Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 4: Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Standaryzacja rozkładu normalnego.

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni

Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz

Przykłady do listy 4: Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Standaryzacja rozkładu normalnego.

Przykłady do zadania 4.1 :

(a) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle dyskretnego rozkładu zmiennej losowej X podanego w tabeli:

n 1 2 3 4

x_n 2 3 4 5

p_n 0,1 0,3 0,4 0,2

• EX = 2 · 0, 1 + 3 · 0, 3 + 4 · 0, 4 + 5 · 0, 2 = 3, 7

• D²X = 2²· 0, 1 + 3²· 0, 3 + 4²· 0, 4 + 5²· 0, 2 − (EX)² = 0, 81 (√

D²X = 0, 9)

• x_0,25 = 3, x_0,5 = x_0,75 = 4

0 1 2 3 4 5

−0.5 0 0.5 1 1.5

2 3 4 5

1 0.8

0.4

0.1

0.75 0.5

0.25 F(x)

x

x0.75

x0.25 x

0.5

(b) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle dyskretnego rozkładu zmiennej losowej X, zadanego ciągiem {(x_n, p_n), n = 1, 2, . . .}, gdzie xn= 2n, pn = 2

3ⁿ, n = 1, 2, . . ..

• EX =

∞

X

n=1

x_np_n=

∞

X

n=1

2n · 2 3ⁿ = 4 ·

1 3

1 − ¹₃^2

= 3.

(Skorzystaliśmy ze wzoru z Analizy Matematycznej:

∞

X

n=1

nxⁿ= x

(1 − x)² dla |x| < 1.)

• D²X =

∞

X

n=1

x²_np_n−(EX)² =

∞

X

n=1

(2n)²· 2

3ⁿ−3² = 8 3

∞

X

n=1

n²·

1 3

n−1

−9 = 8

3· 1 + ¹₃

1 −¹₃^3

−9 = 3.

(Skorzystaliśmy ze wzoru z Analizy Matematycznej:

∞

X

n=1

n²xⁿ⁻¹ = 1 + x

(1 − x)³ dla |x| < 1.) (√

D²X ≈ 1, 7230)

• x_0,25 = x_0,5 = 2, x_0,75 = 4

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

−0.5 0 0.5 1 1.5

2/3 8/9 26/27

2 4 6

0.5 0.75

0.25

x0.75

x0.25

x0.5

F(x)

x

(c) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle

dyskretnego rozkładu zmiennej losowej X podanego w tabeli:

n 1 2 3

x_n -1 5 10 p_n ¹₂ ¹₃ ¹₆

• EX = −1 · ¹₂ + 5 · ¹₃ + 10 · ¹₆ = ¹⁷₆ ≈ 2, 8333

• D²X = (−1)²· ¹₂ + 5²· ₃¹ + 10²· ¹₆ − (EX)² = ⁶²⁹₃₆ ≈ 17, 4722 (√

D²X ≈ 4, 1780)

• x_0,25 = −1, x_0,5 - dowolna liczba z przedziału [−1, 5], x_0,75= 5

0 2 4 6 8 10

−0.5 0 0.5 1 1.5

1 5/6

1/2

0,75

0,25 0,5

x0,25 x

0,75

przedzial median

−1 5 10

F(x)

Przykłady do zadania 4.2 :

(a) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle ciągłego rozkładu zmiennej losowej X o gęstości f (x) =

( 0 dla x /∈ [0,√³ 3], x² dla x ∈ [0,√³

3].

• EX = ^∞R

−∞

xf (x)dx =

√3

R3 0

x³dx = x⁴ 4

√3

3

0

= 3√³ 3

4 ≈ 1, 0817

• D²X =

∞

R

−∞

x²f (x)dx−(EX)² =

√3

3

R

0

x⁴dx−(EX)² = x⁵ 5

√3

3

0

= 3√³ 9 5 −9√³

9

16 = 3√³ 9

80 ≈ 0, 0780 (√

D²X ≈ 0, 2793)

• Dystrybuanta rozkładu X to F (x) = ^Rx

−∞

f (t)dt =











0 dla x ¬ 0,

x³

3 dla 0 < x ¬√³ 3, 1 dla x > √³

3.

• F (x) = q ⇔ x³ = 3q ⇔ x = √³

3q dla 0 < q < 1

• Zatem x_0,25=√³

0, 75 ≈ 0, 9086, x_0,5 =√³

1, 5 ≈ 1, 1447, x_0,75=√³

2, 25 ≈ 1, 3104

(b) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle ciągłego rozkładu zmiennej losowej X o gęstości f (x) =







0 dla x ¬ 1, 1

3x^4/3 dla x > 1.

•

∞

R

−∞

xf (x)dx =

∞

R

1

dx

3x^4/3 - rozbieżna do ∞

Zatem EX nie jest skończona, a D²X nie istnieje

• Dystrybuanta rozkładu X to F (x) =

x

R

−∞

f (t)dt =

( 0 dla x ¬ 1,

1 − x^−1/3 dla x > 1.

• F (x) = q ⇔ 1 − x^−1/3 = q ⇔ x = (1 − q)⁻³ dla 0 < q < 1

• Zatem x_0,25= 0, 75⁻³ ≈ 2, 3704, x_0,5 = 0, 5⁻³ = 8, x_0,75 = 0, 25⁻³ ≈ 64

(c) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle

ciągłego rozkładu zmiennej losowej X ma rozkład o gęstości f (x) =



















0 dla x < −1,

−₅₉⁶(x²− 4) dla −1 ¬ x < 1, 0 dla 1 ¬ x < 2,

−₅₉⁶(x − 5) dla 2 ¬ x < 3,

0 dla 3 ¬ x

• EX = ^∞R

−∞

xf (x)dx = −₅₉⁶

1

R

−1

x(x²− 4)dx +^R3

2

x(x − 5)dx

!

=

= −₅₉⁶



0 +





x³

3 − 5x² 2

3

2



= ³⁷₅₉ ≈ 0, 6271

(pierwsza całka w sumie równa jest 0 jako całka z funkcji nieparzystej po przedziale sy- metrycznym względem zera)

• D²X =

∞

R

−∞

x²f (x)dx − (EX)² = −₅₉⁶

1

R

−1

x²(x²− 4)dx +^R3

2

x²(x − 5)dx

!

−^37₅₉^2 =

= −₅₉⁶



2





x⁵

5 − 4x³ 3

1

0



+





x⁴

4 − 5x³ 3

3

2



−^37₅₉^2 = ^3748909_10·592 ≈ 1, 4050

(wykorzystaliśmy fakt, że pierwsza całka jest z funkcji parzystej po przedziale symetrycz- nym względem zera)

(√

D²X ≈ 1, 1850)

• Dystrybuanta rozkładu X to (z przykładu 3.5)

F (x) =























0 dla x < −1,

2(x(12−x²)+11)

59 dla −1 ¬ x < 1,

44

59 dla 1 ¬ x < 2,

3x(10−x)−4

59 dla 2 ¬ x < 3,

1 dla 3 ¬ x

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0,75

0,25 0,5

x_0,75 x_0,25 x_0,5

≈ 0,7458

−1 1 2 3

≈ 2,014

F(x)

x

• F (x) = 0, 25 ⇔ ^2(x(12−x₅₉²⁾⁺¹¹⁾ = 0, 25; −1 < x < 1 ⇔

⇔ −x³+ 12x + 3, 625 = 0; −1 < x < 1 x0,25 jest rozwiązaniem tego równania

Metodą przybliżoną otrzymujemy rozwiązanie x_0,25≈ −0, 3125

• F (x) = 0, 5 ⇔ ^2(x(12−x₅₉²⁾⁺¹¹⁾ = 0, 5; −1 < x < 1 ⇔

(d) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle ciągłego rozkładu zmiennej losowej X o gęstości f (x) =







0, 25e^x dla x ¬ 0,

0,25

ln 2 dla 0 < x ¬ ln 2, e^−x dla x > ln 2

• EX = ^∞R

−∞

xf (x)dx = 0, 25 ^R0

−∞

xe^xdx + ^0,25_{ln 2} ^{ln 2R}

0

xdx +

∞

R

ln 2

xe^−xdx =

= 0, 25



(x − 1)e^x

0

−∞

+^0,25_{ln 2}





x² 2

ln 2

0

+ −(x + 1)e^−x

∞

ln 2

= −0, 25 + ^{0,25 ln 2}₂ + ^{ln 2+1}₂ =

= 0, 625 ln 2 + 0, 25 ≈ 0, 6832 Obliczenia pomocnicze:

R xe^xdx =^R x(e^x)⁰dx = xe^x−^R e^xdx = (x − 1)e^x+ C

R xe^−xdx =^R x(−e^−x)⁰dx = −xe^−x+^R e^−xdx = −(x + 1)e^−x+ C

x→−∞lim (x − 1)e^x = lim

x→−∞

x−1 e^−x

= limH x→−∞

1

−e^−x = 0

x→∞lim(x + 1)e^−x = lim

x→∞

x+1 e^x

= limH x→∞

1 e^x = 0

• D²X =

∞

R

−∞

x²f (x)dx − (EX)² = 0, 25

0

R

−∞

x²e^xdx + ^0,25_{ln 2}

ln 2

R

0

x²dx +

∞

R

ln 2

x²e^−xdx =

= 0, 25



(x²− 2x + 2)e^x

0

−∞

+ ^0,25_{ln 2}





x³ 3

ln 2

0

+ −(x² + 2x + 2)e^−x

∞

ln 2

= −0, 5 +^{0,25 ln}₃ ²²+ +^{ln22+2 ln 2+2}₂ − (0, 625 ln 2 + 0, 25)² = 1, 25 + 0, 375 ln 2 + ^{3.5 ln}₆²² ≈ 1, 7902

Obliczenia pomocnicze:

R x²e^xdx =^R x²(e^x)⁰dx = x²e^x− 2^R xe^xdx = (x²− 2x + 2)e^x+ C

R x²e^−xdx =^R x²(−e^−x)⁰dx = −x²e^−x+ 2^R xe^−xdx = −(x²+ 2x + 2)e^−x+ C

x→−∞lim (x² − 2x + 2)e^x = lim

x→−∞

x²−2x+2 e^−x

= limH x→−∞

2x−2

−e^−x = 0

x→∞lim(x²+ 2x + 2)e^−x = lim

x→∞

x²+2x+2 e^x

= limH x→∞

2x+2 e^x = 0 (√

D²X ≈ 1, 3380)

• Dystrybuanta rozkładu X to (z przykładu 3.6(c))

F (x) =











0, 25e^x dla x ¬ 0, 0, 25^_{ln 2}^x + 1^ dla 0 < x ¬ ln 2, 1 − e^−x dla x > ln 2

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−0.5 0 0.5 1 1.5

F(x)

x 0,75

0,25 0,5

x_0,75 x_0,25

x_0,5

= 0

= ln2

= ln4

• F (x) = 0, 25 ⇔ x = 0 Zatem x_0,25= 0

• F (x) = 0, 5 ⇔ x = ln 2 Zatem x_0,5 = ln 2 ≈ 0, 6931

• F (x) = 0, 75 ⇔ 1 − e^−x = 0, 75 ⇔ x = ln 4 Zatem x0,75= ln 4 ≈ 1, 3863

(e) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle rozkładu zmiennej losowej Z o dystrybuancie F (z) =







0 dla z ¬ 0,

1 − (1 − z)² dla 0 < z ¬ 1, 1 dla z > 1.

• Jest to rozkład ciągły o gęstości f (z) = F⁰(z) =

( 2(1 − z) dla 0 < z < 1,

0 poza tym.

• EZ = ^R∞

−∞

zf (z)dz = 2

1

R

0

z(1 − z)dz = 2



^z

2

2 − ^z₃³

1

0



= ¹₃ ≈ 0, 3333

• D²Z =

∞

R

−∞

z²f (z)dz−(EZ)² = 2

1

R

0

z²(1−z)dz−^1₃^2 = 2



^z

3

3 − ^z₄⁴

1

0



−^1₃^2 = ₁₈¹ ≈ 0, 0556 (√

D²Z ≈ 0, 2357)

• F (z) = q ⇔ (1 − z)² = 1 − q ⇔ z = 1 −√

1 − q dla 0 < q < 1

• Zatem z_0,25= 1 −√

0, 75 ≈ 0, 1340, z_0,5 = 1 −√

0, 5 ≈ 0, 2929, z_0,75= 1 −√

0, 25 ≈ 0, 5 Przykłady do zadania 4.3 :

(a) Promień kuli R ma rozkład jednostajny U (4, 9; 5, 1) cm. Kulę wykonano z żelaza o gęstości 7,88 g/cm³. Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję losowej masy M tej kuli wykorzystując rozkład promienia losowego R (patrz także przykład 3.7 (c)).

• Masa kuli równa jest M = a⁻³R³, gdzie a = (4 · 7, 88π/3)^−1/3≈ 0, 3117.

• Gęstość R ma postać: f_R(r) =

( 0, gdy r /∈ [4, 9; 5, 1],

1

5,1−4,9 = 5, gdy r ∈ [4, 9; 5, 1].

• EM = a⁻³ER³ = a⁻³

∞

R

−∞

r³f_R(r)dr = 5a⁻³

5,1

R

4,9

r³dr = 5a^{−3 5,14−4,9}₄ ⁴ ≈ 4127, 6 g.

• D²M = EM²− (EM )² = a⁻⁶ER⁶− (EM )² = a⁻⁶

∞

R

−∞

r⁶f_R(r)dr − (EM )² =

= 5a⁻³

5,1

R

4,9

r⁶dr − (EM )² = 5a^{−3 5,16−4,9}₆ ⁶ −^5a^{−3 5,14−4,9}₄ ^42 ≈ 20433, 686 g².

(b) Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy’ego C(0, 1). Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość ocze- kiwaną i wariancję zmiennej losowej Y = arctgX wykorzystując rozkład zmiennej losowej X, (patrz też przykład 3.7 (d)).

• X ma gęstość postaci f (x) = ¹ .

Przykłady do zadania 4.4 :

(a) Błąd pomiaru długości śruby ma standardowy rozkład normalny. Znaleźć prawdopodobieństwo, że błąd zawarty będzie w przedziale [0; 0,5], [-1; 1], [-2,3; 2].

• Oznaczmy błąd pomiaru długości śruby przez B.

Wiemy, że B to zmienna losowa o standardowym rozkładzie normalnym.

P (B < x) = P (B ¬ x) = Φ(x).

Wartości funkcji Φ odczytujemy z tablic.

• P (B ∈ [0; 0, 5]) = P (0 ¬ B ¬ 0, 5) = Φ(0, 5) − Φ(0) = 0, 6915 − 0, 5 = 0, 1915

• P (B ∈ [−1; 1]) = P (−1 ¬ B ¬ 1) = Φ(1) − Φ(−1) = Φ(1) − (1 − Φ(1)) = 2Φ(1) − 1 =

= 2 · 0, 8413 − 1 = 0, 6828

• P (B ∈ [−2, 3; 2]) = P (−2, 3 ¬ B ¬ 2) = Φ(2) − Φ(−2, 3) = Φ(2) − (1 − Φ(2, 3)) =

= 0, 9772 − (1 − 0, 9893) = 0, 9665

(b) Długość produkowanych detali ma rozkład N (0, 9; 0, 003). Norma przewiduje wyroby o wymia- rach 0, 9 ± 0, 005. Jaki procent produkowanych detali nie spełnia wymogów normy?

• Oznaczmy długość produkowanych detali przez L.

Jest to zmienna losowa o rozkładzie N (m = 0, 9; σ = 0, 003).

Wiemy, że ^L−m_σ ma rozkład N (0, 1).

• Detal spełnia wymogi normy, gdy 0, 9 − 0, 005 ¬ L ¬ 0, 9 + 0, 005.

• P (detal nie spełnia wymogów normy)= 1 − P (0, 9 − 0, 005 ¬ L ¬ 0, 9 + 0, 005) =

= 1 − P^0,9−0,005−0,9

0,003 ¬ ^L−m_σ ¬ 0,9+0,005−0,9 0,003

= 1 −^Φ^5₃^− Φ^−⁵₃^=

= 2^1 − Φ^5₃^≈ 2(1 − Φ(1, 67)) = 2(1 − 0, 9525) = 0, 095.

• Odp. 9,5% produkowanych detali nie spełnia wymogów normy.

(c) Asystent prowadzący zajęcia ze statystyki przychodzi do sali na ogół 2 minuty przed wyzna- czoną godziną rozpoczęcia zajęć. Zakładając, że czas przyjścia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z σ = 2 minuty, określić, jakie jest prawdopodobieństwo spóźnienia się tego asy- stenta na zajęcia. (Czy asystent powinien zmienić zwyczaje?)

• Przyjmiemy, że moment rozpoczęcia zajęć t₀ = 0.

Oznaczmy przez T moment przyjścia asystenta.

Jest to zmienna losowa o rozkładzie normalnym N (m = −2, σ = 2) (m = −2, bo asystent przychodzi na ogół 2 minuty przed chwilą t₀ = 0).

• P (asystent się spóźni)= P (T > 0) = P^{T −m}_σ > ⁰⁻⁽⁻²⁾₂ ^= 1 − Φ(1) =

= 1 − 0, 8413 = 0, 1587.