Przestrzenie liniowe

Rozdział 4

Przestrzenie liniowe

Niech X będzie zbiorem niepustym.

Definicja 4.1. Trójkę (X, +, •) nazywamy rzeczywistą przestrzenią wektorową (liniową) jeżeli:

(a) + : X × X → X jest działaniem wewnętrznym w X, takim że struktura (X, +) jest grupą abelową;

(b) • : R × X → X jest działaniem zewnętrznym w X, takim że równości:

– α • (x + y) = (α • x) + (α • y) ; – (α + β) • x = (α • x) + (β • x) ; – α • (β • x) = (αβ) • x;

– 1 • x = x

zachodzą dla dowolnych x, y ∈ X oraz α, β ∈ R.

Elementy przestrzeni wektorowej nazywamywektorami; elementy ciała nazywamyskalarami.

Przykład 4.1. Każda z poniższych struktur jest rzeczywistą przestrzenią wektorową:

a) (Rⁿ, +, •) z naturalnymi działaniami dodawania wektorów oraz mnożenia wektora przez liczbę:

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn)= (x^df 1+ y1, . . . , xn+ yn) , α • (x₁, . . . , x_n)^df= (αx₁, . . . , αx_n) ;

b) (C, +, •) z naturalnymi działaniami dodawania oraz mnożenia liczb;

c) (F (A, R) , +, •) z naturalnymi działaniami dodawania funkcji oraz mnożenia funkcji przez liczbę.

Przykład 4.2. Poniższe struktury nie są przestrzeniami wektorowymi:

a) (Rⁿ, +, •) z działaniami:

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) := (x1+ y1, . . . , xn+ yn) , α • (x1, . . . , xn) := (αx1, 0, . . . , 0) ;

b) {f : R → R : f (0) = 1} z naturalnymi działaniami dodawania funkcji oraz mnożenia funkcji przez liczbę.

22

4.1. Podprzestrzeń liniowa

Łatwo wykazać, że w dowolnej rzeczywistej przestrzeni wektorowej (X, +, •) prawdziwe są nastę- pujące zależności:

– 0 • x = α • 0 = 0;

– α • x = 0 ⇒ α = 0 lub x = 0;

– − (α • x) = (−α) • x = α • (−x) dla dowolnych x ∈ X, α ∈ R.

Uwaga W powyższych warunkach występują dwa różne zera – jedno to element neutralny dla doda- wania w grupie (X, +) , drugie to element neutralny dla dodawania w grupie (R, +) . Podobnie, znaki

„−” występujące w ostatnim warunku to dwa różne minusy – pierwszy oznacza element przeciwny dla elementu grupy (X, +) , drugi wskazuje element przeciwny w grupie (R, +).

4.1. Podprzestrzeń liniowa

Niech (X, +, •) będzie rzeczywistą przestrzenią wektorową oraz niech Y ⊂ X.

Definicja 4.2. Jeżeli zbiór Y oraz działania + i • przestrzeni X spełniają warunki:

(a) α, β ∈ R, x, y ∈ Y ⇒ α • x + β • y ∈ Y ; (b) 0 ∈ Y

to trójkę (Y, +, •) nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni (X, +, •).

Łatwo pokazać, że każda podprzestrzeń liniowa Y przestrzeni liniowej X jest przestrzenią liniową z działaniami indukowanymi z przestrzeni X.

Przykład 4.3. Niech α₁, . . . , α_n∈ R będą dowolnymi ustalonymi liczbami. Zbiór



(x1, . . . , xn) ∈ Rⁿ:

n

P

k=1

αkxk= 0



z naturalnymi działaniami dodawania wektorów oraz mnożenia wektora przez liczbę jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej z przykładu 4.1.a.

Przykład 4.4. Zbiór {z ∈ C : Re z + Im z = 0} z naturalnymi działaniami dodawania oraz mnożenia liczb zespolonych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej z przykładu 4.1.b.

Przykład 4.5. Zbiór {f ∈ F (R, R) : ∀x f (x) = f (−x)} z naturalnymi działaniami dodawania funk- cji oraz mnożenia funkcji przez liczbę jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej z przykładu 4.1.c (dla A = R).

Bezpośrednio z definicji wynika, że zbiór pusty tworzy przestrzeń liniową, ale nie jest on podprzestrze- nią liniową żadnej przestrzeni.

Przykład 4.6. Niech (X, +, •) będzie niepustą przestrzenią liniową. Wówczas struktura ({0} , +, •) jest najmniejszą (w sensie inkluzji) podprzestrzenią liniową przestrzeni (X, +, •) .

4.2. Liniowa niezależność wektorów

Niech (X, +, •) będzie rzeczywistą przestrzenią wektorową.

Definicja 4.3. Mówimy, że wektory v1, . . . , vn ∈ X są liniowo niezależne, jeżeli dla dowolnych skalarów α₁, . . . , α_n∈ R zachodzi:

α₁v₁+ . . . + α_nv_n= 0 ⇒ α₁ = . . . = α_n= 0. (4.1) Wektory, które nie są liniowo niezależne są liniowo zależne.

23

4.3. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej

Wyrażenie

α1v1+ . . . + αnvn

nazywamykombinacją liniową wektorów v₁, . . . , v_n. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wekto- rów v₁, . . . , v_n przestrzeni wektorowej X, tj. zbiór

span {v₁, . . . , v_n}=^df

 _n P

i=1

α_iv_i: α_i ∈ R (i = 1, . . . , n)



tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni X (ćwiczenie).

Zauważmy, że zaprzeczenie warunku (4.1), tj. liniowa zależność wektorów v₁, . . . , v_n, oznacza, że przynajmniej jeden z tych wektorów jest kombinacją liniową pozostałych.

Przykład 4.7. Aby sprawdzić liniową zależność wektorów

v1 = (1, 0, −1) , v2 = (−1, 1, 1) , v3= (3, −1, −3) należy rozwiązać, wynikające z warunku (4.1), równanie

α₁(1, 0, −1) + α₂(−1, 1, 1) + α₃(3, −1, −3) = (0, 0, 0) ze względu na niewiadome α₁, α2, α3 ∈ R. Równanie to prowadzi do układu równań







α₁− α₂+ 3α₃ = 0 α2− α₃ = 0

−α₁+ α2− 3α₃ = 0 ,

którego rozwiązaniem jest: α₁ = −2t, α₂ = α₃ = t (t ∈ R). Oznacza to, że warunek (4.1) nie jest spełniony, czyli badane wektory są liniowo zależne. Faktycznie, z postaci rozwiązania wynika, że v2 = 2v1− v₃.

4.3. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej

Niech v₁, . . . , v_n będą ustalonymi wektorami rzeczywistej przestrzeni wektorowej X. Jeżeli każdy element przestrzeni X można wyrazić jako kombinację liniową wektorów v₁, . . . , v_n, tzn. dla dowolnego y ∈ X

y = α₁v₁+ . . . + α_nv_n, (4.2)

dla pewnych α₁, . . . , α_n ∈ R, to mówimy, że wektory v1, . . . , v_n generują przestrzeń X. Każdy li- niowo niezależny ciąg (istotna kolejność) wektorów przestrzeni wektorowej X generujący tę przestrzeń nazywamy jejbazą. Liczbę elementów bazy przestrzeni wektorowej X oznaczamy dim X i nazywamy wymiarem przestrzeni wektorowej. Współczynniki α₁, . . . , α_n występujące w równaniu (4.2) nazy- wamywspółrzędnymi wektoray w bazie v₁, . . . , v_n. Niezwykle ważne jest to, że współrzędne te są wyznaczone w sposób jednoznaczny. Aby to wykazać przypuśćmy, że wektor y postaci (4.2) można również zapisać jako

y = β₁v₁+ . . . + β_nv_n. (4.3)

Pokażemy, że wówczas α_i = β_i (i = 1, . . . , n). Z zależności (4.2)-(4.3) otrzymujemy 0 = α₁v₁+ . . . + α_nv_n− (β₁v₁+ . . . + β_nv_n)

= (α1− β₁) v1+ . . . + (αn− β_n) vn.

Liniowa niezależność wektorów v₁, . . . , vn prowadzi do warunków α_i− β_i= 0 (i = 1, . . . , n).

24

Własności bazy przestrzeni wektorowej:

(i) Każda niepusta przestrzeń wektorowa posiada bazę.

(ii) Jeżeli wektory v₁, . . . , v_n są bazą pewnej przestrzeni liniowej, to dla dowolnych niezerowych ska- larów α₁, . . . , αn wektory α₁v1, . . . , αnvn również są bazę tej przestrzeni.

(iii) Wszystkie bazy tej samej przestrzeni wektorowej są równoliczne.

(iv) Wektory v₁, . . . , v_n n−wymiarowej przestrzeni liniowej są jej bazą wtedy i tylko wtedy, gdy są wektorami liniowo niezależnymi.

(v) Każdy ciąg wektorów liniowo niezależnych przestrzeni wektorowej może być rozszerzony do jej bazy.

Przykład 4.8. Rozważmy rzeczywistą przestrzeń liniową (Rⁿ, +, •). Dla dowolnego wektora (x1, . . . , xn) ∈ Rⁿ mamy:

(x₁, . . . , x_n) = (x₁, 0, . . . , 0) + (0, x₂, 0, . . . , 0) + . . . + (0, . . . , 0, x_n)

= x1(1, 0, . . . , 0) + x2(0, 1, 0, . . . , 0) + . . . + xn(0, . . . , 0, 1) ,

zatem wektory e₁ = (1, 0, . . . , 0) , e₂ = (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , e_n = (0, . . . , 0, 1) generują przestrzeń Rⁿ; ponieważ wektory te są również liniowo niezależne, więc stanowią one bazę przestrzeni Rⁿ– jest to tzw.

baza kanoniczna. Wniosek: dim Rⁿ= n.

Przykład 4.9. Rozważmy rzeczywistą przestrzeń liniową (C, +, •). Z postaci kanonicznej liczby ze- spolonej wynika, że każda liczba zespolona jest kombinacją liniową wektorów 1, i; wektory te są liniowo niezależne, więc stanowią bazę przestrzeni C. Wniosek: dim C =2.

Przykład 4.10. Niech

Y =(x, y, z) ∈ R³: x + y − z = 0, x + y + z = 0 .

Łatwo wykazać, że Y jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R³; wyznaczmy więc jej bazę. Rozwią- zując układ równań wynikający z definicji przestrzeni Y , otrzymamy: x = t, y = −t, z = 0 (t ∈ R) . Dowolny element przestrzeni Y ma więc postać: (t, −t, 0) = t (1, −1, 0) . Oznacza to, że Y jest jedno- wymiarową podprzestrzenią przestrzeni R³, której bazą jest wektor (1, −1, 0).

Przykład 4.11. Niech π_n(R) oznacza zbiór wielomianów rzeczywistych stopnia nie większego niż n.

Łatwo sprawdzić, że struktura (π_n(R), +, •), gdzie + oraz • to naturalne działania dodawania funkcji oraz mnożenia funkcji przez liczbę, jest rzeczywistą przestrzenią wektorową. Bazę tej przestrzeni tworzą jednomiany

x → 1, x → x, x → x², . . . x → xⁿ; mamy więc: dim π_n(R) = n + 1.

Niech teraz, dla a ∈ R,

πn(R; a) = {w ∈ πn(R) : w (a) = 0} .

Łatwo wykazać, że π_n(R; a) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni πn(R). Z twierdzenia B´ezout wynika, że dowolny element w ∈ π_n(R; a) można zapisać w postaci

w (x) = (x − a) g (x) , (4.4)

dla pewnego g ∈ π_n−1(R). Ponieważ bazą πn−1(R) są jednomiany 1, x, x², . . . , xⁿ⁻¹, zatem na podstawie (4.4), wielomian w jest kombinacją liniową wielomianów

x → x − a, x → x(x − a), x → x²(x − a), . . . x → xⁿ⁻¹(x − a);

Wielomiany te są liniowo niezależne, zatem stanowią bazę przestrzeni π_n(R; a); stąd dim πn(R; a) = n.

Ćwiczenie Wyznacz bazę przestrzeni πn(R; a) w przypadku, gdy a ∈ C\R.