f (x) = arc sin x

–

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Inżynieria Środowiska

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Funkcje cyklometryczne

11. Funkcje cyklometryczne

f (x) = arc sin x

• D = [−1, 1];

• Zbiór wartości [−

π,

π];

• funkcja rosnąca.

0 x

y

-1 1

2?

1

?

f(x)=arccosx

f (x) = arc cos x

• D = [−1, 1];

• Zbiór wartości [0, π];

• funkcja malejąca.

f (x) =arctgx

• D = R;

• Zbiór wartości ( −

π,

π);

• funkcja rosnąca.

0 x

y

?

2?

1

f(x)=arcctgx

f (x) = arc ctg x

• D = R;

• Zbiór wartości (0, π);

• funkcja malejąca.

Funkcje cyklometryczne są funkcjami odwrotnymi do funkcji trygonometrycznych. Z definicji funkcji odwrotnej wynikają następujące wzory:

Jeżeli y ∈ [−

π,

π] oraz x ∈ [−1, 1], to

y = arc sin x ⇐⇒ x = sin y

Jeżeli y ∈ [0, π] oraz x ∈ [−1, 1], to

y = arc cos x ⇐⇒ x = cos y

Jeżeli y ∈ (−

π,

π) oraz x ∈ R, to

y = arc tg x ⇐⇒ x = tg y Jeżeli y ∈ (0, π) oraz x ∈ R, to

y = arc ctg x ⇐⇒ x = ctg y.

53

Funkcje cyklometryczne

Przykładowe zadania

1. Obliczyć sin

3 arc tg √

3 + 2 arc cos

. Rozwiązanie:

arc tg √

3 = u ⇐⇒ tg u = √

3 ⇐⇒ u =

π arc cos

= t ⇐⇒ cos t =

⇐⇒ t =

π

Zatem sin(3 ·

π + 2 ·

π) = sin(π +

π) = sin(

π) = sin(2π −

π) = − sin

π = −

Odpowiedź: −

2. Obliczyć tg

5 arc tg

√3

3

−

arc sin

√3 2

)

. Rozwiązanie:

arc tg

= u ⇐⇒ tg u =

⇐⇒ u =

π arc sin

= t ⇐⇒ sin t =

⇐⇒ t =

π

Zatem tg(5 ·

π −

·

π) = tg(

π −

π) = tg

π = tg(π −

π) = − tg

π = −1 Odpowiedź: −1

3. Obliczyć cos[3 arc sin

+ arc cos( −

)].

Rozwiązanie:

arc sin

√3

2

= u ⇐⇒ sin u =

⇐⇒ u =

π arc cos(−

) = t ⇐⇒ cos t = −

⇐⇒ t = −

π

Zatem cos[3 ·

π + (−

π)] = cos(π −

π) = − cos

π = −

Odpowiedź: −

4. Obliczyć 2 arc sin( −

) + arc ctg( −1) + arc cos

+

arc cos( −1).

Rozwiązanie:

arc sin( −

) = u ⇐⇒ sin u = −

⇐⇒ u = −

π arc ctg( −1) = w ⇐⇒ ctg w = −1 ⇐⇒ w = −

π arc cos

2

= t ⇐⇒ cos t =

⇐⇒ t =

π

1

2

arc cos( −1) = v ⇐⇒ cos v = −1 ⇐⇒ v = π Zatem 2( −

π) + ( −

π) +

π +

π = −

π Odpowiedź:

π

Zadania

Obliczyć:

1. arc sin

−

. 2. arc cos

. 3. arc tg √

3.

4. arc sin 0.

5. arc ctg( −

).

6. arc tg

3+√ 3 1+√

3

)

. 7. arc ctg

(−3−2√ 3 2+√

3

)

.

8. arc tg

tg

π

. 9. tg

arc sin

√2 2

)

. 10. sin

(

2 arc cos

. 11. arc ctg

(

ctg

π

)

. 12. Udowodnić: arc tg( −2) + arc tg(−3) = −

π.

13. Rozwiązać równanie: arc sin x + arc sin 2x =

.

54

Funkcje cyklometryczne

Sporządzić wykresy funkcji:

14. y = arc tg |x − 1| +

. 15. y = arc sin

.

16. y = 1 − 2 arc cos x.

17. y = |

arc tg x −

|.

18. y = arc cos( −x) + π.

19. y = − arc ctg |x| + π.

Znaleźć dziedzinę funkcji:

20. f (x) = arc sin

.

21. f (x) = arc cos

2x +

−

. 22. f (x) =

4)

.

23. f (x) = arc sin

log(1 − x

)

. 24. f (x) = arc cos

. 25. f (x) =

√

arc sin

.

55