exp −200x
zagraża szkoda X o rozkładzie P (X = 0

1. Którą z akcji: X₁ ∼ N (5, 2) czy X₂ ∼ N (6, 2.5), wybierze decydent kierujący się funkcją użyteczności u(x) = − exp(−5x)?

2. Rozważmy sytuację, w której decydentowi o stanie posiadania w = 10, kierującemu się funkcją użyteczności u(x) = √

x zagraża szkoda X ∼ U (0, 10). Jaką składkę osoba ta będzie w stanie zapłacić za pełne ubezpieczenie straty X?

3. Rozważmy sytuację, w której decydentowi kierującemu się funkcją uży- teczności u(x) = − exp −₂₀₀^x
zagraża szkoda X o rozkładzie

P (X = 0) = 0.75, P (a < X < b) = Z b

a

f (x)dx,

gdzie f (x) = ¹₄ ₁

100exp −₁₀₀^x
 . Jaką składkę osoba ta będzie w stanie zapłacić za pełne ubezpieczenie straty X?

4. Strata X ma rozkład Ex(0.1). Rozważmy proporcjonalny kontrakt ubez- pieczeniowy I(x) = x/2. Dla jakiego udziału własnego d mamy E I(X) = EI_d(X), gdzie I_d(X) jest kontraktem typu stop−loss? Oblicz Var(X − I(X)) oraz Var(X − I_d(X)).

5. Wysokość szkody jest zmienną o rozkładzie Pareto z gęstością

f (x) = 2

(1 + x)³, x > 0.

Dla jakiego udziału własnego d mamy EI_d(X) ≤ ¹₂EX?

6. Wysokość szkody jest zmienną losową X o rozkładzie U (0, 20). Rozpa- trujemy wszystkie kontrakty I spełniające dwa warunki: 0 ≤ I(x) ≤ x oraz EI(X) = 2.5. Wyznacz (nietrywialne) ograniczenie dolne wyraże- nia Var(X − I(X)).

1

1. Którą z akcji: X₁ ∼ N (5, 2) czy X₂ ∼ N (6, 2.5), wybierze decydent kierujący się funkcją użyteczności u(x) = − exp(−5x)?

2. Rozważmy sytuację, w której decydentowi o stanie posiadania w = 10, kierującemu się funkcją użyteczności u(x) = √

x zagraża szkoda X ∼ U (0, 10). Jaką składkę osoba ta będzie w stanie zapłacić za pełne ubezpieczenie straty X?

3. Rozważmy sytuację, w której decydentowi kierującemu się funkcją uży- teczności u(x) = − exp −₂₀₀^x
zagraża szkoda X o rozkładzie

P (X = 0) = 0.75, P (a < X < b) = Z b

a

f (x)dx,

gdzie f (x) = ¹₄ ₁

100exp −₁₀₀^x
 . Jaką składkę osoba ta będzie w stanie zapłacić za pełne ubezpieczenie straty X?

4. Strata X ma rozkład Ex(0.1). Rozważmy proporcjonalny kontrakt ubez- pieczeniowy I(x) = x/2. Dla jakiego udziału własnego d mamy E I(X) = EI_d(X), gdzie I_d(X) jest kontraktem typu stop−loss? Oblicz Var(X − I(X)) oraz Var(X − I_d(X)).

5. Wysokość szkody jest zmienną o rozkładzie Pareto z gęstością

f (x) = 2

(1 + x)³, x > 0.

Dla jakiego udziału własnego d mamy EI_d(X) ≤ ¹₂EX?

6. Wysokość szkody jest zmienną losową X o rozkładzie U (0, 20). Rozpa- trujemy wszystkie kontrakty I spełniające dwa warunki: 0 ≤ I(x) ≤ x oraz EI(X) = 2.5. Wyznacz (nietrywialne) ograniczenie dolne wyraże- nia Var(X − I(X)).

2