Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Prawdopodobieństwo geometryczne
Ćw. 2.1 W koło wpisany jest kwadrat. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że 1. punkt rzucony losowo na koło znajdzie się wewnątrz kwadratu,
2. z pięciu punktów rzuconych losowo na koło jeden znajdzie się w kwadracie, a pozostałe – po jednym w każdym z czterech wycinków koła.
Ćw. 2.2 W dwóch losowych momentach tx, ty w przedziale czasu [0, T ] pojawiają się nie- zależnie od siebie zdarzenia X i Y . Zdarzenia te uważamy za pokrywające się, jeżeli
−a ¬ tx− ty ¬ b, a > 0, b > 0. Oblicz prawdopodobieństwo, że 1. zdarzenie X pojawi się wcześniej niż Y ,
2. zdarzenia X i Y pokrywają się.
Ćw. 2.3 Z przedziału (0, 1) wybrano losowo dwa punkty x, y. Wyznaczyć prawdopodo- bieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że xy 2.
Ćw. 2.4 Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania kwadratowego
x2+ 2ax + b = 0
są rzeczywiste, jeśli współczynniki a i b mogą przyjmować z jednakowym prawdopo- dobieństwem każdą z wartości −k ¬ a ¬ k, −l ¬ b ¬ l.
Ćw. 2.5 Na odcinku wybrano losowo dwa punkty, które dzielą go na trzy części. Jakie jest prawdopodobieństwo, że można z nich zbudować trójkąt?
Ćw. 2.6 Na odcinku AB o długości 1 umieszczono losowo dwa punkty L i M . Wyznacz prawdopodobieństwo, że z L jest bliżej do M niż do A.
Ćw. 2.7 Na parkiet utworzony z jednakowych trójkątów równobocznych o boku a rzucono monetę o promieniu r, r < a√
3/6. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że moneta nie przetnie obwodu żadnego z trójkątów.
Ćw. 2.8 Płaszczyzna jest pokryta prostokątami o bokach a, b. Rzucamy na nią igłę o dłu- gości l, l < min{a, b}. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że igła nie przetnie żadnego z boków tych prostokątów.
