Przestrzenie liniowe, norma i przestrzenie unormowane
1. Wykazać, że X = Rn- zbiór wszystkich n-wyrazowych ciagów liczb rzeczywistych z działa- niami:
x + y = (x1 + y1, . . . , xn+ yn), αx = (αx1, . . . , αxn)
dla x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)∈Rn, α∈Rjest przestrzenia liniow a.
2. Wykazać, że zbiór wielomianów postaci Wn(t) = antn + an−1tn−1 + . . . + a1t + a0, dla t ∈ R, an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R z działaniami określonymi jak dla przestrzeni wszystkich funkcji rzeczywistych określonych naR jest podprzestrzenia liniow a przestrzeni tych funkcji.
3. Wykazać, że przestrzeń c0 jest podprzestrzenia liniow a przestrzeni wszystkich ci agów (okre- ślonej na wykładzie).
4. Pokazać, że zbiór (i){(0, y) ∈ R2 : y ∈R}, (ii) {(x, y) ∈ R2 : y = 3x},
(iii) {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + 7y− 4z = 0}
jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R2 lub R3. 5. Czy zbiór
(i){(x, y) ∈R2 : y = 3x + 1},
(ii) {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + 7y− 4z − 1 = 0}
jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R2 lub R3?
6. Pokazać, że przestrzeń lp - ciągów sumowalnych z p-tą potęgą (tzn. x = (tk)∞k=1 ∈ lp, jeśli
∞
k=1|tk|p <∞) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich ciągów o wyrazach rzeczy- wistych (lub zespolonych).
7. Pokazać, że przestrzeń C([a, b],R)- funkcji rzeczywistych ciągłych na przedziale [a, b] jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R[a,b].
8. Dla i ∈ {1, 2, . . . , n} niech ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)∈Rn, (1 na i-tym miejscu).
(i) Pokazać, że układ e1, . . . , en jest liniowo niezależny.
(ii) Sprawdzić, że dla każdego x = (x1, . . . , xn)∈Rn mamy x = x1e1+ x2e2 + . . . + xnen,
przy czym przedstawienie to jest jednoznaczne, tzn. jeśli x = α1x1 + . . . + αnxn dla αi ∈R, i∈ {1, . . . , n}, to αi = xi.
Arkusz 1
9. Rozważyć przestrzeń R3.
(i) Pokazać , że układ wektorów x1 = (2, 1,−2), x2 = (0, 4, 2), x3 = (0, 0, 4) jest liniowo nieza- leżny.
(ii) Udowodnić, że układ ten tworzy bazę przestrzeni R3.
(iii) Podać współrzędne elementu x ∈ R3 względem tej bazy, jeśli x = (1,−1, 0) w bazie kano- nicznej.
10. W każdym z poniższych podpunków udowodnić, że operator T : X → Y (X, Y - prze- strzenie liniowe) jest liniowy.
(i) Niech X = c będzie przestrzenią ciągów zbieżnych o wyrazach z ciała K, Y = K. Niech dalej T : c→Kbędzie określone następująco:
T (x) = lim
k→∞tk dla x = (tk)∞k=1 ∈ c.
(operator T jest funkcjonałem liniowym).
(ii) Niech X = l będzie przestrzenią ciągów sumowalnychh o wyrazach z ciała K, Y =K. Niech dalej T : l →K będzie określone następująco:
T (x) =
∞ k=1
tk dla x = (tk)∞k=1 ∈ l.
(operator T jest funkcjonałem liniowym).
(iii) Niech X będzie przestrzenią funkcji x : [a, b]⊂R→Króżniczkowalnych w [a, b], a Y =K[a,b]. Wtedy T x = x, gdzie x jest pochodną funkcji x jest operatorem liniowym z X w Y . (iv) Niech X będzie przestrzenią funkcji x : [a, b] ⊂ R → R całkowalnych na [a, b], a Y = R[a,b]. Wtedy T x =[a,b]x(t) dt jest operatorem liniowym z X w Y .
11. Sprawdzić, że funkcja : X × X →R+ określona wzorem
(x, y) = x − y
dla x, y∈ X, gdzie X jest przestrzenia unormowan a, spełnia aksjomaty metryki.
12. Wykazać, że w przestrzeni unormowanej (X, ) norma jest funkcja ci agł a, jednostajnie ciagł a, a nawet spełnia warunek Lipschitza ze stał a 1 (tzn. dla dowolnych x, y ∈ X mamy
| x − y | 1 · x − y).
13. Wykazać, że relacja równoważności norm z definicji spełnia wszystkie warunki relacji rów- noważności, tzn. jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
14. Wykazać, że w przestrzeni Rn(Cn) zachodza nierówności:
x2 x1 √ nx
2, Arkusz 2
x∞ x2 √ nx
∞,
x ∞ x1 n x∞ dla x∈Rn(Cn), czyli normy te sa równoważne.
15. Rozważmy przestrzeń C ([a, b]) z normami f∞ = maxatb|f(t)| i f1 = ab|f(t)| dt.
Weźmy fn ∈ C ([a, b]) , n = 1, 2, . . . określone fn(t) = (t− a)n, t∈ [a, b] . Pokazać, że (i)fn∞ = (b− a)n, fn1 = (b−a)n+1n;
(ii) nie istnieje stała M > 0 taka, że fn∞ M fn1;
(iii) dla funkcji gn = (b− a)−nfn ciag (g n)∞n=1 jest zbieżny do zera w normie 1, ale nie w normie ∞.
Wynika stad, że normy te nie s a równoważe.
16. Niech 1 i 2 bed a dwiema normami w przestrzeni wektorowej X. Wykazać, że każdy ze wzorów
x = x1 +x2,
x = x21 +x22,
x = max {x1,x2} ,
również określa norme w pzestrzeni X oraz, że normy te s a równoważne.
17. Niech bedzie norm a w przestrzeni liniowej X, a x 0-ustalonym elementem z tej przestrzeni. Pokazać, że
x − y∗ =
0, x = y
x − x0 + x0− y , x = y generuje metryke w przestrzeni X.
18. Rozważmy przestrzeń Cn([a, b]) funkcji zmiennej rzeczywistej t ∈ [a, b] ciagłych wraz ze swoimi pochodnymi do rzedu n wł acznie. Określamy działania w sposób naturalny oraz funkcje:
x = |x(a)| + |x(a)| + . . . + |x(n−1)(a)| + sup
atb|x(n)(t)|,
x = |x(b)| + |x(b)| + . . . + |x(n−1)(b)| + sup
atb|x(n)(t)|,
x = max
atbsup |x(t)|, sup
atb|x(t)|, . . . , sup
atb|x(n)(t)|
. (i) Wykazać, że funkcje określaja normy.
(ii) Udowodnić, że ciag (x k)∞k=1 zbiega do x w przestrzeni Cn([a, b]) wtedy i tylko wtedy, gdy xk(t)→ x(t), xk(t)→ x(t), . . . , x(n)k (t)→ x(n)(t) jednostajnie dla a t b.
Arkusz 3
19. Rozważmy przestrzeń C ([0, 1]) z norma supremum. Niech g(t) = 2 − t 2. Znaleźć (nary- sować) domkniet a kul e ¯ B(g, 1/2) o środku g i promieniu 1/2. Co można powiedzieć o tej kuli, jeśli przestrzeć ta wyposażona jest w norme x 1 =01|x(t)| dt?
20. W przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej każdy zbiór domkniety i ograniczony jest zwarty. Ale w przestrzeni X nieskończenie wymiarowej domknieta kula ¯ B nie jest zbiorem zwartym, tzn. istnieja ci agi z tej kuli, z których nie można wybrać żadnego podci agu zbieżnego. Udowodnić ten fakt dla kuli o środku Θ∈ X i promieniu 1 w nastepuj acych przykładach prze- strzeni X:
(i) X - przestrzeń wszystkich ciagów nieskończonych o wyrazach z R (wsk. wybrać ciag ci agów zero-jedynkowych (ekn)∞n=1).
(ii) X = l1 - przestrzeń wszystkich ciagów sumowalnych o wyrazach z R (wsk. wybrać ciag ciagów zero-jedynkowych (e kn)∞n=1).
(iii) X = C ([0, 1]) o wartościach z R(wsk. wybrać ciag funkcji (f n)∞n=1 takich, że fn(t) = tn dla t∈ [0, 1]).
(iv) X = L (0, 1) (wsk. wybrać ciag funkcji (f n)∞n=1 takich, że fn(t) = χ[0,1n](t) · n, gdzie
χ[0,n1](t) =
1, gdy t ∈ 0,n1 , 0, gdy t ∈ n1, 1 jest tzw. funkcja charakterystyczn a przedziału).
Arkusz 4
