Hamiltonian układu liniowego

Funkcje falowe układów liniowych

Tomasz Sowi ´nski

23 lutego 2005

Hamiltonian układu liniowego

DEF. UKŁAD LINIOWY - układ hamiltonowski, którego kanoniczne

równania ruchu s ˛ a liniowe o stałych współczynnikach (ew. niejednorodne)

Hamiltonian układu liniowego H = 1

2m π · ˆ T ·π + ρ· ˆ Q·π + m

2 ρ· ˆ G·ρ + m f (t)·ρ + 1

m h(t)·π

Macierz ˆ T jest dodatniookre´slona. Istnieje zatem taka macierz ˆ O , ˙ze zachodzi:

O ˆ

· ˆ T · ˆ O = ˆ I

Wykonujemy transformacj˛e kanoniczn ˛ a

π ⁰ = ˆ O ⁻¹ ·π ρ ⁰ = ˆ O

·ρ

Hamiltonian układu liniowego

DEF. UKŁAD LINIOWY - układ hamiltonowski, którego kanoniczne

równania ruchu s ˛ a liniowe o stałych współczynnikach (ew. niejednorodne)

Hamiltonian układu liniowego H = 1

2m π · ˆ T ·π + ρ· ˆ Q·π + m

2 ρ· ˆ G·ρ + m f (t)·ρ + 1

m h(t)·π

Macierz ˆ T jest dodatniookre´slona. Istnieje zatem taka macierz ˆ O , ˙ze zachodzi:

O ˆ

· ˆ T · ˆ O = ˆ I

Wykonujemy transformacj˛e kanoniczn ˛ a

0 = ˆ O ⁻¹ ·π ⁰ = ˆ O

·ρ

Hamiltonian układu liniowego

Hamiltonian w nowych zmiennych H = 1

2m π ⁰² + ρ ⁰ · ˆ W ·π ⁰ + m

2 ρ ⁰ · ˆ U·ρ ⁰ + m f ⁰ (t)·ρ ⁰ + 1

m h ⁰ (t)·π ⁰ Kolejn ˛ a transformacj ˛ a kanoniczn ˛ a usuwamy jedn ˛ a

niejednorodno´s´c

R = ρ ⁰ P = π ⁰ + h ⁰ (t) to prowadzi do hamiltonianu:

H = 1

2m P ² + R· ˆ W ·P + m

2 R· ˆ U ·R + mg(t)·R − h ⁰²

2m

Hamiltonian układu liniowego

Hamiltonian w nowych zmiennych H = 1

2m π ⁰² + ρ ⁰ · ˆ W ·π ⁰ + m

2 ρ ⁰ · ˆ U·ρ ⁰ + m f ⁰ (t)·ρ ⁰ + 1

m h ⁰ (t)·π ⁰ Kolejn ˛ a transformacj ˛ a kanoniczn ˛ a usuwamy jedn ˛ a

niejednorodno´s´c

R = ρ ⁰ P = π ⁰ + h ⁰ (t) to prowadzi do hamiltonianu:

H = 1

2m P ² + R· ˆ W ·P + m

2 R· ˆ U ·R + mg(t)·R − h ⁰²

2m

Hamiltonian układu liniowego

Hamiltonian w nowych zmiennych H = 1

2m π ⁰² + ρ ⁰ · ˆ W ·π ⁰ + m

2 ρ ⁰ · ˆ U·ρ ⁰ + m f ⁰ (t)·ρ ⁰ + 1

m h ⁰ (t)·π ⁰ Kolejn ˛ a transformacj ˛ a kanoniczn ˛ a usuwamy jedn ˛ a

niejednorodno´s´c

R = ρ ⁰ P = π ⁰ + h ⁰ (t) to prowadzi do hamiltonianu:

H = 1

2m P ² + R· ˆ W ·P + m

2 R· ˆ U ·R + mg(t)·R − h ⁰²

2m

Hamiltonian układu liniowego

H = 1

2m P ² + R· ˆ W ·P + m

2 R· ˆ U ·R + mg(t)·R − h ⁰² 2m

Dzielimy człon mieszany na symetryczny i antysymetryczny:

Ω = ˆ 1

2  ˆ W − ˆ W



S ˆ = 1

2  ˆ W + ˆ W



Wykonujemy transformacje kanoniczn ˛ a r = R p = P + m ˆ S ·R Otrzymujemy hamiltonian

H = p ²

2m + r· ˆ Ω·p + m

2 r· ˆ V ·r + mg(t)·r

V ˆ = ˆ U − ˆ S ² − h ˆ Ω, ˆ S i

Hamiltonian układu liniowego

H = 1

2m P ² + R· ˆ W ·P + m

2 R· ˆ U ·R + mg(t)·R − h ⁰² 2m

Dzielimy człon mieszany na symetryczny i antysymetryczny:

Ω = ˆ 1

2  ˆ W − ˆ W



S ˆ = 1

2  ˆ W + ˆ W



Wykonujemy transformacje kanoniczn ˛ a r = R p = P + m ˆ S ·R Otrzymujemy hamiltonian

H = p ²

2m + r· ˆ Ω·p + m

2 r· ˆ V ·r + mg(t)·r

V ˆ = ˆ U − ˆ S ² − h ˆ Ω, ˆ S i

Klasyczna analiza ruchu

H = p ²

2m + r· ˆ Ω·p + m

2 r· ˆ V ·r + mg(t)·r Równania ruchu

d r

d t = p

m − ˆ Ω·r

d p

d t = −m ˆ V ·r − ˆ Ω·p − mg(t)

Rozwi ˛ aza´n równania jednorodnego poszukujemy w postaci modów własnych

r(t) = R ₀ e ^iωt

p (t) = P ₀ e ^iωt

Klasyczna analiza ruchu

Amplituda danego modu musi spełnia´c równanie własne:

− ˆ Ω − iω _m ¹

− m ˆ V − ˆ Ω − iω

!

· R ₀ P ₀

!

= 0

cz˛esto´s´c własna jest miejscem zerowym wielomianu charakterystycznego

ω ²ⁿ + A _2n−1 ω ²ⁿ⁻¹ + A _2n−2 ω ²ⁿ⁻² + ... + A ₂ ω ² + A ₁ ω + A ₀ = 0 mo˙zna pokaza´c, ˙ze wyrazy nieparzyste nie wyst˛epuj ˛ a!

cz˛esto´sci własne zawsze s ˛ a parami: ^{± ω} .

Klasyczna analiza ruchu

Amplituda danego modu musi spełnia´c równanie własne:

− ˆ Ω − iω _m ¹

− m ˆ V − ˆ Ω − iω

!

· R ₀ P ₀

!

= 0

cz˛esto´s´c własna jest miejscem zerowym wielomianu charakterystycznego

ω ²ⁿ + A _2n−1 ω ²ⁿ⁻¹ + A _2n−2 ω ²ⁿ⁻² + ... + A ₂ ω ² + A ₁ ω + A ₀ = 0 mo˙zna pokaza´c, ˙ze wyrazy nieparzyste nie wyst˛epuj ˛ a!

cz˛esto´sci własne zawsze s ˛ a parami: ^{± ω} .

Dynamika kwantowa

Hamiltonian kwantowy H ˇ = −~ ²

2m ∇ ² + ~

i r· ˆ Ω·∇ + m

2 r· ˆ V ·r + mg(t)·r na pocz ˛ atek badamy ewolucj˛e paczki gaussowskiej Ψ(r, t) = N (t) e

^φ(t) exp



− m

2~ [r − R(t)]· ˆ K (t)·[r − R(t)] + ir·P (t)

~



´Srednie poło˙zenie i p˛ed

hˇ r i = Z

Ψ

(r, t) r Ψ(r, t)

r = R(t)

hˇ p i = ~ i

Z

Ψ

(r, t) ∇ Ψ(r, t)

r = P(t)

Ewolucja parametrów paczki

Równanie Schrödingera prowadzi do równa´n na ewolucj˛e parametrów:

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i

d R(t)

d t = P(t)

m − ˆ Ω·R(t)

d P (t)

d t = −m ˆ V ·R (t) − ˆ Ω·P(t) − mg(t)

d N (t)

d t = N (t)

2 Tr( Im K ˆ (t))

d φ (t)

d t = − ~

2 Tr( Re K ˆ (t)) − P(t) ²

2m + m

2 R(t)· ˆ V ·R (t)

Ewolucja parametrów paczki

Równanie Schrödingera prowadzi do równa´n na ewolucj˛e parametrów:

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i

d R(t)

d t = P(t)

m − ˆ Ω·R(t)

d P (t)

d t = −m ˆ V ·R (t) − ˆ Ω·P(t) − mg(t)

d N (t)

d t = N (t)

2 Tr( Im K ˆ (t))

d φ (t)

= − ~

Tr( Re K ˆ (t)) − P(t) ²

+ m

R(t)· ˆ V ·R (t)

Ewolucja parametrów paczki

Równanie Schrödingera prowadzi do równa´n na ewolucj˛e parametrów:

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i

d R(t)

d t = P(t)

m − ˆ Ω·R(t)

d P (t)

d t = −m ˆ V ·R (t) − ˆ Ω·P(t) − mg(t)

d N (t)

d t = N (t)

2 Tr( Im K ˆ (t))

d φ (t)

d t = − ~

2 Tr( Re K ˆ (t)) − P(t) ²

2m + m

2 R(t)· ˆ V ·R (t)

Ewolucja kształtu paczki

Kształt kwantowej paczki opisany jest przez macierz ^{K ˆ}

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i

Ewolucja kształtu paczki

Kształt kwantowej paczki opisany jest przez macierz ^{K ˆ}

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i Wykonujemy dekompozycj˛e

K ˆ (t) = − i

m N ˆ (t)· ˆ D ⁻¹ (t)

Ewolucja kształtu paczki

Kształt kwantowej paczki opisany jest przez macierz ^{K ˆ}

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i Wykonujemy dekompozycj˛e

K ˆ (t) = − i

m N ˆ (t)· ˆ D ⁻¹ (t)

− i m

 d d t N ˆ



· ˆ D ⁻¹ + i

m N · ˆ ˆ D ⁻¹ ·

 d d t D ˆ



· ˆ D ⁻¹ =

= i

m ² N · ˆ ˆ D ⁻¹ · ˆ N · ˆ D ⁻¹ + i ˆ V + i

m Ω· ˆ ˆ N · ˆ D ⁻¹ − i

m N · ˆ ˆ D ⁻¹ · ˆ Ω

Ewolucja kształtu paczki

Kształt kwantowej paczki opisany jest przez macierz ^{K ˆ}

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i Wykonujemy dekompozycj˛e

K ˆ (t) = − i

m N ˆ (t)· ˆ D ⁻¹ (t)

− i m

 d d t N ˆ



· ˆ D ⁻¹ + i

m N · ˆ ˆ D ⁻¹ ·

 d d t D ˆ



· ˆ D ⁻¹ =

= i

m ² N · ˆ ˆ D ⁻¹ · ˆ N · ˆ D ⁻¹ + i ˆ V + i

m Ω· ˆ ˆ N · ˆ D ⁻¹ − i

m N · ˆ ˆ D ⁻¹ · ˆ Ω

Ewolucja kształtu paczki

Po uporz ˛ adkowaniu równania maj ˛ a posta´c:

d D ˆ

d t = 1

m N − ˆ ˆ Ω· ˆ D

d N ˆ

d t = − m ˆ V · ˆ D − ˆ Ω· ˆ N Przypomnijmy klasyczne równania ruchu:

d r

d t = p

m − ˆ Ω·r

d p

d t = −m ˆ V ·r − ˆ Ω·p − mg(t)

Kolumny ˆ N i ˆ D spełniaj ˛ a klasyczne równania ruchu!

Przykład 1D

Jednowymiarowy oscylator (bezwymiarowo):



− ∂ ²

∂ξ ² + ξ ²



ψ (ξ, τ ) = i ∂

∂τ ψ (ξ, τ ) Zbadamy ewolucj˛e paczki gaussowskiej:

ψ(ξ, τ ) = N (τ ) e ^{−α(τ )ξ}

^/2 , α(0) = 2

Przykład 1D

Jednowymiarowy oscylator (bezwymiarowo):



− ∂ ²

∂ξ ² + ξ ²



ψ (ξ, τ ) = i ∂

∂τ ψ (ξ, τ ) Zbadamy ewolucj˛e paczki gaussowskiej:

ψ(ξ, τ ) = N (τ ) e ^{−α(τ )ξ}

^/2 , α(0) = 2

Rozwi ˛ azanie: α(τ) = −i

warunek pocz ˛ atkowy: n(0) = −2, d(0) = i i rozwi ˛ azujemy:



 d ˙ = n

˙n = −d

⇒



 d(τ ) = −2 sin(τ ) + i cos(τ )

n(τ ) = −2 cos(τ ) − i sin(τ )

Generyczny stan stacjonarny

Jeszcze raz ewolucja kształtu:

K ˆ (t) = − i

m N ˆ (t)· ˆ D ⁻¹ (t)

Aby kształt nie zale˙zał od czasu wystarczy, aby:

D(t) = ˆ D ˆ

· _e

N ˆ (t) = N ˆ

· _e

⇒ K ˆ

= − i

m N ˆ

· ˆ D

Pami˛etamy, ˙ze klasyczne mody spełniaj ˛ a taki warunek:

r (t) = R

e

p (t) = P

e

Znaj ˛ ac zatem klasyczne amplitudy mo˙zna zbudowa´c kształt paczki

Konstrukcja stanu generycznego

Układ posiada 2n modów własnych o cz˛esto´sciach:

± ω

± ω

. . . ± ω

± ω

Potrzebujemy n modów do konstrukcji macierzy ˆ N

i ˆ D

Które mody nale˙zy wybra´c?

Nale˙zy wybra´c te mody, które zapewni ˛ a Re K ˆ

> 0 Istnieje tylko jedna taka kombinacja!

Z ka˙zdej pary o okre´slonej cz˛esto´sci jest wybrany dokładnie jeden mod

Wynika to z postaci hamiltonianu po całkowitym rozseparowaniu

H = ± ω

A

A

± ω

A

A

± . . . ± ω

A

A

Konstrukcja stanu generycznego

Układ posiada 2n modów własnych o cz˛esto´sciach:

± ω

± ω

. . . ± ω

± ω

Potrzebujemy n modów do konstrukcji macierzy ˆ N

i ˆ D

Które mody nale˙zy wybra´c?

Nale˙zy wybra´c te mody, które zapewni ˛ a Re K ˆ

> 0 Istnieje tylko jedna taka kombinacja!

Z ka˙zdej pary o okre´slonej cz˛esto´sci jest wybrany dokładnie jeden mod

Wynika to z postaci hamiltonianu po całkowitym rozseparowaniu

H = ± ω A

A ± ω A

A ± . . . ± ω A

A

Inne stany stacjonarne

Aby znale´z´c inne stany stacjonarne zbadajmy ewolucj˛e funkcji:

Ψ(r, t) = N e

φ

exp



− m

2~ [r − R(t)]· ˆ K

· [r − R(t)] + ir·P(t)

~



teraz kształt ˆ K

nie zmienia si˛e w czasie

´Srednie poło˙zenie i p˛ed spełniaj ˛a klasyczne równania

d R

d t = P

m − ˆ Ω·R

d P

d t = −m ˆ V ·R − ˆ Ω·P Wybierzmy mod o cz˛esto´sci −ω

R (t) = κ

R

e

Inne stany stacjonarne

Funkcj˛e falow ˛ a mo˙zna zapisa´c w postaci:

Ψ(r, t) = M e ^iΩ

^t e ^−β

^{+2 α·r}

e ⁻

^{r· ˆ K}

^·r gdzie parametry maj ˛ a posta´c:

Ω

= − 1

2~ Tr( Re K ˆ

)

α = 1

κ~

h m ˆ K

· R

+ iP

i

β = 1

4~κ

ω



mR

·  ˆ V + 2ω

K ˆ



· R

− P

m



wybieraj ˛ ac odpowiednio κ mo˙zemy dosta´c: β = 1.

κ było dowolne.

Inne stany stacjonarne

Ψ(r, t) = M e ^iΩ

^t e ⁻

^{+2 α·r}

e ⁻

^{r· ˆ K}

^·r Przypomnienie: funkcja tworz ˛ aca wielomiany Hermitte’a

e

=

∞

X

n=0

H

(ξ) z

n!

Nasza funkcj˛e falow ˛ a mo˙zna rozło˙zy´c:

Ψ(r, t) = M e

∞

X

n=0

1

n! H

(α·r) e

e

funkcj ˛ a własn ˛ a hamiltonianu jest:

Ψ

(r, t) = A

H

(α·r) e

E

= n~ω

+ ~Ω

Inne stany stacjonarne

Ψ(r, t) = M e ^iΩ

^t e ⁻

^{+2 α·r}

e ⁻

^{r· ˆ K}

^·r Przypomnienie: funkcja tworz ˛ aca wielomiany Hermitte’a

e

=

∞

X

n=0

H

(ξ) z

n!

Nasza funkcj˛e falow ˛ a mo˙zna rozło˙zy´c:

Ψ(r, t) = M e

∞

X

n=0

1

n! H

(α·r) e

e

funkcj ˛ a własn ˛ a hamiltonianu jest:

Ψ

(r, t) = A

H

(α·r) e

E = n~ω + ~Ω

Podsumowanie

W przypadku układów liniowych istnieje bezpo´sredni zwi ˛ azek mi˛edzy dynamik ˛ a klasyczn ˛ a, a kwantow ˛ a

Cała dynamika paczki gaussowskiej (równie˙z jej kształt) jest zawarta w klasycznych trajektoriach

Znajomo´s´c klasycznych rozwi ˛ aza´n równa´n ruchu pozwala skonstruowa´c stany stacjonarne

Mo˙zna zbudowa´c zupełny układ stanów własnych

dowolnego układu liniowego w dowolnej liczbie

wymiarów