WYBRANE MIARY POŁOŻENIA, ZMIENNOŚCI I ASYMETRII.

średnia arytmetyczna

𝒙 ̅ =

𝒏

średnia geometryczna

x̅

= √x

∙ x

∙ … ∙ x

x̅

= √∏

x

Na przykład średnią geometryczną liczb 2,2,5 i 7 jest √2 2 5 7 ⁴ ≈ 3.44

Miarą zmienności jest np.

𝑠 = √

𝑛

ROZKŁAD NORMALNY

Jednym z podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciągłej jest rozkład normalny. Jest to rozkład symetryczny, reprezentowany przez krzywą Gaussa.

𝑓(𝑥) = 1

𝜎√2𝜋 𝑒

(𝑥−𝑚)² 2𝜎²

Nazwa rozkładu wywodzi się z jego powszechności stosowania, mamy z nim do czynienia wtedy, gdy na proces oddziałuje wiele przyczyn losowych i żadna z ich nie jest dominująca.

Jest on określony przez dwa parametry, : wartość średnią (oczekiwaną) m i odchylenie standardowe s. Zapisuje się go w postaci N(m; s)

Z rozkładem Normalnym związana jest reguła 3 sigm mówiąca, że w przedziałach:

 X ± 1S mieści się 68,27% obserwacji,

 X ± 2S mieści się 95,45% obserwacji,

 X ± 3S mieści się 99,73% obserwacji.

PODSTAWOWE WZORY MATEMATYCZNE UKŁADY RÓWNAŃ

{ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 𝑎₁𝑥 + 𝑏₁𝑦 = 𝑐₁ 𝑊 = |𝑎 𝑏

𝑎₁ 𝑏₁| = 𝑎𝑏₁− 𝑎₁𝑏 𝑊 ≠ 0 𝑊_𝑋= |𝑐 𝑏

𝑐₁ 𝑏₁| = 𝑐𝑏₁− 𝑐₁𝑏 𝑥 =𝑊_𝑋 𝑊 𝑊_𝑌 = |𝑎 𝑐

𝑎₁ 𝑐₁| = 𝑎𝑐₁− 𝑎₁𝑐 𝑦 =𝑊_𝑌 𝑊

ZWIĄZKI MIĘDZY FUNKCJAMI TRYGONOMETRYCZNYMI TEGO SAMEGO KĄTA

𝑠𝑖𝑛²𝛼 + 𝑐𝑜𝑠² 𝛼 = 1 (𝒋𝒆𝒅𝒚𝒏𝒌𝒂 𝒕𝒓𝒚𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒚𝒄𝒛𝒏𝒂) 𝑡𝑔 𝛼 = ^{sin 𝛼}

cos 𝛼 = ¹

𝑐𝑡𝑔 𝛼 𝑔𝑑𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ≠ 0 𝑖 sin 𝛼 ≠ 0 𝑐𝑡𝑔 𝛼 =^{cos 𝛼}_{sin 𝛼} = ¹

𝑡𝑔 𝛼 𝑔𝑑𝑦 sin 𝛼 ≠ 0 𝑖 cos 𝛼 ≠ 0 𝑡𝑔 𝛼 𝑐𝑡𝑔 𝛼 = 1 𝑔𝑑𝑦 sin 𝛼 ≠ 0 𝑖 cos 𝛼 ≠ 0

POCHODNA FUNKCJI W PUNKCIE

Właściwą (jeżeli istnieje) ilorazu różnicowego ^{𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)}

ℎ dla h dążącego do zera nazywamy pochodną funkcji 𝑓 w punkcie 𝑥₀ i oznaczamy symbolem 𝑓^′ (𝑥₀) .

Granicę 𝑓^′(𝑥₀) = lim

𝑛→0

𝑓(𝑥₀+ ℎ) − 𝑓(𝑥₀)

ℎ = lim

𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥₀) 𝑥 − 𝑥₀

Warunkiem koniecznym istnienia pochodnej (różniczkowalności) funkcji 𝑓 w punkcie 𝑥₀ jest całość funkcji 𝑥₀ .

Funkcja może być w danym punkcie ciągła, ale nie musi mieć w tym punkcie pochodnej (np.:

funkcja 𝑓(𝑥) = |𝑥| w punkcie x=0).

Jeżeli nie istnieje granica właściwa ilorazu różnicowego dla Δx → 0, to pochodna 𝑓^′(𝑥₀) nie istnieje.