41, s. 363-370, Gliwice 2011
ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA UKŁADU ZE SPRĘŻYNĄ MAGNETYCZNĄ PRZY WYMUSZENIU KINEMATYCZNYM
JACEK SNAMINA, PIOTR HABEL
Katedra Automatyzacji Procesów, Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie e-mail: snamina@agh.edu.pl, habel@agh.edu.pl
Streszczenie. Praca zawiera analizę częstotliwościową drgań obiektu z układem wibroizolacji, w którym wykorzystano sterowaną sprężynę magnetyczną.
Sprężyna magnetyczna składa się z magnesów neodymowych oraz cewek kształtujących pole magnetyczne. Zmiana natężeń prądów płynących w cewkach daje możliwość sterowania polem magnetycznym, co umożliwia wytworzenie odpowiedniej siły oddziaływania sprężyny magnetycznej na obiekt chroniony.
1. WSTĘP
Zagadnienia aktywnej wibroizolacji są przedmiotem prac koncepcyjnych i aplikacyjnych w wielu ośrodkach badawczych. Do układów wibroizolacji wprowadzane są nowe elementy oraz elementy dotychczas stosowane, lecz o udoskonalonej konstrukcji. Należą do nich sprężyny magnetyczne, będące elementami tak układów pasywnych, jak i układów aktywnych. Pasywny układ wibroizolacji płyty wykorzystujący sprężynę magnetyczną został przedstawiony w pracy [1]. Układ wykorzystujący siłę odpychania magnesów wraz z równolegle zamontowaną sprężyną został opisany w [2]. Autorzy opracowali model teoretyczny oraz numeryczny, a następnie potwierdzali jego prawidłowość badaniami eksperymentalnymi. Patent [3] przedstawia możliwość zmiany siły oddziaływania pomiędzy magnesami w wyniku obrotu magnesu sześciennego. Wadą tego urządzenia są duże rozmiary oraz liczne elementy. Zaproponowana w niniejszej pracy prototypowa konstrukcja sprężyny magnetycznej posiada znacznie mniej skomplikowaną budowę oraz mniejszą liczbę elementów.
Układ wibroizolacji wykorzystujący sprężynę magnetyczną ma cechy układu nieliniowego, będące konsekwencją nieliniowej charakterystyki sprężyny. Projektowanie takich układów w sposób szczególny wymaga indywidualnego podejścia oraz właściwego doboru parametrów konstrukcyjnych. Aktywny układ wibroizolacji zastosowany do redukcji drgań obiektu o jednym stopniu swobody wykorzystujący sprężynę magnetyczną z wymuszeniem dynamicznym przedstawiono w [4]. Charakterystyki częstotliwościowe układów nieliniowych zostały omówione w pracach [5, 6, 7]. Przedstawiono w nich również najczęściej stosowane metody analizy częstotliwościowej wykorzystujące metodę bilansu harmonicznych, metodę Galerkina, metodę iteracyjną oraz metodę małego parametru.
2. BUDOWA I CHARAKTERYSTYKI SPRĘŻYNY MAGNETYCZNEJ
Sprężyna magnetyczna została skonstruowana jako urządzenie, które będzie wykorzystane przede wszystkim w aktywnych układach wibroizolacji. Zmieniając natężenie prądu płynącego w cewkach, można sterować siłą wytwarzaną przez sprężynę. Cewki będące elementem układu magnetycznego sprężyny są zasilane z zewnętrznego, sterowanego źródła prądu.
2.1. Zasada działania
Schemat sprężyny magnetycznej przedstawiono na rys. 1. Dwa neodymowe magnesy górne (1) zamocowane są do końca trzpienia prowadzącego (7), a kolejne dwa (2) do obudowy w punkcie leżącym w osi sprężyny. Magnesy zostały zamocowane w taki sposób, aby siły oddziaływania pomiędzy nimi były siłami odpychającymi. Trzpień prowadzący (7) umożliwia ruch magnesów górnych (1) w osi sprężyny – dzięki umieszczeniu go w łożysku liniowym (8). Obwód magnetyczny składa się z czterech rozgałęzień bocznych (3), na których znajdują się cewki (6), części górnej (4) oraz części dolnej (5), do której przymocowane są magnesy dolne (2). Odpowiednie ułożenie wszystkich elementów zapewnia obudowa górna (9) oraz dolna (10) – połączone ze sobą za pomocą czterech prętów stabilizujących konstrukcję (11). Umieszczone w obwodzie magnetycznym cztery cewki (6) wpływają na rozkład pola magnetycznego w przestrzeni pomiędzy magnesami. Dzięki zmianie natężenia prądów płynących w cewkach istnieje możliwość sterowania polem magnetycznym, a w efekcie siłą sprężyny.
11 1 3 2 9 4
6 5 10
7 8
6
Rys. 1. Schemat sprężyny magnetycznej 2.2. Badania laboratoryjne
Zdjęcie stanowiska laboratoryjnego przedstawiono na rys. 2. Układ napędowy wzbudnika drgań wyposażono w siłownik hydrauliczny (H) dwustronnego działania z jednostronnym tłoczyskiem posiadającym wbudowany czujnik położenia BALLUFF BTL5. Siłownik hydrauliczny (H) jest sterowany za pomocą serwozaworu (S) MOOG model D761-104 typ S63FOFMAVPL oraz zasilany przez agregat hydrauliczny (A). Zadane wymuszenie kinematyczne platformy dolnej (PD) – do której jest przymocowana obudowa sprężyny magnetycznej (O) – jest realizowane za pomocą siłownika hydraulicznego (H). Czujnik siły
(F) ZEPWN Typ CL 16 Nr 4374 jest zainstalowany w osi sprężyny pomiędzy trzpieniem prowadzącym (W) a platformą górną (PG). Siła oddziaływania sprężyny magnetycznej w badanym układzie to siła działająca między obudową sprężyny (O) a trzpieniem prowadzącym sprężyny (W) oraz jednocześnie między platformą dolną (PD) a platformą górną (PG). Platforma górna (PG) została utwierdzona. Wraz ze zmianą położenia platformy dolnej (PD) następuje zmiana siły oddziaływania pomiędzy magnesami. Cewki (C) zainstalowane na specjalnie skonstruowanym magnetowodzie są zasilane z zasilaczy stałoprądowych (Z) MeanWell SP-320-24. Wyniki przeprowadzonych badań laboratoryjnych są zgodne z wynikami obliczeń wykonanych metodą elementów skończonych potwierdzają obliczenia symulacyjne wykonane MES przy użyciu programu ANSYS. Błąd względny wyników obliczeń siły oddziaływania sprężyny nie przekracza 13%, co jest wynikiem zadowalającym przy przyjętych uproszczeniach.
O
PD W Z
A
H
S PG
F
C
Rys. 2. Stanowisko laboratoryjne 3. RÓWNANIE RUCHU BADANEGO UKŁADU
Rozważany układ przedstawiono schematycznie na rys. 3. Układ ten jest układem o jednym stopniu swobody, w którym ruch ciała o masie m jest wymuszany ruchem podłoża.
Do wibroizolacji ciała wykorzystano sprężynę magnetyczną, której budowa i własności zostały przedstawione w poprzednim rozdziale. Na rys. 3. zaznaczono również blok oznaczający jednostkę sterującą, która na podstawie sygnałów związanych z ruchem układu wyznacza sygnał sterujący sprężyną magnetyczną. Współrzędna x opisuje położenie ciała o masie m względem położenia równowagi statycznej. Równanie drgań wymuszonych rozważanego układu ma postać:
( )
&& mag magstat
mx=F +F −mg (1)
Gdzie Fmag(stat) oznacza składową siły sprężyny magnetycznej przy braku zasilania cewek (składowa stała sprężyny). Fmag oznacza składową zmienną siły w sprężynie związaną z przepływem prądu przez cewki. Siła Fmag(stat) równoważy siłę ciężkości mg. Ze względu na równowagę siły ciężkości oraz składowej stałej siły w sprężynie, masa ciała oraz magnesy stałe muszą być odpowiednio dobrane. Zbudowany prototyp sprężyny został zaprojektowany dla masy m=30 [kg].
jednostka m sterująca
DC + -
y sygnał
sterujący
sprężyna magnetyczna
x x, x&
y ,y&
Rys. 3. Schemat układu 4. ALGORYTM STEROWANIA
Sterowanie siłą oddziaływania sprężyny magnetycznej jest realizowane przez odpowiednie zasilanie cewek. Przyjęto prosty w realizacji algorytm sterowania, w którym natężenie prądu jest proporcjonalne do prędkości ciała względem ruchomego podłoża. Taki algorytm sterowania prądem prowadzi do nieliniowej zależności siły Fmag od prędkości względnej w związku z nieliniową charakterystyką sprężyny, która opisuje siłę w funkcji względnego położenia magnesów oraz prądu zasilającego cewki. Symbolem ξ oznaczono przemieszczenie względne magnesów, a symbolem i natężenie prądu zasilającego cewki. Na rys. 4 przedstawiono wykres siły Fmag( , )ξ i otrzymany na podstawie pomiarów laboratoryjnych. Wykorzystano charakterystyki statyczne sprężyny dla natężenia prądu
{
7, 0, 7}
i= − [A] – przepływającego przez wszystkie cewki. Ujemna wartość natężenia prądu oznacza taki kierunek przepływu prądu przez cewki, przy którym następuje osłabienie pola magnetycznego między magnesami. Dla prędkości &ξ =0 [m/s] cewki są nieaktywne, gdyż zgodnie z przyjętym algorytmem i=0, wtedy wartość siły Fmag została aproksymowana wielomianem Fmag( , 0)ξ = ⋅ + ⋅ + . W przypadku zasilania cewek prądem o a3 ξ3 a1 ξ a0 natężeniu i=7 [A] wielomian aproksymujący ma inne współczynniki
3
3 1 0
( , 7)
Fmag ξ = ⋅ + ⋅ + . Dla prądu o natężeniu i=-7 [A] wielomian aproksymujący ma b ξ b ξ b postać Fmag( , 7)ξ − = ⋅ + ⋅ + . Jednostka sterująca przelicza natężenie prądu i w c3 ξ3 c1 ξ c0 zależności od aktualnej wartości prędkości względnej &ξ . Prąd o natężeniu i =7 [A] jest sygnałem sterującym w przypadku &ξ = &ξmax, natomiast prąd o natężeniu i=-7 [A] jest sygnałem sterującym w przypadku ξ&= −ξ&max.
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x 10-3 -7
-5 -1 -3 1 5 3 7
0 -200
0 200 400
ξ [m]
i [A]
Fm ag N[]
-300 -200 -100 0 100 200 300 400
Rys. 4. Składowa zmienna siły wytwarzanej przez sprężynę magnetyczną w funkcji współrzędnej ξ oraz natężenia prądu i
5. ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA
Analizę częstotliwościową układu wykonano metodą bilansu harmonicznych. Obliczenia symulacyjne przeprowadzono z zastosowaniem programu MATLAB R2009b.
Na podstawie równania (1), po uwzględnieniu równowagi siły ciężkości i składowej stałej w sprężynie, równanie drgań ciała o masie m przyjmuje postać:
( , )
&& mag
mx=F ξ i (2)
Wprowadzając przemieszczenie względne ξ = − równanie ruchu może zostać zapisane y x w formie:
( , )
&& % & &&
mξ+Fξ ξ =my (3)
Gdzie %F ξ ξ oznacza składową zmienną siły w sprężynie, po uwzględnieniu ( , )&
proporcjonalności natężenia prądu i do prędkości względnej &ξ , według założonego algorytmu sterowania.
Zgodnie z założeniem metody bilansu harmonicznych przyjmujemy: sinusoidalnie zmienne wymuszenie y=y0sin(ω ϕt+ , podstawową harmoniczną przemieszczenia ) bezwzględnego w postaci x=x0sin(ω ψt+ ) oraz podstawową harmoniczną przemieszczenia względnego ξ ξ= 0sin(ωt). We wzorach uwzględniono przesunięcie fazowe ϕ oraz ψ .
W wyniku zastosowania algorytmu obliczeń metodą bilansu harmonicznych uzyskano następujące równanie krzywej rezonansowej:
2 4 2 0
2 2 2 2 2
2 2 3 1 2 0 2 2 4
3 1 2 2 2 0
m
0 0
ax max ma
0
x 0
3
4 16d& 8&d 4e&
m aξ a ω ξ ω ξ ξ ξ m y
ξ ξ
ω
ω ξ ω
⎛− + + + + ⎞ + =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ (4)
( , 7) Fmag ξ = −i ( , 0)
Fmag ξ =i ( , 7) Fmag ξ =i
Współczynniki dk i ek zostały wprowadzone jako pomocnicze według następującej zależności: dk=bk+ck-2ak
oraz ek=bk-ck dla k=0,1,3. Maksymalną prędkość &ξmax wyznaczono na podstawie obliczeń symulacyjnych.
Przykładowy wynik obliczeń przedstawiono w postaci trajektorii fazowej na rys. 5. Maksymalna prędkość podczas ruchu ustalonego ma wartość &ξmax=0.16 [m/s].
Krzywa szkieletowa przedstawia zależność częstości rezonansowej od amplitudy, przy braku wymuszenia. Ma ona następującą postać:
3 2 0
1 3
4 a a
m m
ω= + ξ (5)
Dla amplitudy ξ0=0 częstość drgań własnych wynosi ω0=30,08 [rad/s] i wzrasta wraz ze wzrostem amplitudy ξ0. Wykres zależności (5) przedstawiono na rys.6.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 0.005 0.01 0.015
ξ0 m[
]
ω [rad/s]
Rys. 6. Krzywa szkieletowa
Zależność amplitudy drgań od częstości wymuszenia można przedstawić graficznie w postaci krzywych rezonansowych – rys. 7 oraz 8. Krzywe rezonansowe wykreślono dla dwóch wartości amplitudy wymuszenia kinematycznego y0=0.002 oraz y0=0.004 [m].
Rozważany nieliniowy układ porównano do analogicznego liniowego układu o parametrach:
m=30 [kg], c=450 [N⋅s/m] oraz k=27050 [N/m]. Analiza częstotliwościowa przemieszczenia względnego ξ w zakresie częstości ω∈<1:1000> [rad/s] została przedstawiona na rys. 7a.
Zastosowanie proponowanego układu wykorzystującego sprężynę magnetyczną dla przyjętego wymuszenia powoduje zwiększenie amplitudy ξ0 w zakresie częstości okołorezonansowych względem liniowego układu. Wzrost wartości amplitudy y0 powoduje przesunięcie częstotliwości rezonansowych w kierunku większych częstości. Zależność kąta
ϕ
Θ = − , opisującego przesunięcie fazowe sygnału ξ(t) względem y(t), przedstawiono w postaci charakterystyki fazowo-częstotliwościowej na rys. 7b. Zastosowanie układu nieliniowego ze sprężyną magnetyczną wpływa na zmianę przesunięcia fazowego Θ w obszarze częstości okołorezonansowych. Wzrost amplitudy y0 powoduje zwiększenie przesunięcia fazowego Θ .
-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 -0.4
-0.2 0 0.2 0.4
ξ [m]
dξ/ dt[ m/s]
i ∈ <-7;7> [A]
i = 0 [A]
Rys. 5. Trajektoria fazowa ruchu: y0=0.002 [m], ω=30 [rad/s]
100 101 102 103 0
1 2 3
ξ /0 y [-]0
ω [rad/s]
100 101 102 103
0 50 100 150
Θ
°[]
ω [rad/s]
Rys.7. Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa oraz fazowo-częstotliwościowa przemieszczenia względnego ξ0
( model liniowy, model nieliniowy y0=0.002 [m], model nieliniowy y0=0.004[m]) Analiza częstotliwościowa przemieszczenia bezwzględnego x w zakresie częstości ω∈<1:1000> [rad/s] została przedstawiona na rys. 8a. Zwiększanie wartości amplitudy y0 powoduje przesunięcie częstości rezonansowych w kierunku większych wartości.
Charakterystyka fazowo-częstotliwościowa pokazana na rs. 8b. przedstawia zależność kąta Γ=ψ−ϕ opisującego przesunięcie fazowe sygnału x(t) względem y(t) od częstości ω.
Zastosowanie układu ze sprężyną magnetyczną powoduje zmianę przesunięcia fazowego Γ względem układu liniowego. Zwiększanie amplitudy y0 wpływa na zmianę Γ tylko w obszarze częstości okołorezonansowych.
100 101 102 103
0 1 2 3
x /0 y [-]0
ω [rad/s]
100 101 102 103
-100 -50 0
Γ
°[]
ω [rad/s]
Rys.8 Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa oraz fazowo-częstotliwościowa przemieszczenia bezwzględnego x0
( model liniowy, model nieliniowy y0=0.002 [m], model nieliniowy y0=0.004[m]) (b)
(b) (a)
(a)
6. WNIOSKI
Uzyskane wyniki pozwalają na analizę zachowania się rozważanego układu wibroizolacji w zakresie częstości do 1000 [rad/s]. Analiza została przeprowadzona dla zakresu sterowania prądem o natężeniu w zakresie <0, 7> [A], uwzględniając przy tym przepływ prądu w obu kierunkach.
Zastosowanie układu ze sprężyną magnetyczną stwarza możliwość sterowania sztywnością i tłumieniem układu. Opcja sterowania układem tylko w wybranym zakresie częstości (np. dla częstości okołorezonansowych) jest możliwa do zastosowania w rozważanym układzie.
Takiej możliwości nie ma w konwencjonalnym układzie ze sprężyną i tłumikiem wiskotycznym.
Możliwość zastosowania większej wartości maksymalnej prądu pozwoliłaby na zwiększenie efektywności wibroizolacji. Ograniczenie to wynika z warunków konstrukcyjnych cewek, dla których wykonywano badania laboratoryjne.
Proponowana sprężyna magnetyczna może zostać zastosowana w wibroizolacji maszyn roboczych oraz siedzisk operatorów maszyn.
Pracę wykonano w ramach projektu badawczego nr N N501 228940.
LITERATURA
1. Puppin E., Fratello V.: Vibration isolation with magnet spring. Review of Scientific Instruments, 2002.
2. Bonisoli E., Vigliani A.: Passive elasto-magnetic suspensions: nonlinear models and experimental outcomes. Mechanics Research Communications p. 385–394, 2007.
3. Patent USA nr 6084329: Vibration mechanism having a magnetic spring.
4. Snamina J., Habel P.: Analiza częstotliwościowa układu wibroizolacji ze sprężyną magnetyczną. Kraków: Wydawnictwo PK, 2010.
5. Meirovitch L.: Elements of vibration analysis. McGraw-Hill Publishing Company, 1986.
6. Łuczko J.: Drgania regularne i chaotyczne w nieliniowych układach mechanicznych, Kraków: Wyd. PK, 2018.
7. Polina S. Landa: Regular and chaotic oscillations. Springer, 2001.
FREQUENCY ANALYSIS OF A SYSTEM WITH MAGNETIC SPRING BY KINEMATIC EXCITATION
Summary. The paper presents the frequency analysis of a one degree of freedom system with kinematic excitation. The system consists of a rigid body and a magnetic spring. The motion is excited by the basis displacement. The main parts of the magnetic spring are neodymium magnets and coils forming magnetic field.
The force exerted by the spring can be controlled by changing the current in coils.
The system is nonlinear because characteristics of the spring are nonlinear. The harmonic balance method was used to carried out the frequency analysis of considering system.
