(e) sin x, x0 = π

Ćwiczenia (4), AM I, 15.3.2019 Wzór Taylora

Zadanie 1. Oszacuj różnicę między funkcją √

1 + x i jej wielomianem Taylora stopnia 2 o środku w punkcie 0 na przedziale [−1/2, 1/2].

Zadanie 2. Rozwiń w szereg potęgowy o środku w x0 funkcje:

(a) e^2x, x₀ = 0; (b) sin 2x, x₀ = 0; (c) sin²x, x₀ = 0; (d) 1 + 3x + 5x²− 2x³, x₀ = −1;

(e) sin x, x₀ = π; (f) x sin x, x₀ = 0; (g) e^x, x₀ = 1; (h) _{(x−1)(x−2)}¹ , x₀ = 0; (i) _(1−x)¹ 3, x₀ = 0.

Zadanie 3. Oblicz f⁽²⁰¹⁹⁾(0) dla (a) f (x) = _{(x−1)(x−2)}¹ ; (b) f (x) = _{(x−1)(x−2)}^x+1 ;

Zadanie 4. Wyznacz wielomiany Taylora wskazanego stopnia następujących funkcji (środek w x₀):

(a) f (x) = ^1+x+x_1−x+x²2, stopnia 4, x₀ = 0; (b) f (x) = e^2x−x2, stopnia 5, x₀ = 0; (c) f (x) =

√1 − 2x + x³−√³

1 − 3x + x² stopnia 4, x₀ = 0; (d)√³

sin x³ stopnia 13, x₀ = 0; (e) ln^{sin x}_x stopnia 6, x0 = 0. (f) √

x, x₀ = 1 dowolnego stopnia; (g) x^x− 1, x₀ = 1, stopnia 3;

Zadanie 5. Funkcję f (x) =√

1 + x²− x, (x > 0) rozpisać w zmiennej 1/x do składnika 1/x³. Zadanie 6. Dla jakich x zachodzi | cos x − (1 −^x₂²)| < 10⁻⁴?

Zadanie 7. Niech r_n(x) = ln(1 + x) −^Pn_k=1 ⁽⁻¹⁾_k^k−1x^k, x ∈ (−1, 1].

(a) Dla jakich n zachodzi r_n(1) < 0?

(b) Wykazać, że lim_n→∞|nr_n(1)| = ¹₂. (c) Wykazać, że |nr_n(¹₂)| < ₂¹n.

Zadanie 8. Z pomocą wzoru Taylora znajdź (a) e z dokładnością do 10⁻⁵;

(b) √³

30 z dokładnością do 10⁻³; (c) sin 1^◦ z dokładnością do 10⁻⁹; (d) log 11 z dokładnością do 10⁻⁵.