• Nie Znaleziono Wyników

1. Udowodni¢, »e je±li (A, +) jest grup¡ przemienn¡ i m ∈ Z, to funkcja f : A → A, f (a) = ma

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share "1. Udowodni¢, »e je±li (A, +) jest grup¡ przemienn¡ i m ∈ Z, to funkcja f : A → A, f (a) = ma"

Copied!
1
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 1 Stron )

Pełen tekst

(1)

ALGEBRA 1B, Lista 3

Niech G b¦dzie grup¡ i n ∈ N

>0

.

1. Udowodni¢, »e je±li (A, +) jest grup¡ przemienn¡ i m ∈ Z, to funkcja f : A → A, f (a) = ma

jest homomorzmem.

2. Udowodni¢, »e je±li n = |G| ∈ {1, 2, 3}, to G ∼ = Z

n

. 3. Poda¢ przykªad G dla której funkcja

f : G → G, f (g) = g

2

nie jest homomorzmem.

4. Niech g ∈ G. Przyjmijmy, »e min ∅ = ∞. Udowodni¢, »e:

rz¡d(g) = min{n ∈ N

>0

| g

n

= 1}.

5. Udowodni¢, »e je±li G jest cykliczna, to istnieje m ∈ N

>0

takie, »e G ∼ = Z lub G ∼ = Z

m

.

6. Udowodni¢, »e je±li f : G → H jest monomorzmem, to dla ka»dego g ∈ G mamy

rz¡d(g) = rz¡d(f(g)).

7. Pokaza¢, »e nie istnieje monomorzm (Z

3

, +

3

) → (R \ {0}, ·) . 8. Udowodni¢, »e D

6

 A

4

.

9. Znale¹¢ monomorzm (Z

n

, +

n

) → (C \ {0}, ·) . 10. Znale¹¢ monomorzm f : S

n

→ GL

n

(Q) .

11. Udowodni¢, »e (Q, +) nie jest sko«czenie generowana.

12. Udowodni¢, »e je±li σ, τ ∈ S

n

s¡ rozª¡czne, to σ ◦ τ = τ ◦ σ.

13. Sformuªowa¢ i udowodni¢ twierdzenie o jednoznaczno±ci rozkªadu per- mutacji na iloczyn cykli rozª¡cznych.

14. Niech σ, τ ∈ S

n

, gdzie τ jest transpozycj¡. Udowodni¢, »e σ jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy τ ◦ σ jest nieparzysta.

1

Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 1 Stron - 58.82 KB )

Powiązane dokumenty

Dowieść, że, (a) Z a −a f (x) dx = 0, gdy f jest funkcja nieparzyst, a;, (b) Z a −a f (x) dx = 2 Z a 0 f (x) dx, gdy f jest funkcja parzyst, a., Skorzystać z tych faktów przy obliczaniu całek (a) Z 1 −1 ln 4 2 + x5 − 1 dx

Załóżmy, że funkcja f jest wypukła i ci agła na przedziale domkni , etym

Wówczas (a) je»eli funkcja g ◦ f jest ró»nowarto±ciowa, to funkcja f jest ró»nowar- to±ciowa, (b) je»eli funkcja g ◦ f jest ró»nowarto±ciowa, to funkcja g jest ró»nowar- to±ciowa

W ka»dym podpunkcie w poni»szych pytaniach prosimy udzieli¢ odpowiedzi TAK lub NIE, zaznaczaj¡c j¡ na zaª¡czonym arkuszu odpowiedzi.. Ka»da kombinacja odpowiedzi TAK lub NIE w

(a) Zaªó»my, »e a ∈ G i aa = a. Udowodni¢, »e a = e.

Pi¦tnastka to nast¦puj¡ca ukªadanka: w ramce z miejscami na 16 kostek umieszczone jest 15 kostek z liczbami od 1 do 15, jedno miejsce pozostaje wolne.. W pojedynczym ruchu

2. Niech a ∈ R. Udowodni¢, »e a jest nierozkªadalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego b ∈ R, je±li b|a, to b ∼ a lub b ∈ R

Znale¹¢ wªa±ciwy ideaª pierwszy Z[X], który nie jest

3. Niech (A, +) b¦dzie grup¡ przemienn¡. Udowodni¢, »e poni»szy wzór

[r]

2. Niech X, Y b¦d¡ zbiorami. Udowodni¢, »e je±li |X| = |Y |, to F

Udowodni¢, »e RJXK z dziaªaniami podanymi na wykªadzie jest pier±- cieniem przemiennym z 1.. Udowodni¢, »e R[X] jest

1. Zaªó»my, »e R jest UFD i niech f, g ∈ R[X]. Udowodni¢, »e je±li cont(f ) = 1 = cont(g) , to cont(fg) = 1.

[r]

1. Niech f ∈ K[X] \ K i n = deg(f). Udowodni¢, »e dim

Udowodni¢, »e z jest liczb¡ algebraiczn¡ wtedy i tylko wtedy, gdy ¯z (liczba sprz¦»ona) jest liczb¡