Wzory na egzamin z matematyki dyskretnej Potęga ubywająca nk = n(n − 1)(n − 2) · . . . · (n − k + 1)
| {z }
k czynników
= (n−k)!n! .
Potęga przyrastająca nk = n · (n + 1) · . . . · (n + k − 2) · (n + k − 1)
| {z }
k czynników
.
Liczby Fibonacciego FIB(n) =
0 dla n = 0, 1 dla n = 1,
FIB(n − 1) + FIB(n − 2) dla n 2 .
Liczby Stirlinga I rodzaju (opisują liczbę różnych rozmieszczeń n liczb w k cyklach), wzór rekurencyjny
n k
=
n − 1 k − 1
+ (n − 1) ·
n − 1 k
.
Liczby Stirlinga II rodzaju (opisują liczbę sposobów podziału zbioru n elemen- towego na k niepustych podzbiorów, których kolejność nie jest istotna), wzór rekurencyjny
{nk} =
0, dla (n 1 ∧ k = 0) ∨ k > n 1, dla (n 1 ∧ k = 1) ∨ k = n
{n−1k−1} + k · {n−1k } w pozostałych przypadkach Zliczanie funkcji. Niech kXk = k, kY k = n.
Liczba różnych funkcji f : X → Y jest równa nk.
Liczba injekcji f : X → Y (tu: 0 < k ¬ n) jest równa nk dla 0 < k ¬ n.
Liczba wszystkich bijekcji f : X → Y (tu: n = k) jest równa n!.
Liczba wszystkich surjekcji f : X → Y (tu: k n) jest równa {kn} · n!.
Liczba permutacji z powtórzeniami zbioru X = {a1, a2, . . . , ar}, w której elementy a1, a2, . . . , ar powtarzają się, odpowiednio, n1, n2, . . . , nr razy (n = n1 + n2 + · · · + nr), jest równa n n!
1!·n2!·...·nr!.
Liczba kombinacji k elementów ze zbioru n-elementowego, gdy 0 ¬ k ¬ n (liczba różnych wyborów k elementów ze zbioru n-elementowego) jest równa
n k
= k!(n−k)!n! .
1
2
Liczba kombinacji z powtórzeniami k elementów ze zbioru n-elementowego (liczba różnych k-elementowych kolekcji złożonych z elementów zbioru
n-elementowego) jest równa n+k−1k .
Liczba wariacji z n po k jest równa nk· k! = (n−k)!n! .
Liczba rozwiązań równania liniowego x1+ x2+ · · · + xk−1+ xk = n w zbiorze N+ jest równa n−1k−1 (tu: k ¬ n).
Liczba rozwiązań równania liniowego x1+ x2+ · · · + xk−1+ xk = n w zbiorze N jest równa
n+k−1 k−1
.
Twierdzenie. Niech G będzie k-elementową grupą permutacji n-elementowego zbioru X. Każdą permutację rozkładamy na rozłączne cykle. Oznaczmy przez k1 liczbę permutacji o jednym cyklu, przez k2 liczbę permutacji o dwóch cy- klach, ..., przez kn liczbę permutacji o n cyklach. Wtedy liczba istotnie różnych (ze względu na grupę G) kolorowań zbioru X przy użyciu m kolorów wynosi:
1
k ·k1 · m1 + k2 · m2 + · · · + kn · mn.
Twierdzenie Polya. Załóżmy, że X jest n-elementowym zbiorem oraz G jest grupą permutacji zbioru X. Ponadto, niech K będzie zbiorem kolorowań zbioru X za pomocą m kolorów oraz niech wielomian PG(x1, x2, . . . , xn) będzie indeksem cyklowym grupy G. Wtedy:
(1) liczba kolorowań zbioru X (rozróżnialnych ze względu na grupę G) jest równa PG(m, m, ..., m);
(2) liczba kolorowań (rozróżnialnych ze względu na grupę G), w których kolor 1 występuje k1 razy, kolor 2 występuje k2 razy, ..., kolor m wystę- puje km razy (k1 + k2+ · · · + km = n), jest równa współczynnikowi przy wyrazie w1k1wk22. . . wkmm w wielomianie
W (w1, w2, . . . , wm) = PG
m X i=1
wi,
m X i=1
wi2, . . . ,
m X i=1
wni
.
Chińskie Twierdzenie o Resztach. Jeśli N W D(m, n) = 1, to układ kon- gruencji
x ≡m a
x ≡n b ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo mn.
