29 września 2020
Zadania z kombinatoryki, lista nr 1
1. W sklepie dolarowym każdy z k oferowanych artykułów kosztuje dolara. Na ile sposobów może zrobić zakupy klient dysponujący m dolarami (nie musi wydać wszystkiego)?
2. Z grupy n mężczyzn i n kobiet wybieramy podzbiór liczący tyle samo kobiet i mężczyzn. Następnie w podzbiorze wybieramy przywódcę mężczyzn spośród mężczyzn i przywódcę kobiet spośród kobiet.
Rozważając liczbę sposobów na jakie można to uczynić pokaż, że
12n 1
2
+ 22n 2
2
+ · · · + n2n n
2
= n22n − 2 n − 1
3. Rozważając kolorowania k spośród n kulek dwoma kolorami pokaż, że
n 0
n k
+n
1
n − 1 k − 1
+ · · · +n k
n − k 0
= 2kn k
4. W koło wpisano n-kąt tak, że żadne trzy jego przekątne nie przecinają się w jednym punkcie wewnątrz koła. Pokaż, że przekątne i boki n-kąta dzielą koło na
n 4
+n
2
+ 1 obszarów.
5. Niech xk = xk/k!. Udowodnij wzory
(a) X
k:k≤m
x k
x 2 − k
=m + 1 2
x m + 1
(b) X
k
(−1)k a + b a + k
b + a b + k
= (a + b)!
a!b!
(c) X
k
(−1)k a + b a + k
b + c b + k
c + a c + k
= (a + b + c)!
a!b!c!
(d) X
k
n k
(−1)k
x + k = n!
x(x + 1) · · · (x + n) 6. Wylicz wartość sum
(a) X
k
n k
k
(b) X
k≥0
1 k + 1
n k
7. Udowodnij następujące tożsamości:
(a)
n
X
k=1
k2n k
= n(n + 1)2n−2
(b)
n
X
k=1
(−1)k+1 k
n k
=
n
X
k=1
1 k
(c)
n
X
k=0
(−1)k
x n − k
y + k k
=x − y − 1 n
(d)
n
X
k=0
(−1)kx k
=n − x n
= (−1)nx − 1 n
=
n
Y
k=1
1 − x
k
(e)
n
X
k=0
(−1)k
n k
x k
y k
=
y−x n
y n
(f)
n
X
k=0
(−1)k
n k
x+k k
= x x + n
