x x  0 { }  1  x  62x − x  x  23x

(1)

Kolokwium z Programowania Liniowego, 30 maja 2012 r. Grupa B

1. Dana jest tablica simplex. Uzupełnij ją, oblicz następne rozwiązanie bazowe i oceń, czy jest optymalne.

2. Dana są pierwsza i ostatnia tablica simplex pewnego zadania PL.

Proszę odczytać rozwiązanie optymalne. Dla parametrycznego wektora ograniczeń w pierwszej tabeli [8-t, 4+t, 3-2t] obliczyć wektor ograniczeń w ostatniej, wskazać, dla jakich t baza pozostaje dopuszczalna i odczytać rozwiązanie w zależności od parametru. Zbadać sytuację w jednym z przedziałów przyległych.

3. Produkt może być wykonywany na dwóch obrabiarkach. Obrabiarka nr 1 zużywa 0,3 kWh i 7 kg miedzi na wytworzenie jednego produktu, obrabiarka druga odpowiednio 0,6 kWh i 5 kg. Na obrabiarce nr 1 można wytworzyć co najwyżej 50 produktów, na obrabiarce nr 2 należy wytworzyć co najmniej 5 produktów.

Dysponujemy 16 kWh i 165 kg miedzi. Zadanie polega na zmaksymalizowaniu produkcji. Sformułować problem PL i zapisać w postaci standardowej.

4. Dane jest zadanie prymarne wraz z rozwiązaniem. Ułożyć dualne i znaleźć rozwiązanie.

{ ^−x ^3x ^x ^2x

¹^1,¹

^x ^x ^x

¹²

^1 ^0

²²

^ ^2 ⁶ }

^,^x²^^max , rozwiązanie : [1,3 ]

5. Lewa tabela przedstawia koszty przewozów oraz wartości podaży i popytu zadania transportowego.

Prawa zawiera pewne rozwiązanie bazowe. Sprawdzić, czy to rozwiązanie jest optymalne, jeśli nie, obliczyć następne, i też ocenić jego optymalność. Obliczyć koszt transportu dla drugiego rozwiązania.

30 20 30 10

45 3 2 1 1 25 20

31 1 4 3 1 5 26

14 2 2 3 3 4 10

6. Poniższa tabela przedstawia grę macierzową. Gracz A wybiera wiersz, gracz B kolumnę, po czym A otrzymuje od B zadaną sumę. Znaleźć strategie mieszane dla obu graczy:

3 4 -1

-2 -3 2

-4 -1

cb h0 h1 h2 h3 h4 h5

3 2/3 0 1 1 0 1/3

1 0 1 0 1 -1

1 2/3 1 0 0 0 1/3

-2 -3

8 1 2 1 0 0

4 1 0 0 1 0

3 1 -1 0 0 1

2 0 1 1/2 - 1/2 0

4 1 0 0 1 0

1 0 0 1/2 -1 1/2 1

(2)

Kolokwium z Programowania Liniowego, 30 maja 2012 r. Grupa A

Proszę odczytać rozwiązanie optymalne. Dla parametrycznego wektora ograniczeń w pierwszej tabeli [2+t, 6-t, 5+t] obliczyć wektor ograniczeń w ostatniej, wskazać, dla jakich t baza pozostaje dopuszczalna i odczytać rozwiązanie w zależności od parametru. Zbadać sytuację w jednym z przedziałów przyległych.

3. Dla trzech gatunków paszy znane są : cena za kilogram - odpowiednio 6 zł, 4zł i 7zł, zawartość białka w kilogramie paszy - odpowiednio 300g, 100g i 300g, zawartość węglowodanów - odpowiednio 420g, 610g i 380g. Zwierzę potrzebuje dziennie otrzymać co najmniej 1,8 kg białka i 2,4 kg węglowodanów, ale dawka węglowodanów nie powinna przekroczyć 3 kg. Zagadnienie polega na ustaleniu składu mieszanki paszowej tak, aby zminimalizować cenę. Sformułować problem PL i zapisać w postaci standardowej.

{ ^2x ^2x ^x

¹¹^1,

^x ⁻ ^

²

^x ^3

²

^x ^x ^0

²²

^2 ^2 }

^,^4x¹^^2x²^^max , rozwiązanie : [5 / 2 , 3 ]

30 20 30 10

45 3 2 1 1 20 25

31 1 4 3 1 30 1

14 2 2 3 3 4 10

-1 2

3 -4

-3 3

-2 -3

-3 4 1/2 1 1/2 0 0

0 4 1 0 0 1 0

0 7 1 1/2 0 1/2 0 1

0 -1

2 -1 1 1 0 0

6 3 1 0 1 0

5 3 0 0 0 1

3 0 1 3/4 1/4 0

1 1 0 - 1/4 1/4 0

2 0 0 3/4 - 3/4 1

(3)

Kolokwium z Programowania Liniowego, 30 maja 2012 r. Grupa D

Proszę odczytać rozwiązanie optymalne. Dla parametrycznego wektora ograniczeń w pierwszej tabeli [8+t, 4-t, 3+2t] obliczyć wektor ograniczeń w ostatniej, wskazać, dla jakich t baza pozostaje dopuszczalna i odczytać rozwiązanie w zależności od parametru. Zbadać sytuację w jednym z przedziałów przyległych.

3. Na jeden produkt składają się dwa detale typu A i 5 detali typu B. Oba rodzaje wycinane są z takich samych arkuszy blachy, przy czym jest 5 sposobów cięcia (wykrojów?), które różnią się ilością elementów obu typów, jakie z jednego arkusza się otrzyma, oraz masą odpadu. Oto tabelka:

I II III IV V

A 4 3 2 1 0

B 0 1 3 4 5

Odpad 8 3 1 2 6

Mamy zamiar zrealizować zamówienie na 90 kompletów minimalizując sumę odpadów. Sformułować problem PL i zapisać w postaci standardowej.

{ ^−x ^3x ^x ^2x

¹^1,¹

^x ^x ^x

¹²

^1 ^0

²²

^ ^2 ⁶ }

^,^x¹^^2x²^^max , rozwiązanie : [1, 3 ]

30 20 30 10

45 3 2 1 1 16 29

31 1 4 3 1 30 1

14 2 2 3 3 4 10

2 5 -1

-2 -4 3

0 -1

2 -1 1 1 0 0

4 4 0 -1 1 0

5 3 0 0 0 1

-3 -1

8 1 2 1 0 0

4 1 0 0 1 0

3 1 -1 0 0 1

1 0 0 1/2 -1 1/2 1

2 0 1 1/2 - 1/2 0

4 1 0 0 1 0

(4)

Kolokwium z Programowania Liniowego, 30 maja 2012 r. Grupa C

Proszę odczytać rozwiązanie optymalne. Dla parametrycznego wektora ograniczeń w pierwszej tabeli [2+t, 6-3t, 5+2t] obliczyć wektor ograniczeń w ostatniej, wskazać, dla jakich t baza pozostaje dopuszczalna i odczytać rozwiązanie w zależności od parametru. Zbadać sytuację w jednym z przedziałów przyległych.

3. Do produkcji trzech rodzajów mebli (szafa, biurko, łóżko) zużywa się drewno dwóch gatunków, w ilościach podanych w tabeli. Podano też zapas drewna i zysk osiągany na każdym rodzaju mebli. Planujemy produkcję maksymalizując zysk. Należy uwzględnić, że warunki rynkowe ograniczają sensowność produkcji łóżek do 50 sztuk. Zachodzi też konieczność wyprodukowania przynajmniej 5 szaf - dla realizacji wcześniejszego

zamówienia. Sformułować problem PL i zapisać w postaci standardowej.

szafa biurko łóżko zasoby

jesion 0,3 0,2 0,1 5

grab 0,2 0,5 0,4 7

zysk 120 150 90

{ ^−x ^x

¹

^x ^2x

¹^1,

^x ^2x

¹

^x ^3

²

^0

²

^2

²

^2 }

^,^x¹^2x²^^max , rozwiązanie : [3, 5 / 2 ]

30 20 30 10

45 3 2 1 1 15 30

31 1 4 3 1 30 1

14 2 2 3 3 5 9

3 4 -6

-3 -5 1

-4 -1

2 -1 1 1 0 0

6 3 1 0 1 0

5 3 0 0 0 1

2 2/3 0 0 1 -1 1 1/3

1 0 1 0 1 -1

1 2/3 1 0 0 0 1/3

-2 -3

4 1/2 1 1/2 0 0

4 1 0 0 1 0

7 1 1/2 0 1/2 0 1

x x  0 { }  1  x  62x − x  x  23x

{ −x 3x x 2x

x x x

1 0

 2 6 }

{ 2x 2x x

x − 

x 3

x x 0

2 2 }

{ −x 3x x 2x

x x x

1 0

 2 6 }

{ −x x

x 2x

x 2x

x 3

0

2

2 }

{ ^−x ^3x ^x ^2x

^x ^x ^x

^1 ^0

^ ^2 ⁶ }

{ ^2x ^2x ^x

^x ⁻ ^

^x ^3

^x ^x ^0

^2 ^2 }

{ ^−x ^3x ^x ^2x

^x ^x ^x

^1 ^0

^ ^2 ⁶ }

{ ^−x ^x

^x ^2x

^x ^2x

^x ^3

^0

^2

^2 }