Przestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe (nad dowolnym ciałem). Podprzestrzenie liniowe. Kombinacje liniowe.
Przestrzeń rozpięta przez układ wektorów. Układ liniowo niezależnych wektorów.
Dzisiejszy wykład poświęcony będzie w zasadzie jednej konstrukcji – przestrzeni liniowej nad ciałem.
Jest to fundamentalne pojęcie dla całego naszego wykładu i jedno z najważniejszych w całej matematyce wyższej. Przez najbliższe wykłady trzeba być bardzo czujnym, bo pojawi się sporo nowych, ważnych i abstrakcyjnych pojęć. Idee stojące za ich konstrukcją spotykamy we wszystkich działach matematyki.
Definicja 1. Przestrzenią liniową nad ciałem(K, +,·, 0, 1) nazywamy zbiór V z odwzorowaniami:
V × V −→ V , gdzie (α, β)7→ a ⊕ b zwanym dodawaniem wektorów,
K× V −→ V , gdzie (a, β)7→ a ⊗ β zwanym mnożeniem wektora przez skalar.
oraz z wyróżnionym elementem w V zwanym wektorem zerowym i oznaczanym (teraz) przez Θ (a później przez 0), przy czym spełnione są następujące warunki, zwane aksjomatami przestrzeni liniowej.
∀α,β,γ∈V α⊕ (β ⊕ γ) = (α⊕ β) ⊕ γ łączność dodawania wektorów
∀α,β∈V α⊕ β = β⊕ α przemienność dodawania wektorów
∀α∈V α⊕ Θ = α wektor Θ jest elementem neutralnym dodawania⊕
∀α∈V∃γ∈V α⊕ γ = Θ istnienie wektora przeciwnego
∀α∈V 1⊗ α = α mnożenie dowolnego wektora przez 1 nie zmienia go
∀α∈V∀a,b∈K (a· b) ⊗ α = a⊗ (b ⊗ α) zgodność mnożenia· w ciele K z mnożeniem ⊗
∀α∈V,∀a,b∈V (a + b)⊗ α = a⊗ α ⊕ b ⊗ β rozdzielność mnożenia⊗ względem dodawania wektorów ⊕
∀α,β∈V,∀a∈K a⊗ (α ⊕ β) = a⊗ α ⊕ b ⊗ β rozdzielność mnożenia⊗ względem dodawania wektorów ⊕ Jak widać wystąpiło tu mnóstwo oznaczeń, zwłaszcza odnośnie działań. Definicja jest zdecydowanie od- straszająca – jeśli nie poprze jej intuicja i odpowiednie przykłady. Gdy już przyzwyczaimy się do nowego pojęcia, wszystkie symbole dodawania⊕, + będą zamienione na + oraz wszystkie symbole mnożenia ·, ⊗ będą pomijane. Jak się okaże jest to niezbędne do „higienicznej pracy” z przestrzeniami liniowymi i rzadko (wcale?) doprowadzi nas do błędu. Zobaczmy przykłady, od standardowych do bardziej egzotycznych.
Przykład 1. Niech Knoznacza zbiór wszystkich ciągów n-elementowych o wyrazach z ciała K, to znaczy:
Kn={(x1, x2, . . . , xn)| xi∈ K, i = 1, 2, . . . , n}.
Działania w Kn określone są w sposób naturalny wzorami:
(x1, x2, . . . , xn)⊕(y1, y2, . . . , yn) = (x1+y1, x2+y2, . . . , xn+yn), a⊗(x1, x2, . . . , xn) = (ax1, ax2, . . . , axn).
Wektorem zerowym jest ciąg (0, 0, . . . , 0).
Czy widzicie Państwo, że dodawanie wektorów, to inne dodawanie niż dodawanie wewnątrz współrzędnej, które jest dodawaniem w ciele? Tak samo: mnożenie wektora przez skalar to co innego niż mnożenie na konkretnej współrzędnej, które jest mnożeniem w ciele K?
Przykład 2. Niech Mm×n(K) oznacza zbiór wszystkich macierzy m× n o wyrazach z ciała K. Sumą macierzy A = [aij] oraz B = [bij] nazywamy taką macierz C ∈ Mm×n(K), że cij = aij + bij, dla każdych i = 1, . . . , m oraz j = 1, . . . , n. Iloczynem macierzy A przez skalar c nazywamy taką macierz D= [dij]∈ Mm×n(K), że dij = c· aij, dla każdych i = 1, . . . , m oraz j = 1, . . . , n. Wektorem zerowym w Mm×n(K) jest macierz zerowa rozmiarów m× n, czyli macierz, której wszystkie wyrazy są równe 0.
Przykład 3. Oznaczmy przez K∞ zbiór wszystkich ciągów o wyrazach z ciała K, to znaczy:
K∞={(xi)| xi∈ K, i = 1, 2, . . .}.
Ciągi dodajemy i mnożymy przez skalary według zasady:
(xi) + (yi) = (xi+ yi), a(xi) = (axi).
Wektorem zerowym jest ciąg, którego wszystkie wyrazy są zerem w ciele K.
Przykład 4. Niech K[x] będzie zbiorem wszystkich wielomianów zmiennej x o współczynnikach w ciele K, czyli
K[x] ={a0+ a1x+ . . . + anxn| n = N ∪ {0}, a0, a1, . . . , an ∈ K}.
Dodawanie i mnożenie przez skalar pochodzą od omawianych tydzień wcześniej operacji na wielomianach.
Wektorem zerowym w K[x] jest wielomian zerowy.
Przykład 5. Niech F (X, K) będzie zbiorem wszystkich funkcji z danego niepustego zbioru X do ciała K. Dla f, g∈ F (X, K) i dla a ∈ K funkcje f + g oraz af określone są warunkami:
(f + g)(x) = f (x) + g(x), (af )(x) = af (x).
Wielomian zerowy to funkcja stale równa 0.
Przykład 6. Jeśli K jest ciałem i L jest podciałem ciała K, to K ma strukturę przestrzeni liniowej nad ciałem L. Elementy ciała K można traktować jako wektory, zaś L jako skalary. Dobrze widocznym przykładem takiej zależności jest ciało C, które jest przestrzenią liniową nad ciałem R. Niezwykle ciekawą przestrzenią liniową jest na przykład ciało R traktowane jako przestrzeń liniowa nad ciałem Q.
W zbiorze Ł. Kubata i wielu innych źródłach znajdziecie Państwo szereg zadań prowadzących do dowodu następującego nietrudnego rezultatu: każde ciało skończone jest przestrzenią liniową nad jednym z ciał Zp. Przykłady 1, 2, 3 są szczególnymi przypadkami przykładu 5. W pierwszym przypadku X ={1, 2, . . . , n}, w drugim – X = zbiór wszystkich par uporządkowanych (i, j), dla i = 1, 2, . . . , m, oraz j = 1, 2, . . . , n, w trzecim zaś X = N. Przestrzenie funkcyjne mają bardzo skomplikowaną strukturę, co zobaczymy dalej.
Podajmy jeszcze jeden, bardziej egzotyczny przykład. W swojej podstawowej formie jest on opisany w Zadaniu 3 w skrypcie. Znajdziemy tam również inne bardzo ważne (choć nie będziemy ich wykorzystywać na tym wykładzie) przykłady przestrzeni liniowych. Widzicie Państwo, swoją drogą, że już od dłuższej chwili nie przejmujemy się wieloznacznością używanych przez nas symboli dodawania i mnożenia?
Przykład 7. Niech X będzie skończonym zbiorem niepustym, E zaś niech będzie podzbiorem zbioru par nieuporządkowanych zbioru X. Parę G = (X, E) nazwiemy grafem niezorientowanym o zbiorze wierz- chołków X i zbiorze krawędzi E. Jeśli {a, b} ∈ E to mówimy, że między wierzchołkami a, b grafu G jest krawędź. Określamy przestrzeń liniową V nad ciałem Z2, zwaną przestrzenią krawędziową grafu G.
Zbiór wektorów naszej nowej przestrzeni to zbiór podzbiorów zbioru E, oznaczany zwykle jako P (E). A więc „wektorem” jest tutaj podzbiór zbioru krawędzi grafu G. Wektorem zerowym tej przestrzeni ustana- wiamy zbiór pusty. Definiujemy operacje dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez skalar:
• jeśli A, B ∈ P (E), to przez A△B rozumiemy zbiór A ∪ B \ (A ∩ B), zwany różnicą symetryczną zbiorów A, B. Definiujemy wynik dodawania A⊕ B zbiorów krawędzi jako zbiór A△B.
• dla A∈ P (E) definiujemy mnożenie wektora A przez skalar (jeden z dwóch w Z2).
– 0⊗ A = ∅ – zbiór pusty – 1⊗ A = A.
Sprawdzenie, że jest to przestrzeń liniowa wymaga odrobiny wysiłku, ale w wielu grupach będzie to zro- bione na ćwiczeniach (prawdopodobnie dla przestrzeni podzbiorów zbioru, a nie przestrzeni krawędziowej grafu). Na razie przestrzeń ta może wydawać się bardzo dziwna, ale poznamy jeszcze pewne jej ciekawe zastosowania. Na marginesie pytanie: jaki jest element przeciwny do danego zbioru krawędzi grafu?
Rysunek 1.Różnica symetryczna dwóch podzbiorów krawędzi grafu
Podobnie jak w przypadku ciał, podstawowym narzędziem do uzyskiwania kolejnych przykładów prze- strzeni liniowych jest pojęcie podprzestrzeni liniowej. Będzie ono dla nas na tym wykładzie znacznie ważniejsze niż pojęcie podciała. Zobaczymy też całkiem niedługo w jaki sposób tego typu „podstruktu- ry” wykorzystuje się w matematyce do uzyskiwania rozmaitych konstrukcji i rezultatów.
Definicja 2. Niepusty podzbiór W ⊂ V nazywamy podprzestrzenią przestrzeni liniowej V jeśli dla każdych α, β∈ W oraz każdego α ∈ K zachodzi:
(1) α + β∈ W , (2) aα∈ W .
UWAGA: Podprzestrzeń przestrzeni liniowej jest przestrzenią liniową (z działaniami pochodzącymi z V, w tym z odziedziczonym wektorem zerowym). Zobaczmy kilka przykładów.
Przykład 8. W każdej przestrzeni liniowej V podzbiór {0}, złożony tylko z wektora zerowego, jest jej podprzestrzenią. Nazywamy ją podprzestrzenią zerową.
Mówimy, że przestrzeń liniowa V jest przestrzenią zerową, jeśli składa się tylko z wektora zerowego.
Przykład 9. Rozpatrzmy jednorodny układ równań liniowych o współczynnikach w K:
U :
a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn = 0 a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn = 0 a31x1+ a32x2+ . . . + a3nxn = 0
· · ·
am1x1+ am2x2+ . . . + amnxn = 0.
Zbiór wszystkich rozwiązań układu U jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Kn.
Przykład 10. Niech Kc∞ oznacza zbiór wszystkich takich ciągów o wyrazach z ciała K, które są prawie stale równe 0, to znaczy (xi)∈ K0∞ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie n0, że xi = 0, dla wszystkich i > n0. Kc∞ jest podprzestrzenią przestrzeni K∞. Inną podprzestrzenią tej przestrzeni są: podprzestrzeń wszystkich ciągów ograniczonych, czy też podprzestrzeń wszystkich ciągów zbieżnych.
Przykład 11. Dla każdej liczby naturalnej m niech Km[x] oznacza zbiór wszystkich wielomianów stopnia co najwyżej m w K[x]. Jest to podprzestrzeń K[x].
Przykład 12. Niech x0∈ X i niech W = {f ∈ F (X, K) | f(x0) = 0}. Wówczas W jest podprzestrzenią przestrzeni F (X, K).
Przykład 13. Rozważmy podzbiór wszystkich funkcji f ∈ F (R, R), że f(x+y) = f(x)+f(y), dla każdych x, y∈ R. Są to rozwiązania tzw. funkcyjnego równania Cauchy’ego. Tworzą one podprzestrzeń F (R, R).
To słynne równanie funkcyjne badane było przez wielkich matematyków, jak Cauchy, Darboux, d’ Alem- bert i inni. Przy niewielu dodatkowych założeniach można pokazać, że jego rozwiązaniami są jedynie funkcje postaci f (x) = ax, dla a∈ R. Do tych „drobnych” dodatkowych założeń należą: ciągłość (Cauchy, 1821), ciągłość w punkcie (Darboux, 1875), monotoniczność lub ograniczoność na dowolnym przedziale (Darboux, 18801). W 1905 roku Georg Hamel pokazał, używając aksjomatu wyboru, że brak jakichkol- wiek założeń o regularności rozwiązań sprawia, że znacznie bardziej skomplikowane i egzotyczne funkcje spełniają równanie Cauchy’ego. Użył w tym celu tzw. baz Hamela – i ma to dokładnie związek z tym, że przestrzeń liniowa R nad Q jest niezwykle skomplikowana. Na czym to polega? O tym innym razem.
Warto na koniec tej części wspomnieć, że polska matematyka ma chlubną kartę związaną z badaniem równań funkcyjnych, dzięki katowickiemu profesorowi Markowi Kuczmie, który zapoczątkował w filii UJ w Katowicach prężną powojenną szkołę systematycznego badania tych obiektów.
Powiemy teraz o bardzo ważnym typie konstrukcji związanych z podprzestrzeniami. Chodzi o sytuację, gdy mamy przestrzeń liniową i szukamy takiej jej podprzestrzeni, która zawierałaby z góry okreslone przez nas wektory – wybranej przy tym możliwie oszczędnie. Co to znaczy „oszczędnie”? Ano tak, by każda inna podprzestrzeń, która zawiera wybrane wektory, zawierała i całą „oszczędnie wybraną” pod- przestrzeń. W przypadku teorii ciał intuicję już mamy. Jakie jest najmniejsze (względem inkluzji – bo tak się precyzyjnie mówi o owej „oszczędności”) podciało R zawierające element √
2? Otóż jest to Q(√ 2).
1Dowód pochodzi z pracy o zaskakującym tytule: ”Sur le th´eor`eme fondamental de la G´eom´etrie projective” – co ma równanie funkcyjne wspólnego z geometrią rzutową? Proszę sprawdzić: https://www.mimuw.edu.pl/~amecel/Darboux1880
Definicja 3. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K i niech α1, . . . , αk ∈ V . Kombinacją liniowąukładu wektorów α1, . . . , αk o współczynnikach a1, . . . , ak ∈ K nazywamy wektor:
β = a1α1+ . . . + akαk =
k
X
i=1
aiαi. Przykłady.
• W przestrzeni V = R4kombinacją liniową wektorów (2, 1,−3, 4), (0, 2, 5, 1), (7, 4, 3, 2) ze współczyn- nikami 2,−1, 1 jest wektor 2(2, 1, −3, 4) − 1(0, 2, 5, 1) + 1(7, 4, 5, 2) = (11, 4, −8, 9).
• W przestrzeni funkcji F (R, R) kombinacją liniową wektorów sin(x) oraz cos(x) o współczynnikach
√1
2 oraz−√12 jest funkcja √12sin(x)−√12cos(x) = sin(x−π4).
• Wektor (0, 3, 1) ∈ R3 nie jest kombinacją liniową wektorów (0, 1, 1), (−1, 0, 1), bo założenie, że (0, 3, 1) = a(0, 1, 1) + b(−1, 0, 1) prowadzi do układu równań a2= 0, a1= 3, a1− a2= 1, który nie ma rozwiązań.
Uwaga 1. Niech α1, . . . , αk będą wektorami przestrzeni liniowej V nad K. Jeśli wektory β, γ są kom- binacjami liniowymi wektorów α1, . . . , αk, to wektory β + γ oraz aβ, dla każdego a ∈ K, również są kombinacjami liniowymi wektorów α1, . . . , αk.
Definicja 4. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K i niech α1, . . . , αk∈ V . Wówczas przez lin(α1, . . . , αk) oznaczamy zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów α1, . . . , αk.
Uwaga 2. Zbiór lin(α1, . . . , αk) jest podprzestrzenią przestrzeni V . Podprzestrzeń ta jest najmniejszą podprzestrzenią V (względem inkluzji) zawierającą wektory α1, . . . , αk.
Dowód. Z poprzedniej uwagi wynika, że lin(α1, . . . , αk) jest podprzestrzenią w V . Niech W będzie dowolną podprzestrzenią zawierającą wektory α1, . . . , αk. Z definicji podprzestrzeni W zawiera każdą kombinację liniową wektorów α1, . . . , αk, czyli każdy wektor z lin(α1, . . . , αk). Stąd lin(α1, . . . , αk)⊆ W .
Definicja 5. Niech α1, . . . , αkbędzie układem wektorów w V . Wówczas podprzestrzeń liniową lin(α1, . . . , αk) nazywamy przestrzenią rozpiętą na układzie α1, . . . , αk. Mówimy, że układ α1, . . . , αk rozpina przestrzeń V, jeśli V = lin(α1, . . . , αk), to znaczy każdy wektor z V jest kombinacją liniową wekto- rów α1, . . . , αk.
Przy badaniu przestrzeni rozpiętych na układach wektorów w Kn (czyli do rozwiązywania wielu fasycy- nujących zadań o podprzestrzeniach przestrzeni Kn) użyteczna jest następująca prosta obserwacja.
Uwaga 3. Niech A, A′ ∈ Mm×n(K), niech α1, . . . , αm będą wierszami macierzy A i niech α′1, . . . , α′m będą wierszami macierzy A′ Jeśli A′ może być otrzymana z A za pomocą ciągu operacji elementarnych na wierszach, to lin(α1, . . . , αn) = lin(α′1, . . . , α′m).
Dowód pozostawiam jako ćwiczenie. Jest to niemal kalka pierwszego z dowodów na wykładzie początko- wym, gdy dowodziliśmy, że jeśli układ U powstaje z U′ przez ciąg operacji elementarnych na wierszach, to zbiory rozwiązań układów U oraz U′ są jednakowe. Dokładniej rzecz biorąc trzeba pokazać obydwie inkluzje: lin(α1, . . . , αn)⊆ lin(α′1, . . . , α′m) oraz lin(α1, . . . , αn)⊇ lin(α′1, . . . , α′m). Czyż jednak operacja elementarna przejścia z U do U′nie da się odwrócić operacją elementarną z U′do U ? A więc może wystar- czy jedna z tych inkluzji? A jak się w ogóle pokazuje, że lin(α1, . . . , αn)⊆ lin(α′1, . . . , α′m)? Otóż bierzemy pewną kombinację liniową wektorów α1, . . . , αn i pokazujemy, że jest to... kombinacja liniowa elementów α′1, . . . , α′m A czym są te α1′, . . . , α′m? Ile tych wektorów różni się od wektorów z układu α1, . . . , αm po wykonaniu pojedynczej operacji elementarnej? Czy każdy wiersz typu αinie jest postaci aαi+ bαj, gdzie a, b∈ K? Czy my tego już gdzieś nie widzieliśmy? Dla ułatwienia przypominam kontekst do poszukiwań.
Rysunek 2.Po namyśle, wszystko jasne! Proszę zauważyć, że powoli zapraszam Państwa do samodzielnego uzupełniania prostszych rozumowań.
Pojęcie układu rozpinającego podprzestrzeń jest bardzo ciekawe w różnych kontekstach. Można przecież zauważyć, że w danej przestrzeni liniowej V zbiór wszystkich wektorów V rozpina całą przestrzeń V ...
Ale czy nie zakładaliśmy, że zbiór rozpinający jest skończony? Oczywiście nie ma takiej konieczności.
Definicja 6. Niech X = {αt}t∈T będzie dowolnym układem wektorów przestrzeni V . Wówczas przez lin(X) oznaczamy zbiór wszystkich kombinacji liniowych skończonych podukładów układu X. To znaczy:
β∈ lin(X) ⇐⇒ β =
k
X
i=1
aiαti, dla pewnych a1, . . . , ak∈ K, αt1, . . . , αtk∈ X}.
Jeśli V = lin(X) to mówimy, że układ X rozpina V i przestrzeń V jest rozpięta na X. Dla układu pustego X =∅ przyjmujemy lin(X) = {0}.
Najprostszym przykładem, który działa dla każdej przestrzeni liniowej V jest V = lin(V ). Jest on jednak niesatysfakcjonujący, bo przecież po to mamy lin, aby układ rozpinający był możliwie oszczędny, prawda?
Oczywiście lin(R2) = R2, ale przecież też lin((1, 0), (0, 1)) = R2, czyż nie? Minimalny układ rozpinający – warunki jego istnienia i jego charakteryzacje – oto plan na kolejny wykład. Pojawi się na nim kolejne absolutnie fundamentalne pojęcie – liniowej niezależności wektorów.
Bardzo biedny dodatek, który spróbuję rozwinąć
Jeszcze dwa słowa o przestrzeni krawędziowej grafów. Jest ona tak ciekawa nie z uwagi na to, jak skon- struowaliśmy ją samą w sobie, ale z powodu swoich podprzestrzeni. Na przykład: weźmy skończony graf Gi rozważmy wszystkie cykle w tym grafie, a więc zbiory krawędzi, które tworzą „łamaną zamkniętą” (da się to prosto sformalizować). Jak wygląda najmniejsza podprzestrzeń zawierająca zbiór pusty i wszystkie cykle? Czy różnica symetryczna dwóch cykli jest cyklem? Czym są kombinacje liniowe cykli nad Z2? Cięciem w grafie G = (V, E) nazwiemy podzbiór zbioru E taki, którego usunięcie sprawia, że graf przestaje być spójny (czyli nie da się z każdego wierzchołka przejść ścieżką z krawędzi do innego).
Rysunek 3.Cięcie w poniższym grafie stanowi zbiór dwóch czerwonych krawędzi. Źródło: Wikipedia.
Jak wygląda podprzestrzeń liniowa rozpięta przez wszystkie cięcia w grafie spójnym? Z czego jest złożo- na? Jak się ma do przestrzeni rozpiętej przez cykle, o której była mowa wyżej? Gdyby nasz przedmiot nazywał się: Algebra liniowa z kombinatoryką, mówilibyśmy o tym bez przerwy. Pojawiłyby się pyta- nia w rodzaju: ile co najmniej cięć rozpina przestrzeń cięć w grafie o n wierzchołkach? Jak je opisać?
Czy różne klasy grafów można charakteryzować w języku cykli i cięć, i jak się ma do tego algebra liniowa?
Również inne przestrzenie nad ciałami skończonymi maja ciekawe zastosowania. Ciekawy i ważny przy- kład to tzw. kod Hamminga, odkryty po raz pierwszy w latach 50’. Pokażę tu tzw. wersję (7, 4) tego kodu. Załóżmy, że chcecie Państwo przesłać Komuś wiadomość złożoną z czterech liter postaci v = abcd.
W drodze między emiterem a odbiornikiem wiadomość może ulec zniekształceniu i dojdzie do Kogoś niewłaściwe słowo. Czy ów Ktoś zdoła wykryć taki błąd i odczytać poprawną wiadomość, jeśli wiemy na przykład, że błąd zwykle nie dotyczy więcej niż jednej litery? Otóż jest to możliwe, ale trzeba wysłać dłuższą wiadomość. Wyślijmy wiadomość długości 7, postaci w = abcdef g, gdzie
e= a + b + c (mod 2) , f = a + b + d (mod 2) , g= a + c + d (mod 2) .
Na przykład dla v = 1011 mamy w = 1011001. Okazuje się, że otrzymując tak zakodowaną wiadomość dłu- gości 7 zawsze możemy wykryć czy wystąpił dokładnie jeden błąd (w jednej literze), czy też nie. Co to ma wspólnego z przestrzeniami liniowymi? Otóż równania na e, f , g to równania liniowe nad ciałem Z2. A za- tem zgodnie z jednym z przykładów ich rozwiązanie stanowi podprzestrzeń liniowa. Kto by chciał dokład- niej zrozumieć co tu się dzieje, niech zajrzy do artykułu: http://www.math.union.edu/~jaureguj/ECC.pdf.
Na podobnej zasadzie sprawdza się, czy podany przez Państwa numer PESEL, lub kod ISBN książki jest poprawny. Czy wiedzieliście Państwo o tym? Proszę poszukać źródeł samodzielnie.
