Przestrzenie liniowe

(1)

Przestrzenie liniowe

Mirosław Sobolewski

Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW

2 wykład z algebry liniowej Warszawa, pa´zdziernik 2015

(2)

Przestrzenie liniowe

Przestrze ´n liniowa– zbiór V (elementy –wektory), z działaniami.

Okre´slone s ˛a:

dodawanie wektorów – parze wektorów v , w ∈ V przyporz ˛adkowujemy sum ˛e v + w ∈ V

oraz mno˙zenie wektorów przez liczby rzeczywiste (skalary)–

parze α ∈ R i v ∈ V przyporz ˛adkowujemy iloczyn αv ∈ V , tak by były spełnione postulaty:

(3)

Aksjomaty przestrzeni liniowej (wektorowej)

1.v + w = w + v dla v , w ∈ V (przemienno´s´c),

2. v + (w + u) = (v + w ) + u dla v , w , u ∈ V (ł ˛aczno´s´c)

3. istnieje wektor0 ∈ V (wektor zerowy), spełniaj ˛acy dla ka˙zdego v ∈ V równo´s´c v +0 = v

4. Dla ka˙zdego v ∈ V istnieje v⁰ ∈ V , taki, ˙ze v + v⁰ =0 (taki wektor v⁰ oznaczamy −v i nazywamy wektoremprzeciwnymdo v )

5.(α + β)v = αv + βv , dla α, β ∈ R i v ∈ V (rozdzielno´sć) 6. α(v + w ) = αv + αw , dla α ∈ R, v, w ∈ V (rozdzielno´sć) 7.(αβ)v = α(βv ), dla α, β ∈ R i v ∈ V (mieszana ł ˛aczno´sć)

(4)

Przykłady

0. Przestrze ´n zerowa {0}.

1. Przestrze ´n Rⁿ– przestrze ´n ci ˛agów rzeczywistych z n elementami (n ∈ N), dodawanie wektorów:

(x₁, . . . ,x_n) + (y₁, . . . ,y_n) = (x₁+y₁, . . . ,x_n+y_n)

mno˙zenie przez skalar α(x₁, . . . ,xn) = (αx₁, . . . , αxn), wektorem zerowym jest0 = (0, . . . , 0).

Szczególne przypadki: o´s rzeczywista R¹= R, płaszczyzna R², przestrze ´n trójwymiarowa R³.

2. R^∞, przestrze ´n ci ˛agów rzeczywistych niesko ´nczonych, działania:

(x_i) + (y_i) = (x_i+y_i), α(x_i) = (αx_i),0 = (0, 0, . . . )

3. F (X , R) = {f |f : X → R} ,(f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) = αf (x), wektor zerowy – funkcja przyjmuj ˛aca dla wszystkich x ∈ X warto´s´c 0.

(5)

Z aksjomatów przestrzeni liniowej mo˙zna wyprowadzi ´c:

a) 0v =0

b) αv =0 ⇒ α = 0 lub v = 0 c)−v = (−1)v

(6)

Podprzestrzenie

Niepusty podzbiór W ⊂ V nazywamy podprzestrzeni ˛a przestrzeni V je´sli spełnia dwa warunki:

a) v , w ∈ W ⇒ v + w ∈ W b) α ∈ R, v ∈ W ⇒ αv ∈ W

Je´sli W 6= V to mówimy, ˙ze W jestwła´sciw ˛apodprzestrzeni ˛a.

(7)

Przykłady

1. Je´sli U jest układem równa ´n jednorodnych z n niewiadomymi







a₁₁x₁+ · · · +a_1nx_n =0 ... . .. ... ... a_m1x₁+ · · · +a_mnx_n =0

to zbiór wszystkich rozwi ˛aza ´n U jest podprzestrzeni ˛a liniow ˛a Rⁿ

Uwaga

Do podprzestrzeni zawsze nale˙zy wektor0, zatem zbiór rozwi ˛aza ń niejednorodnego układu równa ń liniowych nie mo˙ze być

podprzestrzeni ˛a liniow ˛a Rⁿ

(8)

Przykłady







a₁₁x₁+ · · · +a_1nx_n =0 ... . .. ... ... a_m1x₁+ · · · +a_mnx_n =0

to zbiór wszystkich rozwi ˛aza ´n U jest podprzestrzeni ˛a liniow ˛a Rⁿ Uwaga

(9)

Przykłady







a₁₁x₁+ · · · +a_1nx_n =0 ... . .. ... ... a_m1x₁+ · · · +a_mnx_n =0

to zbiór wszystkich rozwi ˛aza ´n U jest podprzestrzeni ˛a liniow ˛a Rⁿ Uwaga

(10)

Przykłady podprzestrzeni, cd.

2. R^∞c =ci ˛agi prawie stale równe 0 (tzn. jest tylko sko ´nczenie wiele indeksów i, takich ˙ze x_i 6= 0) jest podprzestrzeni ˛a R^∞

3. Niech x₀∈ X , wtedy W = {f ∈ {(X , R)|f (x0) =0} jest podprzestrzeni ˛a w F (X , R).

4. Podprzestrzenie wła´sciwe w R²s ˛a nast ˛epuj ˛ace: podprzestrze ´n zerowa {0} = {(0, 0)} oraz proste przechodz ˛ace przez punkt (0, 0). Podprzestrze ´n jest równie˙z przestrzeni ˛a liniow ˛a.

Przeci ˛ecie V ∩ U podprzestrzeni V , U przestrzeni W jest te˙z podprzestrzeni ˛a W (suma V ∪ U jest podprzestrzeni ˛atylko je´sli V ⊂ U lub U ⊂ V )

(11)

Przykłady podprzestrzeni, cd.

4. Podprzestrzenie wła´sciwe w R²s ˛a nast ˛epuj ˛ace: podprzestrze ´n zerowa {0} = {(0, 0)} oraz proste przechodz ˛ace przez punkt (0, 0). Podprzestrze ´n jest równie˙z przestrzeni ˛a liniow ˛a.

(12)

Przykłady podprzestrzeni, cd.

4. Podprzestrzenie wła´sciwe w R²s ˛a nast ˛epuj ˛ace: podprzestrze ´n zerowa {0} = {(0, 0)} oraz proste przechodz ˛ace przez punkt (0, 0).

Podprzestrze ´n jest równie˙z przestrzeni ˛a liniow ˛a.

(13)

Przykłady podprzestrzeni, cd.

(14)

Przykłady podprzestrzeni, cd.

(15)

Kombinacje liniowe

Niech V b ˛edzie przestrzeni ˛a liniow ˛a.

Kombinacj ˛a liniow ˛awektorów v₁, . . . ,v_k ∈ V o współczynnikach α₁, . . . α_k ∈ R nazywamy wektor v = α1v₁+ · · · + α_kv_k =Pk

i=1α_iv_i Przykład

Rozwa˙zmy wektory v₁= (1, 0, 1, 1), v₂= (0, −1, 1, 2), v₃= (1, 0, 0, 0) w R⁴. Kombinacj ˛a v₁,v₂,v₃o współczynnikach

α1=2, α₂= −1, α₃=3 jest

α₁v₁+α₂v₂+α₃v₃=2(1, 0, 1, 1)−(0, −1, 1, 2)+3(1, 0, 0, 0) = (5, 1, 1, 0)

(16)

Twierdzenie

Je´sli v , w s ˛a kombinacjami wektorów v₁, . . . ,v_k to wektory v + w oraz αv , dla α ∈ R s ˛a kombinacjami liniowymi wektorów v₁, . . . ,v_k.

Dowód. Niech v = α₁v₁+ · · · + αkv_k oraz w = β₁v₁+ · · · + βkv_k. Wtedy v + w = (α₁+ β₁)v₁+ · · · + (α_k+ β_k)v_k. Podobnie dla mno˙zenia przez skalar.

Wniosek 1: Niech v₁, . . . ,v_k b ˛ed ˛a wektorami przestrzeni V i niech lin(v₁, . . . ,v_k)oznacza zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v₁, . . . ,v_k. Wtedy lin(v₁, . . . ,v_k)jest podprzestrzeni ˛a V .

Je´sli W = lin(v₁, . . . ,v_k)to mówimy, ˙ze układ v₁, . . . ,v_k rozpinaW . Wniosek 2: Je´sli w₁, . . . ,w_j ∈ lin(v₁, . . . ,v_k)to

lin(w₁, . . . ,w_j) ⊂lin(v₁, . . . ,v_k)

(17)

Twierdzenie

Je´sli v , w s ˛a kombinacjami wektorów v₁, . . . ,v_k to wektory v + w oraz αv , dla α ∈ R s ˛a kombinacjami liniowymi wektorów v₁, . . . ,v_k.Dowód.

Niech v = α₁v₁+ · · · + αkv_k oraz w = β₁v₁+ · · · + βkv_k. Wtedy v + w = (α₁+ β₁)v₁+ · · · + (α_k+ β_k)v_k. Podobnie dla mno˙zenia przez skalar.

lin(w₁, . . . ,w_j) ⊂lin(v₁, . . . ,v_k)

(18)

Twierdzenie

Je´sli v , w s ˛a kombinacjami wektorów v₁, . . . ,v_k to wektory v + w oraz αv , dla α ∈ R s ˛a kombinacjami liniowymi wektorów v₁, . . . ,v_k.Dowód.

Niech v = α₁v₁+ · · · + αkv_k oraz w = β₁v₁+ · · · + βkv_k. Wtedy v + w = (α₁+ β₁)v₁+ · · · + (α_k+ β_k)v_k. Podobnie dla mno˙zenia przez skalar.

lin(w₁, . . . ,w_j) ⊂lin(v₁, . . . ,v_k)