Zadanie Wykazać, że w grupie

Paweł Tarasiuk, 151021

Zadanie

Wykazać, że w grupie n ­ 2 osób zawsze da się wskazać takie dwie osoby, które mają równe liczby znajomych.

Rozważmy graf G(V, E, γ) w którym wierzchołkami są osoby v

, . . . , v

∈ V , zaś krawędzie są równoważne znajomościom pomiędzy oso- bami. Przyjmując, że nikt nie liczy siebie samego jako własnego znajome- go, oraz że każda znajomość jest opisana przez dokładnie jedną krawędź (brak krawędzi wielokrotnych), otrzymujemy wniosek, że G jest grafem pro- stym. Kolejnym „odgadniętym” założeniem jest wzajemność wszystkich zna- jomości - która oznacza, że mamy do czynienia z grafem nieskierowanym (tzn. γ : E → {{a, b} | a, b ∈ V }).

Zauważmy, że osoba v

może mieć od 0 do n − 1 znajomych (liczba zna- jomych to oczywiście deg(v

)), co daje w sumie n możliwości.

Załóżmy przez kontrapozycję, że w dla pewnego n >= 2 doszło do sytu- acji, że każda osoba miała inną liczbę znajomych. Skoro mamy n osób, oraz n możliwych liczb znajomych - to każda z liczb znajomych musi wystąpić dokładnie jeden raz, tzn.:

(s

, . . . , s

) = (1, . . . , 1)

Jednakże, skoro s

= 1, to istnieje w grafie wierzchołek izolowany v

, tzn. nie mający żadnych sąsiadów. Jednocześnie s

= 1 oznacza, że pe- wien wierzchołek v

jest sąsiadem wszystkich wierzchołków w grafie poza nim samym (jest ich dokładnie n − 1) - założenie, że G jest grafem prostym, wyklucza inne możliwości. Skoro n ­ 2, to n−1 6= 0, czyli deg(v

) 6= deg(v

), a zatem - v

6= v

.

Otrzymujemy zatem sprzeczność, bo ze względu na deg(v

) = 0, v

nie jest sąsiadem v

, lecz skoro deg(v

) = n − 1, to v

jest sąsiadem v

. Za- przeczenie tezy doprowadziło nas do sprzeczności z założeniami, co kończy dowód przez kontrapozycję.

1 / 1