I. Wst¦pne ogólne de nicje i konwencje
Rozwa»amy nast¦puj¡c¡ sytuacj¦: po»yczkodawca po»ycza kwot¦ K po»yczkobiorcy, który spªaca ten dªug w N ratach spªacanych w równych odst¦pach czasowych. Ta sytuacja speªnia zaªo»enia strumienia pªatno±ci. Tak naprawd¦, mo»na rozwa»a¢ spªat¦
dªugu jako inwestycj¦ z punktu widzenia po»yczkodawcy, który inwestuje kwot¦ K by otrzymywa¢ rent¦ w postaci rat spªaty dªugu.
Ze wzgl¦du na ró»ne modele spªacania, tradycyjne oznaczenia i wzory b¦d¡ nieco inne ni» w wypadku rent, ale idea pozostanie taka sama.
W zadaniach zwi¡zanych z dªugami istotne b¦d¡ nast¦puj¡ce wielko±ci i oznaczenia:
• Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS.
Jak zwykle, zakªadamy przy dalszych wzorach, »e OS = OK. Je±li tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomoc¡ stopy wzgl¦dnej. Je±li jest to stopa zgodna, reprezentuje zwrot z inwestycji, jak¡ dla po»yczkodawcy byªo po»yczenie danej kwoty (wi¦c mo»na j¡ porównywa¢ ze stopami zwrotu o tym samym okresie dla innych inwestycji).
• Okres pªatno±ci OP jest to odst¦p czasowy pomi¦dzy kolejnymi wpªatami. Jest to domy±lna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba pªatno±ci.
• K = K0 oznacza pocz¡tkow¡ wielko±¢ dªugu. Przez Ki oznaczamy dªug bie»¡cy, czyli ile dªugu zostaªo do spªacenia po i-tym okresie pªatno±ci (zatem KN = 0).
• Rj oznacza wysoko±¢ ª¡cznej (caªkowitej) j-ej raty spªaty dªugu.
• Ij oznacza wysoko±¢ cz¦±ci odsetkowej j-ej raty spªaty dªugu.
• Uj oznacza wysoko±¢ cz¦±ci kapitaªowej j-ej raty spªaty dªugu.
Oznaczenia, które wprowadziªem oparte s¡ na ksi¡»ce Matematyka nansowa M. Pod- górskiej i J.Klimkowskiej.
Uzywany przez nas model bardzo ªatwo mo»na uogólni¢ na spªaty w nieregularnych od- st¦py czasu - wystarczy ustali¢ OP jako wspólny dzielnik odst¦pów mi¦dzy pªatno±ciami i ustali¢ cz¦±¢ rat na 0. Np. je±li dªug jest spªacany w 3 ratach: pierwsza za kwartaª, druga za 7 miesi¦cy, a trzecia za rok, to wystarczy rozwa»y¢ spªat¦ tego dªugu w N = 12 miesi¦cznych ratach, przy czym dla i 6= 3, 7, 12 zachodzi Ri = 0.
Przy okazji rent, zawsze mieli±my dwie mo»liwo±ci: mogªy by¢ ona wypªacane z góry i z doªu. Jednak»e, wyró»nianie mo»liwo±ci spªaty dªugu z góry nie ma wielkiego sensu. Je±li dªug w wysoko±ci K byªby spªacany z góry w N ratach i pierwsza rata wynosiªaby R0, musiaªaby ona by¢ spªacona natychmiast, co byªoby równowa»ne sytuacji spªacania dªugu K − R0 w N − 1 ratach z doªu (pierwsz¡ rat¦ po prostu traktujemy jako zmniejszenie kwoty po»yczki). Dlatego b¦dziemy zawsze zakªada¢, »e dªug jest spªacany w ratach z doªu. Tak jak generalnie w wypadku rent, zakªadamy zªo»ony model kapitalizacji pªatno±ci w podokresach okresu kapitalizacji. W praktyce oznacza to, »e zawsze mo»emy (i wªa±ciwie musimy) dopasowa¢ okres kapitalizacji do okresu pªatno±ci za pomoc¡ stopy efektywnej.
W zadaniach ze spªaty dªugu pomijamy wszelkie niematematyczne (najcz¦±ciej prawne) komplikacje: w rzeczywistych sytuacjach spªaty dªugu mog¡ si¦ pojawi¢ opªaty dodat- kowe typu prowizja, opªaty manipulacyjne. W naszym modelu byªyby one po prostu doliczone do odpowiednich rat dªugu i ró»nica pomi¦dzy pªaceniem np. raty+prowizji, a zwi¦kszonej raty jest matematycznie nieistotna. Podobnie fakt, »e wedªug wielu umów pocz¡tkowe raty liczy si¦ jako spªat¦ odsetek, a dopiero potem nast¦puje spªata kapitaªu, w »aden sposób nie wpªywa na obliczanie wysoko±ci rat - co najwy»ej na sposób ich dekompozycji.
Tak jak zawsze, zakªadamy, »e wypªaty rat dokonywane s¡ okresowo co okres OP, z doªu, przy zªo»onym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (je±li by tak nie byªo, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomoc¡ stopy wzgl¦dnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmian¦
1
dªugo±ci okresu kapitalizacji stopy r. By móc to uczyni¢ zmieniamy stop¦ r na stop¦ ref, tak¡, »e OSef = OKef = OP, takim samym wzorem jak zwykle. We wzorach b¦dziemy cz¦±ciej u»ywa¢ czynnika akumulacji q = 1 + ref.
II. Dekompozycja raty dªugu
Kapitaª po»yczony K i spªacone raty s¡ sobie równowa»ne (w sensie równej warto±ci po zaktualizowaniu na ten sam moment). Dlatego musi zachodzi¢ równo±¢:
K =
N
X
j=1
Rjq−j, albo, po zaktualizowaniu na moment m:
Kqm =
N
X
j=1
Rjqm−j =
m
X
j=1
Rjqm−j +
N
X
j=m+1
Rjqm−j.
To równanie pozwala nam rozdzieli¢ dªug na cz¦±¢ ju» spªacon¡ i cz¦±¢, któr¡ trzeba jeszcze spªaci¢ (czyli dªug bie»¡cy Km) w momencie m. Wynika z niego, »e zachodzi:
Twierdzenie 1 (Dªug bie»¡cy, dowolne raty).
Km =
N
X
j=m+1
Rjqm−j = Kqm−
m
X
j=1
Rjqm−j.
Tak¡ wªa±nie kwot¦ powinien spªaci¢ dªu»nik, gdyby chciaª spªaci¢ reszt¦ dªugu w mo- mencie m (oczywi±cie, za zgod¡ wierzyciela).
Oczywi±cie, KN = 0 (bo spªacanie dªugu si¦ ko«czy, gdy nie ma ju» co spªaca¢), wi¦c mo»na sformuªowa¢:
Twierdzenie 2 (Równanie ko«ca dªugu, dowolne raty).
KqN =
N
X
j=1
RjqN −j.
Dla ka»dej raty mo»emy wykona¢ dekompozycj¦ raty ª¡cznej Rm na dwie cz¦±ci: Um, czyli cz¦±¢ wyj±ciowego kapitaªu, któr¡ spªacamy w m-tej racie (i o któr¡ zmniejszy si¦
dªug bie»¡cy) oraz Im = rKm−1 - czyli odsetki, które narastaj¡ od bie»¡cego kapitaªu w m-tym okresie pªatno±ci.
De nicja 1. Dekompozycja raty ª¡cznej Rat¦ ª¡czn¡ Rm mo»na zapisa¢ w postaci:
Rm = (Km−1− Km) + rKm−1 = Um+ Im.
Um nazywamy cz¦±ci¡ kapitaªow¡, a Im - cz¦±ci¡ odsetkow¡ m-tej raty.
III. Wzory - dowolna spªata dªugu
Poni»ej podsumuj¦ wzory, które s¡ prawdziwe dla dowolnego zagadnienia spªaty dªugu, niezale»nie od dodatkowych zaªo»e«:
Twierdzenie 3 (Wzory, dowolna spªata dªugu).
Km =
N
X
j=m+1
Rjqm−j = Kqm−
m
X
j=1
Rjqm−j; KN = 0;
Rm = Um+ Im; Im = Km−1r; Um = Km−1− Km; Km = Km−1− Um;
N
X
j=1
Uj = K; Km = K −
m
X
j=1
Uj.
Komentarz do przedstawionych równo±ci:
N
X
j=1
Uj = K.
Wielokrotnie mówiªem, »e nie wolno wykonywa¢ dziaªa« na kapitaªach, które znajduj¡
si¦ w ró»nych momentach czasowych. Czy zatem dodawanie po lewej stronie ma sens?
W tym wyj¡tkowym wypadku, tak. Wynika to z natury Um: jest to ta cz¦±¢ dªugu pocz¡tkowego K, która jest spªacana w ramach raty Rm. Skoro warto±¢ K odnosi si¦
do momentu 0, warto±¢ Um, dla ka»dego m, równie». Tak wi¦c, ostatecznie dodajemy kapitaªy z tego samego momentu czasowego. Oczywi±cie, nie ma sensu w ten sposób (bez aktualizacji) sumowa¢ rat ª¡cznych lub cz¦±ci odsetkowych.
Im = Km−1r = Rm− Um.
Mo»emy interpretowa¢ cz¦±ci odsetkowe jako odsetki naliczane od dªugu bie»¡cego, na- le»ne za m-ty okres. Zatem to, czy bie»¡cy dªug pozostaªy do spªacenia ro±nie, maleje, czy pozostaje taki sam po spªaceniu danej raty, zale»y od wielko±ci raty ª¡cznej w sto- sunku do cz¦±ci odsetkowej. Je±li Rm < Im, to pozostaªy do spªacenia dªug ro±nie (tzw.
ujemne umorzenie) - w przeciwnym wypadku, maleje.
Chciaªbym jeszcze zwróci¢ uwag¦ na subtelne rozró»nienie: cz¦±¢ odsetkowa Im jest zde-
niowana jako odsetki nale»ne za m-ty okres, a nie jako warto±¢ odsetek spªacanych w tym czasie. Powody takiego rozró»nienia s¡ dwa:
• Czasem Rj < Ij, co oznacza, »e nie caªa cz¦±¢ odsetkowa jest wtedy spªacana.
• Mo»na si¦ umawia¢ np. »e niektóre raty s¡ w caªo±ci przeznaczane na spªat¦
odsetek (dªug bie»¡cy si¦ nie zmienia, ale odsetki w innych ratach spadaj¡), a inne na spªat¦ kapitaªu (dªug bie»¡cy spada bardziej ni» to wynika z warto±ci Um, ale za to dopisywane s¡ odsetki). Cz¦sto w umowach banki zastrzegaj¡,
»e pierwsze raty spªaty dªugu odpowiadaj¡ za spªat¦ samych odsetek, a potem dopiero jest spªacany kapitaª. Jest to tylko obostrzenie prawne, nie ma wpªywu na matematyczne techniki obliczania wysoko±ci rat.
Odpowiedzi do wi¦kszo±ci zada« zwi¡zanych z dªugami dªugoterminowymi b¦dziemy za- pisywa¢ w postaci tabeli spªaty dªugu. Taki lub podobny schemat jest zazwyczaj doª¡czany do wszelkich umów prawnych zwi¡zanych z po»yczkami. Na potrzeby tego kursu tabel¦ konstruujemy nast¦puj¡co:
n Kn−1 Rn In Un Kn
1 K
. . .2 . . . .
Prawdziwe tabele mog¡ odrobin¦ si¦ ró»ni¢ od tej np. brakuje czasem drugiej lub ostatniej kolumny, a kolumny 3-5 s¡ zapisywane w ró»nej kolejno±ci.
Dotychczas podane równani i znajomo±¢ stopy procentowej nie wystarcza do wypeªnie- nia wszystkich pól tabeli spªaty dªugu. Potrzebne s¡ dodatkowe dane np. w poprzednim przykªadzie podane warto±ci niektórych rat. Najcz¦±ciej dodatkow¡ informacj¡, wystar- czaj¡c¡ do uzupeªnienia tabeli jest model spªaty dªugu. W ramach kursu szczegóªowo omówimy dwa takie modele regularne, czyli oparte na pewnych regularno±ciach w wyso- ko±ci rat:
• Model równych rat ª¡cznych.
• Model równych rat kapitaªowych.
Inne wspóªcze±nie stosowane regularne modele krótko omówimy pó¹niej.
IV. Równe raty ª¡czne
Model równych rat ª¡cznych jest chyba najcz¦±ciej stosowanym obecnie modelem spªaty dªugu, zwªaszcza po»yczek bankowych. Zaªo»eniem tego modelu jest równo±¢ wszystkich rat ª¡cznych:
R1 = R2 = . . . = RN = R.
W tej sytuacji, z punktu widzenia po»yczkodawcy, spªata dªugu niczym si¦ matematycznie nie ró»ni od renty czasowej o N ratach w wysoko±ci R wypªacanej z doªu z kapitaªu K.
Dlatego dziaªaj¡ wszystkie wzory z teorii rent, w szczególno±ci równanie ko«ca renty z doªu:
KqN = RqN − 1 q − 1 .
Poza wzorami z cz¦±ci III, model rat ª¡cznych gwarantuje nam dziaªanie poni»szych wzorów:
Twierdzenie 4 (Dodatkowe wzory, równe raty ª¡czne).
R = KqN q − 1 qN − 1, Km = Kqm− Rqm− 1
q − 1 .
Wraz z wcze±niejszymi, te wzory wystarczaj¡ by uzupeªni¢ dowoln¡ tabel¦ spªaty dªugu spªacanego wedªug modelu równych rat ª¡cznych.
Je±li wszystkie raty ª¡czne spªaty dªugu sa równe to:
• Cz¦±ci kapitaªowe tych rat s¡ coraz wi¦ksze, a ich wzrost jest geometryczny (z ilorazem q);
• Cz¦±ci odsetkowe tych rat s¡ coraz mniejsze;
• Dªug bie»¡cy maleje w sposób wkl¦sªy (czyli najpierw wzgl¦dnie wolno a potem coraz szybciej z ka»d¡ rat¡).
V. Równe raty kapitaªowe
Model równych rat kapitaªowych (precyzyjniej: równych cz¦±ci kapitaªowych rat) jest innym do±¢ cz¦sto stosowanym obecnie modelem spªaty dªugu. Jak sama nazwa wskazuje, zaªo»eniem tego modelu jest równo±¢ cz¦±ci kapitaªowych wszystkich rat:
U1 = U2 = . . . = UN = U.
Poza wzorami z cz¦±ci III, model rat kapitaªowych gwarantuje nam dziaªanie poni»szych wzorów:
Twierdzenie 5 (Dodatkowe wzory, równe raty kapitaªowe).
U = K N, Km = K − mU.
Wraz z wcze±niejszymi, te wzory wystarczaj¡ by uzupeªni¢ dowoln¡ tabel¦ spªaty dªugu spªacanego wedªug modelu równych rat kapitaªowych.
Je±li cz¦±ci kapitaªowe wszystkich rat spªaty dªugu sa równe to:
• Wielko±¢ rat ª¡cznych maleje liniowo, tworz¡c ci¡g arytmetyczny o ró»nicy (−Ur);
• Cz¦±ci odsetkowe tych rat malej¡ liniowo, tworz¡c ci¡g arytmetyczny o ró»nicy (−U r);
• Dªug bie»¡cy maleje liniowo, tworz¡c ci¡g arytmetyczny o ró»nicy (−U).
VI. Restrukturyzacja zadªu»enia, inne modele spªaty dªugu i uwagi ko«cowe Nie zawsze caªy dªug jest spªacany wedªug tych samych zasad. Zasady spªacania mog¡
by¢ renegocjowane (najcz¦±ciej w wyniku zmian wska¹ników gospodarczych zastrze»onych w umowie lub te» utraty pªynno±ci nansowej przez dªu»nika). Z tego typu zadaniami radzimy sobie dziel¡c je na cz¦±ci i w ka»dej z osobna stosuj¡c znane zasady. Pami¦tamy te», »e w okresach, kiedy dªug nie jest spªacany z winy dªu»nika, odsetki nadal narastaj¡
(wi¦c warto±¢ dªugu bie»¡cego si¦ zmienia) wedªug dotychczas ustalonych zasad.
Model równych rat ª¡cznych i równych rat kapitaªowych b¦d¡ jedynymi regularnymi mo- delami spªaty obowi¡zuj¡cymi w ramach tego kursu. Niemniej, warto mie¢ ±wiadomo±¢,
»e istniej¡ te» inne regularne modele spªat, na przykªad:
• Model spªaty odsetek w jednej racie przy staªych ratach kapitaªowych - dziaªa podobnie do modelu spªat w równych ratach kapitaªowych, ale z t¡ ró»nic¡, »e wszystkie raty odsetkowe poza ostatni¡ s¡ zerowe - wi¦c w ostatniej racie spªacamy dodatkowo caªo±¢ zaktualizowanych odsetek.
• Model spªaty kapitaªu w jednej racie - dziaªa dokªadnie odwrotnie: w ka»dej racie spªacamy tylko bie»¡ce odsetki (Im = Kr), a dopiero w ostatniej racie spªacamy caªy kapitaª (UN = K).
Tak jak przy innych rentach, mo»e pojawi¢ si¦ zagadnienie wysoko±ci ostatniej raty, je±li próbujemy dªug wysoko±ci K spªaci¢ ratami o danej wysoko±ci R. Zagadnienie rozwi¡- zujemy tak samo, jak w teorii rent: rozwi¡zuj¡c równanie ko«ca renty, obliczaj¡c bie»¡cy dªug po ostatniej racie w wysoko±ci R i rozpatruj¡c wariant ostatniej raty zwi¦kszonej lub zmniejszonej dla rent z doªu.
We wszystkich zadaniach zakªadali±my, »e dªu»nik otrzymaª caªy po»yczony kapitaª w momencie 0. Nie musi to by¢ prawda - po»yczka mogªa by¢ podzielona na kilka rat, które dªu»nik otrzymywaª w ró»nych momentach czasowych. Nie psuje to jednak w »aden sposób naszych metod rozwi¡zywania problemu - wystarczy zaktualizowa¢ te wszystkie skªadniki po»yczki na moment 0 i zsumowa¢, by otrzyma¢ równowa»ne zagadnienie speª- niaj¡ce nasze zaªo»enie jednorazowej po»yczki.
Jak wspominaªem na pocz¡tku tego zestawu slajdów, tak samo jak dla rent, je±li OP = OK = OS to r mo»na interpretowa¢ jako wewn¦trzn¡ stop¦ zwrotu inwestycji dokonanej przez po»yczkodawc¦, który kapitaª K zamieniª na rent¦ czasow¡ w postaci rat spªaty dªugu.
Tak jak przy innych rentach, próba obliczenia r (czyli IRR) z pozostaªych danych w równaniach dªugu prowadzi do konieczno±ci rozwi¡zywania równa« wielomianowych n- tego stopnia. Takie zagadnienia rozwi¡zuje si¦ w sposób przybli»ony (jak w prezentacji 3b).
