b) Siła ciężkości EFg działająca na całe ciało jest przyłożona w środku ciężkości ciała (ŚC)

Rys. 13.4. a) Element masy mi ciała rozciągłego. Działająca na ten element siła ciężkości EFgi ma ramię xi wzglę- dem początku układu współrzędnych O.

b) Siła ciężkości EFg działająca na całe ciało jest przyłożona w środku ciężkości ciała (ŚC). Ma ona ramię x_ŚCwzględem początku układu współrzędnych O

M_i =X

x_iFgi. (13.11)

A teraz rozpatrzmy ciało jako całość. Na rysunku 13.4b przedstawiono siłę ciężkości przyłożoną do środka ciężkości ciała. Ma ona ramię x_ŚC względem punktu O, a zatem jej moment M możemy zapisać, korzystając znów z równania (11.33), jako

M= xŚCFg. (13.12)

Siła ciężkości EFg działająca na całe ciało jest równa sumie sił ciężkości EFgi dzia- łających na poszczególne jego elementy, zatem w równaniu (13.12) podstawiamy PFgi zamiast Fg i otrzymujemy

M= xŚC

XFgi. (13.13)

Przypomnijmy sobie teraz, że moment siły związany z siłą EFgprzyłożoną do ciała w jego środku ciężkości jest równy wypadkowemu momentowi siły pocho- dzącemu od sił EFgi działających na wszystkie elementy ciała (tak właśnie zde- finiowaliśmy środek ciężkości). Wobec tego moment siły M z równania (13.13) jest równy M_wyp z równania (13.11). Przyrównując do siebie prawe strony tych równań, dostajemy

x_ŚCX

Fgi =X x_iFgi. Podstawiając m_ig_i zamiast Fgi, otrzymujemy

x_ŚCX

m_ig_i =X x_im_ig_i.

A teraz rzecz najważniejsza: jeśli przyspieszenie g_i jest jednakowe w miejscach zajmowanych przez poszczególne elementy ciała, to g_i w tym równaniu skraca się i mamy

x_ŚCX

mi =X

ximi. (13.14)

Suma P

mi mas wszystkich elementów jest całkowitą masą ciała M. Równanie (13.14) możemy więc zapisać w postaci

x_ŚC= 1 M

Xximi. (13.15)

6 13. Równowaga i sprężystość