Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151

(1)

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni

Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz

Przykłady do listy 5: Zmienne losowe dwuwymiarowe. Rozkłady łączne, brzegowe. Niezależność zmiennych losowych. Współczynnik korelacji.

Sumowanie niezależnych zmiennych losowych. Prawo wielkich liczb.

Przykłady do zadania 5.1 :

(a) Wektor losowy (X, Y ) ma następujący rozkład łączny:

P (X = 0, Y = −2) = C; P (X = 0, Y = 0) = 0; P (X = 0, Y = 1) = 0, 2;

P (X = 2, Y = −2) = P (X = 2, Y = 0) = 0, 2; P (X = 2, Y = 1) = 0, 3.

Wyznaczyć stałą C oraz rozkłady brzegowe tego wektora losowego. Czy X i Y są niezależne?

• Stała C musi być nieujemna oraz spełniać warunek C + 0 + 0, 2 + 0, 2 + 0, 2 + 0, 3 = 1, co daje C = 0, 1

• Rozkład łączny wektora losowego (X, Y ) razem z rozkładami brzegowymi zmiennych lo- sowych X i Y możemy podać w postaci tabeli:

x_n 0 2 r.brzeg.

y_k Y

−2 0, 1 0, 2 0, 3

0 0 0, 2 0, 2

1 0, 2 0, 3 0, 5

r.brzeg.X 0, 3 0, 7 ^P= 1

• X i Y nie są niezależne, bo np. P (X = 0, Y = 0) = 0 6= 0, 3 · 0, 2 = P (X = 0)P (Y = 0).

(b) Znaleźć rozkład łączny wektora losowego (X, Y ), gdzie X i Y są niezależnymi zmiennymi loso- wymi o rozkładach P (X = −1) = 0, 1; P (X = 3) = 0, 9; P (Y = 0) = 0, 45; P (Y = 2) = 0, 55.

• Zmienne losowe są niezależne, zatem np.

P (X = −1, Y = 0) = P (X = −1)P (Y = 0) = 0, 1 · 0, 45 = 0, 045.

Podobnie obliczamy pozostałe prawdopodobieństwa łączne.

• Rozkład łączny wektora losowego (X, Y ) razem z rozkładami brzegowymi zmiennych lo- sowych X i Y podajemy w tabeli:

xn −1 3 r.brzeg.

y_k Y

0 0, 045 0, 405 0, 45 2 0, 055 0, 495 0, 55 r.brzeg.X 0, 1 0, 9 ^P= 1

(2)

Przykład do zadania 5.2 :

(a) Dobrać stałą C tak, aby funkcja f (x, y) =

( C(x²y + y) dla 0 < x < 1, 0 < y < 2

0 poza tym. była

gęstością pewnego wektora losowego (X, Y ). Obliczyć następnie P ((X, Y ) ∈ ∆), gdzie ∆ to obszar 0 ¬ y ¬ 2, 0 ¬ x ¬ y. Wyznaczyć rozkłady brzegowe wektora losowego (X, Y ).

Czy X i Y są niezależne?

• f (x, y) 0 dla każdego (x, y) wtedy i tylko wtedy, gdy C 0 (bo dla 0 < x < 1, 0 < y < 2 mamy x²y + y > 0).

∞

R

−∞

∞

R

−∞

f (x, y)dxdy = C^R¹

0

dx^R²

0

(x²y + y)dy = ⁸₃C = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy C = ³₈. Oba warunki na gęstość są spełnione, gdy C = ³₈.

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

K

∆

K∩∆

1 2

y=x

• Oznaczmy przez K prostokąt 0 < x < 1, 0 < y < 2.

P ((X, Y ) ∈ ∆) =^RR

∆

f (x, y)dxdy = ³₈ ^R ^R

∆∩K

(x²y + y)dxdy = ³₈^R₀¹dx^R_x²(x²+ 1)ydy =

= ³₈^R₀¹(x²+ 1)(2 − x²/2)dx = ³₈(²₃ − ₁₀¹ + 2 − ¹₆) = 0, 9

• Wyznaczamy rozkłady brzegowe:

f_X(x) =

∞

R

−∞

f (x, y)dy =







3

8(x²+ 1)^R²

0

ydy = ³₄(x²+ 1) dla 0 < x < 1,

0 dla pozostalych x.

f_Y(y) =

∞

R

−∞

f (x, y)dx =







3 8y^R¹

0

(x²+ 1)dx = ¹₂y dla 0 < y < 2,

0 dla pozostalych y.

• Ponieważ dla każdego (x, y) mamy f_X(x)f_Y(y) = f (x, y), zmienne losowe X i Y są niezależne.

(3)

(b) Dobrać stałą C tak, aby funkcja f (x, y) =

( C dla (x, y) ∈ K

0 poza tym, gdzie K to obszar ograniczony krzywymi y = 1 − x², y = 0, była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y ). Obliczyć następnie P (0 < X < 0, 5; 0 < Y < 1). Wyznaczyć rozkłady brzegowe wektora losowego (X, Y ).

Czy X i Y są niezależne?

• K: −1 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1 − x².

• f (x, y) 0 dla każdego (x, y) wtedy i tylko wtedy, gdy C 0

∞

R

−∞

∞

R

−∞

f (x, y)dxdy = C

1

R

−1

dx

1−x²

R

0

dy = C

1

R

−1

(1 − x²)dx = ⁴₃C = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy C = ³₄.

Oba warunki na gęstość są spełnione, gdy C = ³₄.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−0.5 0 0.5 1 1.5

K

∆

K∩∆

1

−1 0,5

1

0 y=1−x²

x=(1−y)^1/2 x=−(1−y)^1/2

• ∆ : 0 < x < 0, 5; 0 < y < 1

P (0 < X < 0, 5; 0 < Y < 1) =^R₀^0,5dx^R₀¹f (x, y)dy = ³₄^R ^R

∆∩K

dxdy = ³₄^R₀^0,5dx^R₀^1−x²dy =

=^R₀^0,5(1 − x²)dx = ¹¹₃₂ = 0, 34375

• Wyznaczamy rozkłady brzegowe:

f_X(x) =

∞

R

−∞

f (x, y)dy =







3 4

1−x²

R

0

dy = ³₄(1 − x²) dla − 1 ¬ x ¬ 1,

0 dla pozostalych x.

K: 0 ¬ y ¬ 1, −√

1 − y ¬ x ¬√ 1 − y.

f_Y(y) =

∞

R

−∞

f (x, y)dx =











3 4

√1−y

R

−√ 1−y

dx = ³₂√

1 − y dla 0 ¬ y ¬ 1,

0 dla pozostalych y.

• Ponieważ dla wszystkich (x, y) ∈ (−1, 1) × (0, 1) mamy f_X(x)f_Y(y) 6= 0 w przeciwieństwie

(4)

Wyznaczyć wektor wartości oczekiwanych oraz macierz kowariancji wektora losowego (X, Y ) o po- danym rozkładzie. Obliczyć współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y , które są składowymi tego wektora.

(a) Rozkład dyskretny podany w tabeli

xn 0 2 r.brzeg.

y_k Y

−2 0, 1 0, 2 0, 3

0 0 0, 2 0, 2

1 0, 2 0, 3 0, 5

r.brzeg.X 0, 3 0, 7 ^P= 1

• EX = 0 · 0, 3 + 2 · 0, 7 = 1, 4;

D²X = 0²· 0, 3 + 2²· 0, 7 − (1, 4)² = 0, 84;

• EY = −2 · 0, 3 + 0 · 0, 2 + 1 · 0, 5 = −0, 1;

D²Y = (−2)²· 0, 3 + 0²· 0, 2 + 1²· 0, 5 − (−0, 1)² = 1, 69;

• EXY = 0 · (−2) · 0, 1 + 0 · 0 · 0 + 0 · 1 · 0, 2 + 2 · (−2) · 0, 2 + 2 · 0 · 0, 2 + 2 · 1 · 0, 3 = −0, 2;

Cov(X, Y ) = EXY − EXEY = −0, 2 − 1, 4 · (−0, 1) = −0, 06 ρ_XY = ^√^{Cov(X,Y )}

D²X√

D²Y = −_1,3^0,06^√_0,84 ≈ −0, 05.

• Odp. (EX, EY ) = (1, 4; −0, 1);

macierz kowariancji to

"

D²X Cov(X, Y ) Cov(X, Y ) D²Y

#

=

"

0, 84 −0, 06

−0, 06 1, 69

#

; ρ_XY = −_1,3^0,06^√_0,84 ≈ −0, 05

(b) Rozkład dyskretny podany w tabeli

x_n −1 3 r.brzeg.

y_k Y

0 0, 045 0, 405 0, 45 2 0, 055 0, 495 0, 55 r.brzeg.X 0, 1 0, 9 ^P= 1

• EX = −1 · 0, 1 + 3 · 0, 9 = 2, 6;

D²X = (−1)²· 0, 1 + 3²· 0, 9 − (2, 6)² = 1, 44;

• EY = 1, 1; D²Y = 0, 99;

• Cov(X, Y ) = 0; ρ_XY = 0, bo zmienne są niezależne.

• Odp. (EX, EY ) = (2, 6; 1, 1); macierz kowariancji to

"

1, 44 0 0 0, 99

#

; ρ_XY = 0

(5)

(c) Rozkład ciągły o gęstości f (x, y) =

( ₃

8(x²y + y) dla 0 < x < 1, 0 < y < 2

0 poza tym.

• EX =

∞

R

−∞

∞

R

−∞

xf (x, y)dxdy = ³₈

1

R

0

dx

2

R

0

x(x²+ 1)ydy = ₁₆⁹ ; D²X =

∞

R

−∞

∞

R

−∞

x²f (x, y)dxdy − (EX)² = ³₈^R¹

0

dx^R²

0

x²(x²+ 1)ydy − (₁₆⁹)² = ₁₂₈₀¹⁰⁷;

• EY = ^∞^R

−∞

∞

R

−∞

yf (x, y)dxdy = ³₈ ^R¹

0

dx^R²

0

y(x²+ 1)ydy = ⁴₃; D²Y =

∞

R

−∞

∞

R

−∞

y²f (x, y)dxdy − (EY )² = ³₈^R¹

0

dx^R²

0

y²(x²+ 1)ydy − (⁴₃)² = ²₉;

• Cov(X, Y ) = 0; ρ_XY = 0, bo zmienne są niezależne.

• Odp. (EX, EY ) = (₁₆⁹ ;⁴₃); macierz kowariancji to

" ₁₀₇

1280 0 0 ²₉

#

; ρ_XY = 0

(d) Rozkład ciągły o gęstości f (x, y) =

( ₃

4 dla (x, y) ∈ K

0 poza tym, gdzie K to obszar ograniczony krzy- wymi y = 1 − x², y = 0

• EX = ^∞^R

−∞

∞

R

−∞

xf (x, y)dxdy = ³₄ ^R¹

−1

dx^1−x

2

R

0

xdy = 0;

D²X =

∞

R

−∞

∞

R

−∞

x²f (x, y)dxdy − (EX)² = ³₄

1

R

−1

dx

1−x²

R

0

x²dy − 0 = 0, 2;

• EY =

∞

R

−∞

∞

R

−∞

yf (x, y)dxdy = ³₄

1

R

−1

dx

1−x²

R

0

ydy = 0, 4;

D²Y =

∞

R

−∞

∞

R

−∞

y²f (x, y)dxdy − (EY )² = ³₄ ^R¹

−1

dx^1−x

2

R

0

y²dy − (0, 4)² = ₁₇₅¹²;

• Cov(X, Y ) = ^∞^R

−∞

∞

R

−∞

xyf (x, y)dxdy − EXEY = ³₄ ^R¹

−1

dx^1−x

2

R

0

xydy − 0 = 0; stąd ρ_XY = 0.

• Odp. (EX, EY ) = (0; 0, 4); macierz kowariancji to

"

0, 2 0 0 ₁₇₅¹²

#

; ρ_XY = 0

(a) Zmienne losowe X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład wykładniczy E xp¹₅, a Y rozkład normalny N (−1, 2). Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = 2X −3Y −2.

• X ma rozkład wykładniczy Expλ = ¹₅, zatem EX = ¹_λ = 5 i D²X = _λ¹2 = 25.

• Y rozkład normalny N (−1, 2), zatem EY = −1 i D²Y = 2² = 4.

• EZ = 2EX − 3EY − 2 = 2 · 5 − 3 · (−1) − 2 = 11.

• X i Y są niezależne, więc D²Z = D²(2X − 3Y − 2) = D²(2X − 3Y ) =

(6)

(b) Niech Y = X + N , gdzie X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p = 0, 4; a N ma rozkład normalny N (1, 1), przy czym zmienne losowe X i N są niezależne. Obliczyć współczynnik korelacji ρXY.

• X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p = 0, 4, zatem EX = p = 0, 4 i D²X = p(1 − p) = 0, 24.

• N ma rozkład normalny N (1, 1), zatem EN = 1 i D²N = 1.

• EY = EX + EN = 0, 4 + 1 = 1, 4

• Zmienne losowe X i N są niezależne.

Zatem D²Y = D²X + D²N = 0, 24 + 1 = 1, 24 oraz

EXY = EX²+ EXN = D²X + (EX)²+ EXEN = 0, 24 + (0, 4)²+ 0, 4 · 1 = 0, 8.

• Otrzymujemy ρXY = EXY − EXEY

√D²X√

D²Y = 0, 24

√0, 24 · 1, 24 ≈ 0, 44.

(a) Zmienne losowe X₁, X₂, . . . są niezależne o jednakowym rozkładzie takim, że P (X₁ = i) = 0, 75(0, 25)ⁱ⁻¹, i = 1, 2, . . . .

Do czego jest zbieżna średnia arytmetyczna X₁+ . . . + X_n

n ? W sensie jakiej zbieżności?

• Zmienne losowe X₁, X₂, . . . są niezależne o jednakowym rozkładzie geometrycznym Geo(p = 0, 75). Zatem EX₁ = ¹_p = ⁴₃ istnieje.

• Zachodzi zatem mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa, czyli

n→∞lim

X₁+ . . . + X_n

n = EX₁ = 4

3,

• przy czym jest to zbieżność z prawdopodobieństwem 1.

(b) Niech X₁, X₂, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie jednostajnym U (0, 1). Zdefiniujmy

Y_n=

( X_n² z prawdopod. 0, 1;

Xn z prawdopod. 0, 9;

tzn. Y_n = T_nX_n² + (1 − T_n)X_n, gdzie T_n jest zmienną losową niezależną od ciągu (X_n) i taką, że P (Tn= 1) = 1 − P (Tn= 0) = 0, 1; ponadto T₁, T₂, . . . są niezależne.

Znaleźć granicę lim

n→∞

1 n

n

X

i=1

Y_i z prawdopodobieństwem 1.

• Zmienne Y₁, Y2, . . . zdefiniowane w zadaniu są niezależne o jednakowym rozkładzie.

Ponadto EY₁ = ET₁EX₁²+ (1 − ET₁)EX₁ = 0, 1(D²X₁+ (EX₁)²) + 0, 9EX₁ =

= 0, 1

(1−0)²

12 +¹⁺⁰₂ ²

+ 0, 9¹⁺⁰₂ = ²⁹₆₀ istnieje.