Minimalna liczebno±¢ próby dla oszacowania warto±ci oczekiwanej teoria Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu Pθ, θ ∈ Θ, oraz α ∈ (0, 1).
Cel: znale¹¢ tak¡ liczebno±¢ próby, aby dªugo±¢ przedziaªu ufno±ci zbudowanego na poziomie ufno±ci 1 − α nie przekraczaªa ustalonej liczby 2d, d > 0. Liczb¦ d nazywa si¦ maksymalnym bª¦dem oszacowania.
1. Minimalna liczebno±¢ próby dla oszacowania warto±ci oczekiwanej a rozkªadu normalnego N(a, σ2).
(a) Parametr σ2 znany,
n >
µt1−α/2σ d
¶2 . (b) Parametr σ2 nieznany.
Dwuetapowa procedura Steina:
(1) Losujemy prób¦ o liczebno±ci n0 i na jej podstawie obliczamy odchylenie stan- dardowe z próby
s0 = vu ut 1
n0− 1
n0
X
i=1
(xi− ¯x)2.
(2) Obliczamy
n =
Ãz01−α/2s0
d
!2 .
(i) Je»eli n 6 n0, to próba o liczebno±ci n0 wystarcza do uzyskania maksymal- nego bª¦du oszacowania nie wi¦kszego ni» d.
(ii) Je»eli n > n0, to nale»y dodatkowo wylosowa¢ prób¦ n − n0 elementow¡.
2. Minimalna liczebno±¢ próby dla oszacowania prawdopodobie«stwa sukcesu w schemacie Bernoulliego.
(a) Warto±¢ ¯x znana z badania pilota»owego,
n >
µt1−α/2 d
¶2
¯
x(1 − ¯x).
(b) Warto±¢ ¯x nieznana,
n >
µt1−α/2 2d
¶2 .
. . . . Oznaczenia: Φ dystrybuanta rozkªadu normalnego N(0, 1),
t1−α/2 = Φ−1¡
1 − α2¢ ,
Ftn0−1 dystrybuanta rozkªadu t-Studenta z n0− 1 stopniami swobody, z1−α/20 = Ft−1n0−1¡
1 − α2¢ .
