Przestrzenie liniowe (I)

(1)

Przestrzenie liniowe (I)

(2)

Aksjomaty przestrzeni liniowej

Rzeczywist¡ przestrzeni¡ liniow¡ V jest zbiór elementów, zwanych wektorami, dla których jest okre±lona operacja dodawania x + y oraz operacja mno»enia przez skalar αx, gdzie x, y ∈ V oraz α ∈ R. Ponadto wyró»niony jest wektor zerowy O ∈ V . Powy»sze operacje (oraz wektor zerowy) speªniaj¡

nast¦puj¡ce aksjomaty (A1) x + y = y + x

(A2) x + (y + z) = (x + y) + z (A3) x + O = x

(A4) 0x = O (A5) 1x = x

(A6) (αβ) x = α(βx)

(A7) α( x + y) = αx + αy

(A8) (α + β) x = αx + βx

(3)

Zmiana zwrotu wektora na przeciwny

Zauwa»my, »e z aksjomatów (A8) i (A4) wynika, »e dla ka»dego wektora x

x + (−1)x = O

Ponadto, je±li x + y = O, to dodaj¡c (−1)x do obu stron tej równo±ci otrzymujemy

y = (−1)x + x + y = (−1)x.

Zatem (−1)x jest jedynym wektorem y speªniaj¡cym

x + y = O. B¦dziemy go oczywi±cie oznacza¢ przez −x.

(4)

Przykªady przestrzeni liniowych

Szczególnym przykªadem przestrzeni jest przestrze« zerowa.

Jest to przestrze« skªadaj¡ca si¦ tylko z jednego wektora:

wektora zerowego. Dodawanie wektorów tej przestrzeni oraz mno»enie przez skalar okre±lone s¡ w jedyny mo»liwy sposób.

(Przestrze« R

ⁿ

) Elementami tej przestrzeni s¡ n-wymiarowe wektory. Operacje dodawania wektorów i mno»enia przez skalar zostaªy okre±lone wcze±niej. Wektor zerowy

O = [0 · · · 0]

^T

jest wektorem o wszystkich wspóªrz¦dnych równych zero. Jest to przykªad przestrzeni sko«czenie

wymiarowej. Przestrze« R

¹

to prosta rzeczywista, przestrze«

R

²

to pªaszczyzna, natomiast przestrze« R

³

jest zwykª¡

przestrzeni¡ trójwymiarow¡. Szczególn¡ przestrzeni¡ jest przestrze« zerowa, R

⁰

, skªadaj¡ca si¦ z tylko jednego wektora

wektora zerowego O.

(Przestrze« macierzy R

^m×n

) Jest to przestrze« m × n

macierzy ze zwykªymi operacjami dodawania i mno»enia przez

skalar. Wektor zerowy w tej przestrzeni to macierz zerowa.

(5)

Przykªad przestrzeni liniowej niesko«czenie wymiarowej

(Przestrze« R

^N

) Wektorami w tej przestrzeni s¡ ci¡gi liczb rzeczywistych, czyli funkcje f : N → R. Wektor zerowy to funkcja stale równa zero.

Dodawanie funkcji jest okre±lone naturalnie (po wspóªrz¦dnych):

dla n ∈ N,

( f + g)(n) = f (n) + g(n)

Mno»enie przez skalar α ∈ R jest równie» zdeniowane po wspóªrz¦dnych: dla n ∈ N,

(α f )(n) = α · f (n)

(6)

Podprzestrze« przestrzeni liniowej

Podprzestrzeni¡ przestrzeni liniowej V jest ka»dy niepusty zbiór wektorów U zamkni¦ty na operacj¦ dodawania i mno»enia przez skalar.

Wynika st¡d, »e ka»da podprzestrze« musi zawiera¢ wektor zerowy O. Istotnie, je±li x ∈ U jest jakimkolwiek wektorem, to 0x = O ∈ U.

Zbiór skªadaj¡cy si¦ tylko z wektora zerowego jest (najmniejsz¡) podprzestrzeni¡ ka»dej przestrzeni liniowej.

{[α, α]

^T

| α ∈ R} jest podprzestrzeni¡ przestrzeni R

²

. {[α, 0]

^T

| α ∈ R} jest te» podprzestrzeni¡ w R

²

.

{[α, β, γ]

^T

| α + β + γ = 0} jest podprzestrzeni¡ w R

³

.

(7)

Kombinacja liniowa wektorów

Fundamentalnym poj¦ciem zwi¡zanym z przestrzeniami liniowymi jest kombinacja liniowa wektorów. Niech x

₁

, . . . , x

_n

∈ V b¦d¡ wektorami przestrzeni liniowej V . Kombinacj¡ liniow¡ tych wektorów jest ka»dy wektor postaci α

₁

x

1

+ · · · + α

_n

x

n

, gdzie α

1

, . . . , α

_n

∈ R.

Zauwa»my, »e dla ustalonego sko«czonego zbioru X wektorów przestrzeni V , zbiór wszystkich liniowych kombinacji liniowych wektorów z X jest podprzestrzeni¡ przestrzeni V .

Podprzestrze« t¦ b¦dziemy nazywa¢ podprzestrzeni¡

generowan¡ (albo rozpi¦t¡) przez wektory z X .

(8)

Podprzestrzenie fundamentalne przestrze« kolumn C(A)

Jest to przestrze« wszystkich liniowym kombinacji kolumn m × n macierzy A. Zatem, je±li A = [a

₁

. . . a

_n

] , gdzie a

₁

, . . . , a

_n

s¡ kolumnami macierzy A, to C(A) zawiera wszystkie kombinacje postaci α

1

a

1

+ . . . + α

_n

a

n

. Zauwa»my, »e na mocy Twierdzenia 2.3 mamy

C(A) = {Ab | b ∈ R

ⁿ

},

czyli przestrze« kolumn macierzy A skªada si¦ z wszystkich wektorów otrzymanych z mno»enia A przez dowolne wektory z R

ⁿ

.

Mamy wi¦c C(A) ⊆ R

^m

jest podprzestrzeni¡ w R

^m

.

(9)

Podprzestrzenie fundamentalne przestrze« zerowa N(A)

Jest to przestrze« wszystkich rozwi¡za« x jednorodnego ukªadu równa« Ax = O. Czyli

N(A) = {x ∈ R

ⁿ

| Ax = O}.

atwo sprawdzi¢, »e jest to podprzestrze« przestrzeni R

ⁿ

.

Przestrze« zerowa macierzy A jest bardzo po»yteczna przy

opisie wszystkich rozwi¡za« ukªadu równa« Ax = b. Nast¦pne

twierdzenie mówi, »e o ile taki ukªad ma jakie± rozwi¡zanie, to

zbiór wszystkich rozwi¡za« jest przesuni¦ciem przestrzeni

zerowej N(A) o pewien wektor.

(10)

Zbiór rozwi¡za« jako przesuni¦cie przestrzeni zerowej

Twierdzenie 4.5 Niech A b¦dzie m × n macierz¡ i niech b ∈ R

^m

b¦dzie dowolnym wektorem. Zbiór wszystkich rozwi¡za« ukªadu równa« Ax = b otrzymuje si¦ poprzez przesuni¦cie przestrzeni zerowej N(A) o dowolny wektor b¦d¡cy rozwi¡zaniem tego ukªadu.

Czyli je±li c ∈ R

ⁿ

jest dowolnym wektorem speªniaj¡cym równo±¢

Ac = b, to zbiór wszystkich rozwi¡za« ukªadu Ax = b jest równy c + N(A) = {c + a | a ∈ N(A)}.

Dowód: Niech v ∈ c + N(A). Zatem v = c + a, dla pewnego a ∈ N(A). Mamy wi¦c

Av = A(c + a) = Ac + Aa = b + O = b.

Czyli v jest rozwi¡zaniem ukªadu Ax = b.

Na odwrót, je±li v ∈ R

ⁿ

speªnia równo±¢ Av = b, to A(v − c) = Av − Ac = b − b = O.

Zatem v − c ∈ N(A) i v = c + v − c ∈ c + N(A).

(11)

Ilustracja Twierdzenia 4.5 przykªad

Niech 4 × 4 macierz A oraz wektor b ∈ R

⁴

b¦d¡ zdeniowane nast¦puj¡co.

A =







2 3 4 5

1 2 3 4

1 0 −1 −2

4 5 6 7







b =







− 2

− 2 2

− 2







Ukªad równa« Ax = b, po sprowadzeniu do postaci schodkowej, wygl¡da nast¦puj¡co

2x

1

+ 3x

2

+ 4x

3

+ 5x

4

= − 2 (1/2)x

₂

+ x

₃

+ (3/2)x

₄

= −1

0 = 0

(12)

Ilustracja Twierdzenia 4.5 przykªad (cd)

Zmienne x

₁

oraz x

₂

, stoj¡ce przy warto±ciach wiod¡cych, s¡

zmiennymi zale»nymi, a zmienne x

₃

oraz x

₄

s¡ zmiennymi niezale»nymi.

Podstawiaj¡c na zmienne niezale»ne warto±ci, na przykªad 0, dostajemy jedno szczególne rozwi¡zanie

x

₁

= 2, x

₂

= − 2, x

₃

= 0, x

₄

= 0.

Tak wi¦c zbiór wszystkich rozwi¡za« ukªadu Ax = b przedstawia si¦ jako





 2

− 2 0 0







+ N(A).

(13)

Ilustracja Twierdzenia 4.5 przykªad (cd)

Poniewa», jak ªatwo sprawdzi¢, wektor [1, −1, 1, −1]

^T

jest innym rozi¡zaniem tego ukªadu równa«, to zbiór





 1

− 1 1

− 1







+ N(A)

jest innym, równowa»nym, przedstawieniem zbioru wszystkich

rozwi¡za« ukªadu Ax = b.

(14)

Pozostaªe dwie przestrzenie fundamentalne

Przestrze« wierszy macierzy A:

Jest to przestrze« kolumn macierzy transponowanej A

^T

, czyli C(A

^T

) . Jest to podprzestrze« przestrzeni R

ⁿ

.

Dualna przestrze« zerowa macierzy A:

Jest to przestrze« zerowa macierzy transponowanej A

^T

, czyli N(A

^T

) . Jest to podprzestrze« przestrzeni R

^m

. Mamy wi¦c

N(A

^T

) = {x ∈ R

^m

| x

^T

A = O

^T

}.

(15)

Podsumowanie: cztery przestrzenie fundamentalne zwi¡zane z macierz¡

Podsumowuj¡c, dla dowolnej m × n macierzy A mamy

dwie podprzestrzenie przestrzeni R

^m

: C(A) oraz N(A

^T

) ;

dwie podprzestrzenie przestrzeni R

ⁿ

: N(A) oraz C(A

^T

).

(16)

Liniowa niezale»no±¢ wektorów

Wektory x

1

, . . . , x

n

przestrzeni liniowej V s¡ liniowo

niezale»ne, je±li dla dowolnych skalarów α

₁

, . . . , α

_n

∈ R, je±li α

₁

x

₁

+ · · · + α

_n

x

_n

= O, to α

₁

= · · · = α

_n

= 0.

Przyjmujemy, »e pusty zbiór wektorów jest liniowo niezale»ny.

Przykªad 1: Dla dowolnego n, wektory jednostkowe e

₁

, . . . , e

_n

∈ R

ⁿ

s¡ liniowo niezale»ne. Istotnie, mamy α

₁

e

1

+ · · · + α

_n

e

n

= α

₁

. . . α

_n

_T

. Zatem taka liniowa

kombinacja daje wektor zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy

α

₁

= · · · = α

_n

= 0.

(17)

Liniowa niezale»no±¢ wektorów przykªady

Przykªad 2: Wektory x

1

=

1 1

x

2

=

2 2

nie s¡ liniowo niezale»ne. Istotnie, mamy 2x

₁

− x

₂

= O.

Przykªad 3: Natomiast wektory y

₁

=

1 1

y

₂

=

1 2

s¡ liniowo niezale»ne.

Przypu±¢my, »e α

₁

y

₁

+ α

₂

y

₂

= O. Czyli mamy do czynienia z ukªadem równa«:

α

₁

+ α

₂

= 0

α

₁

+ 2α

₂

= 0

(18)

Baza przestrzeni liniowej

Baz¡ przestrzeni liniowej V nazywamy ka»dy zbiór wektorów X speªniaj¡cy nast¦puj¡ce dwa warunki:

(B1) ka»dy sko«czony podzbiór wektorów z X jest liniowo niezale»ny;

(B2) przestrze« V jest generowana przez X , tzn. dla ka»dego wektora y ∈ V istnieje sko«czony zbiór wektorów x

1

, . . . , x

n

∈ X oraz skalary α

1

, . . . , α

_n

∈ R, takie »e y = α

1

x

1

+ · · · + α

_n

x

n

.

Powiemy, »e przestrze« liniowa V jest sko«czenie wymiarowa

je±li V ma sko«czon¡ baz¦.

(19)

Baza przestrzeni sko«czenie wymiarowej

Sko«czony zbiór wektorów x

1

, . . . , x

n

∈ V jest baz¡

przestrzeni V je±li

(B1') wektory x

₁

, . . . , x

_n

s¡ liniowo niezale»ne;

(B2') dla ka»dego wektora y ∈ V istniej¡ skalary α

₁

, . . . , α

_n

∈ R, takie »e y = α

₁

x

₁

+ · · · + α

_n

x

_n

.

Zauwa»my, »e wspóªczynniki α

₁

, . . . , α

_n

liniowej kombinacji w (B2') s¡ wyznaczone jednoznacznie. Istotnie, je±li mamy drugie przedstawienie

y = β

1

x

1

+ · · · + β

_n

x

n

, to odejmuj¡c obie równo±ci stronami dostajemy

O = (α

₁

− β

₁

) x

1

+ · · · + (α

_n

− β

_n

) x

n

.

Poniewa» wektory x

₁

, . . . , x

_n

s¡ liniowo niezale»ne, to musi by¢

(20)

Przykªady baz

Wektory e

₁

, . . . , e

_n

∈ R

ⁿ

tworz¡ baz¦ przestrzeni R

ⁿ

.

Przestrze« ta (dla n > 0) ma niesko«czenie wiele ró»nych baz.

Na przykªad, dla dowolnych niezerowych liczb rzeczywistych

α

₁

, . . . , α

_n

∈ R, wektory α

₁

e

₁

, . . . , α

_n

e

_n

te» tworz¡ baz¦ w R

ⁿ

.

Baz¡ przestrzeni zerowej R

⁰

jest zbiór pusty. Przestrze« ta nie

ma innej bazy poniewa» jedyny zbiór niepusty skªada si¦ z

wektora zerowego, który to wektor nie tworzy zbioru liniowo

niezale»nego.

(21)

Przykªady baz (cd)

Wektory

y

₁

=

1 1

y

₂

=

1 2

tworz¡ baz¦ w R

²

. Ich liniow¡ niezale»no±¢ pokazali±my wczesniej.

Dla pokazania, »e R

²

jest generowana przez powy»sze wektory we¹my dowolny wektor

b = β

₁

β

₂

Szukamy wspóªczynników α

1

, α

₂

∈ R takich, »e α

1

y

1

+ α

₂

y

2

= b.

Prowadzi to do ukªadu równa«

α

₁

+ α

₂

= β

₁

α

₁

+ 2α

2

= β

₂

Rozwi¡zuj¡c ten ukªad dostajemy

(22)

Macierze odwracalne a baza przestrzeni

Twierdzenie 4.9 Je±li A jest odwracaln¡ n × n macierz¡ to jej kolumny (wiersze) tworz¡ baz¦ przestrzeni R

ⁿ

. W szczególno±ci kolumny (wiersze) odwracalnej macierzy s¡ liniowo niezale»ne.

Dowód: Niech b

1

, . . . , b

n

b¦d¡ kolumnami odwracalnej macierzy A. Je±li dla pewnych α

₁

, . . . , α

_n

∈ R mamy α

₁

b

₁

+ · · · α

_n

b

_n

= O, to (por. Twierdzenie 2.3) mamy

A



 α

₁

. . . α

_n



 = O.

Zatem 

 α

₁

. . . α

_n



 = A

⁻¹

O = O,

czyli α

₁

= · · · = α

_n

= 0, co dowodzi liniowej niezale»no±ci kolumn.

(23)

Dowód (cd)

Niech teraz b ∈ R

ⁿ

b¦dzie dowolnym wektorem i niech



 γ

₁

. . . γ

_n



 = A

⁻¹

b Mamy wi¦c

A



 γ

₁

. . .

γ

_n



 = b

Zatem, na mocy Twierdzenia 2.3, mamy b = γ

₁

b

₁

+ · · · + γ

_n

b

_n

. Pokazali±my w ten sposób, »e kolumny macierzy A tworz¡ baz¦

przestrzeni R

ⁿ

.

Poniewa» macierz A

^T

jest te» odwracalna (por. Twierdzenie 2.16),

(24)

Znajdowanie bazy przestrzeni zerowej macierzy A

Rozwa»my 4 × 4 macierz

A =







2 3 4 5

1 2 3 4

1 0 −1 −2

4 5 6 7







Posta¢ schodkowa jednorodnego ukªadu równa« Ax = O 2x

1

+ 3x

2

+ 4x

3

+ 5x

4

= 0

( 1/2)x

2

+ x

3

+ ( 3/2)x

4

= 0

0 = 0

(25)

Znajdowanie bazy przestrzeni zerowej macierzy A (cd)

Dla wyznaczenia bazy przestrzeni N(A) zauwa»my, »e je±li a = [α

₁

, α

₂

, α

₃

, α

₄

]

^T

jest dowolnym wektorem z N(A), to a jest jednoznacznie wyznaczone z ukªadu równa« przez przyj¦cie warto±ci x

₃

= α

₃

oraz x

₄

= α

₄

. Co wi¦cej, poniewa» zmienne x

₃

oraz x

₄

s¡ niezale»ne, to mo»emy nada¢ im dowolne warto±ci i jednoznacznie wyznaczy¢ warto±ci zmiennych zale»nych x

₁

oraz x

₂

.

Wynika st¡d, »e je±li a

₁

= [α

₁

, α

₂

, 1, 0]

^T

oraz

a

₂

= [β

₁

, β

₂

, 0, 1]

^T

s¡ dwoma rozwi¡zaniami tego ukªadu

równa«, to ka»dy wektor c ∈ N(A) daje si¦ przedstawi¢ jako

kombinacja liniowa wektorów a

1

oraz a

2

. Oczywi±cie wektory

a

₁

, a

₂

s¡ liniowo niezale»ne, a zatem tworz¡ baz¦ przestrzeni

N(A).

(26)

Znajdowanie bazy przestrzeni zerowej macierzy A (cd)

W naszym przykªadzie ta baza wygl¡da nast¦puj¡co

a

₁

=





 1

− 2 1 0







a

₂

=





 2

− 3 0 1







W ogólno±ci liczba wektorów bazowych przestrzeni zerowej

N(A) jest równa liczbie zmiennych niezale»nych ukªadu

jednorodnego w postaci schodkowej.

(27)

Od bazy przestrzeni N(A) do zbioru rozwi¡za« ukªadu Ax = b

Rozwa»ali±my ukªad równa« Ax = b, gdzie

b = [−2, −2, 2, −2]

^T

. Wektor [2, −2, 0, 0]

^T

jest jednym z rozwi¡za« tego ukªadu. Zatem zbiór wszystkich rozwi¡za« tego ukªadu wyra»a si¦ jako zbiór wszystkich liniowych kombinacji





 2

− 2 0 0





 + α





 1

− 2 1 0





 + β





 2

− 3 0 1







gdzie α, β ∈ R s¡ dowolne.

(28)

Co nale»y zapami¦ta¢ z dzisiejszego wykªadu?

Poj¦cie przestrzeni liniowej.

Poj¦cie podprzestrzeni przestrzeni liniowej.

Kombinacja liniowa wektorów oraz podprzestrze« generowana przez zbiór wektorów.

Cztery przestrzenie fundamentalne zwi¡zane z macierz¡.

Zbiór rozwi¡za« ukªadu równa« jako przesuni¦cie przestrzeni zerowej o dowolny wektor bed¡cy rozwi¡zaniem.

Liniowa niezale»no±c wektorów.

Baza przestrzeni liniowej.

Macierze odwracalne a baza przestrzeni.

Znajdowanie bazy przestrzeni zerowej danej macierzy.

Przestrzenie liniowe (I)