wia- domo, »e P(Yi− ˆY_i)² = 6, ¯Y = 5, P xi = 16, n P xi2− (P xi)² = 32, P xiY_i = 82 za±

V ar( ˆd β₁) = 0, 25. Oblicz sumy kwadratów i wspóªczynnik determinacji. Podaj nieobci¡-

»ony estymator wariancji skªadnika losowego oraz nieobci¡»ony estymator wariancji β0. Skonstruuj przedziaªy ufno±ci na poziomie ufno±ci 0,90 dla parametrów β0 i β1.

5. Na podstawie informacji zawartych w tabeli

Y: 1 0 2 2

X₁: 2 0 -2 -1 X₂: 0 1 2 3 oszacuj parametry modelu

Y_i = β₀+ β₁x_i,1+ β₂x_i,2+ ε_i, i = 1, 2, 3, 4.

Wcze±niej obliczono ju», »e

(X⁰X)⁻¹ = 1 54





77 −28 −47

−28 20 22

−47 22 35



.

Oblicz sumy kwadratów i wspóªczynnik determinacji. Podaj nieobci¡»ony estymator wa- riancji skªadnika losowego oraz nieobci¡»one estymatory wariancji estymatorów parame- trów strukturalnych modelu. Wyznacz przedziaªy ufno±ci na poziomie ufno±ci 0,99 dla parametrów strukturalnych tego modelu.

6. Oszacuj parametry strukturalne modelu liniowego

Y_i = β₀ + β₁x_i,1+ β₂x_i,2+ ε_i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, wiedz¡c, »e

X⁰X =





6 3 4 3 2 2 4 2 3



, X⁰Y =



 15

9 12



, X

Yi2

= 56.

Nast¦pnie oblicz sumy kwadratów i wspóªczynnik determinacji. Oszacuj wariancj¦ skªad- nika losowego oraz wariancje ˆβ₀, ˆβ₁ i ˆβ₂. Skonstruuj przedziaªy ufno±ci na poziomie ufno±ci 0,95 dla parametrów β0 β₁ i β2. Skonstruuj te» przedziaª ufno±ci na tym samym poziomie ufno±ci dla 2β1− β₂.

7. Oszacuj parametry (wraz z przedziaªami ufno±ci na poziomie ufno±ci 0,995) modelu:

Yi = β0+ β1xi,1+ β2xi,2+ εi, i = 1, 2, . . . , n, maj¡c poni»sze dane:

X⁰Y =





−2 1

−1



, Cov( ˆˆ β) =





76 −24 −140

−24 8 44

−140 44 260



, σˆ² = 4.

Podaj sumy kwadratów i wspóªczynnik determinacji. Skonstruuj te» przedziaª ufno±ci na poziomie ufno±ci 0,995 dla 5β1 − β2.

8. Rozwa»amy nast¦puj¡cy model liniowy:

Y_i = β₁x_i,1+ β₂x_i,2+ ε_i, i = 1, 2, . . . , 100.

W prowadzonym eksperymencie uzyskano nast¦puj¡ce wyniki: P Yi = 100, P Yi² = ⁴⁹³₃ , P x²_i,1 = 30, P x²i,2 = 3, P xi,1Y_i = 30, P xi,2Y_i = 20, P xi,1x_i,2 = 0. Wyznacz estyma- tory metody najmniejszych kwadratów parametrów β1 i β2 oraz adekwatny do modelu wspóªczynnik determinacji. Skonstruuj przedziaªy ufno±ci dla β1 i β2 na poziomie ufno±ci 0,95.

9. W modelu liniowym

Y_i = β₁x_i,1+ β₂x_i,2+ ε_i, i = 1, 2, . . . , n,

przedziaªy ufno±ci dla parametrów strukturalnych s¡ równe: (−2, −1) dla β1 i (−0, 5, 1) dla β2. Czy mo»na przyj¡¢, »e który± spo±ród parametrów β1 i β2 jest ró»ny od zera? Na jakim poziomie istotno±ci? A oba?

10. Zakªadaj¡c, »e dla danych w zadaniach 9-11 z listy 2 speªnione s¡ zaªo»enia modelu liniowego Gaussa-Markowa, oblicz nieobci¡»ony estymator wariancji skªadnika losowego i nieobci¡»one estymatory wariancji estymatorów metody najmniejszych kwadratów para- metrów strukturalnych. Podaj te» przedziaªy ufno±ci dla tych»e parametrów na poziomie ufno±ci 0,95.