GAL (I INF)
Zadania domowe 2 Uwaga: Ka˙zde zadanie warte jest tyle samo punkt´ow
1. Przedstaw wielomian p(x) = x
4+ x
2+ 1 w postaci iloczynu wielomian´ow jak naj- mniejszego stopnia, o wsp´o lczynnikach rzeczywistych.
2. ´ Sladem macierzy kwadratowej A = (a
i,j) ∈ K
n,n, nazywamy sum e jej element´ow na
,g l´ownej diagonali, tzn.
trace(A) = X
nj=1
a
j,j.
Wyka˙z, ˙ze dla dowolnych macierzy A, B ∈ K
m,nmacierze A ∗ B
Ti A
T∗ B s a kwa-
,dratowe oraz
trace(A ∗ B
T) = trace(A
T∗ B).
3. Dla macierzy kwadratowej A = (a
i,j) ∈ C
n,n, gdzie a
n,1= 1, a
i,i+1= 1, 1 ≤ i ≤ n−1, oraz a
i,j= 0 dla pozosta lych i, j, oblicz A
kdla k = 1, 2, . . ..
4. Dla danych naturalnych n
0, n
1, . . . , n
k, niech macierze A
(i)=
a
(i)ji−1,ji∈ K
ni−1,ni, 1 ≤ i ≤ k.
Wyka˙z, ˙ze je´sli A = (a
j0,jk) ∈ K
n0,nkjest iloczynem, A = A
(1)∗ A
(2)∗ · · · ∗ A
(k), to
a
j0,jk=
n1
X
j1=1 n2
X
j2=1
· · ·
n
X
k−1jk−1
a
(1)j0,j1a
(2)j1,j2· · · a
(k)jk−1,jk1 ≤ j
0≤ n
0, 1 ≤ j
k≤ n
k.
1
