Wyznacz estymator największej wiarygodności parametru λ

rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna (4inf, rpism, 2007/2008)

12. Estymator największej wiarygodności – zadania do samodzielnego rozwiązania 1. Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu dwumianowego B(m, p),

p ∈ (0, 1). Wyznacz estymator największej wiarygodności parametru (a) p,

(b) θ = p².

2. Niech X1, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu gamma G(2, λ) o gęstości f (x) = λ²

Γ(2)xe^−λx1_(0,∞)(x), λ > 0.

Wyznacz estymator największej wiarygodności parametru λ.

3. Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu Laplace’a La(0,¹_λ) o gęstości f (x) = λ

2e^−λ|x|, λ > 0.

Wyznacz estymator największej wiarygodności parametru λ.

4. Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu o gęstości f (x) = −αx⁻²1(−∞,α](x), α < 0.

Wyznacz estymator największej wiarygodności parametru α.

5. Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu jednostajnego U (θ − ¹₂, θ + ¹₂), θ ∈ R. Wyznacz estymator największej wiarygodności parametru θ.

6. Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu Pareto P a(x₀, α) o gęstości f (x) = α

x₀

x₀ x

α+1

1(x0,∞)(x), x0 > 0, α > 0.

Wyznacz estymator największej wiarygodności parametru θ = (x0, α).

1